河北省神州智达省级联测高三下学期第六次考试数学试题

2022届河北省神州智达省级联测高三下学期第六次考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则的真子集个数为（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】D【分析】根据指数函数的性质求得，结合集合交集的运算得到，进而求得真子集的个数.【详解】由不等式，即，解得，所以集合，又由，所以，可得集合的真子集个数为.故选：D.2．已知复数z满足条件，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】设，根据复数的运算和复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合复数的模长公式可求得结果.【详解】设，则，所以，，所以，，则，解得或，故或，因此，或.故选：C.3．已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题设条件和求和公式，求得，结合，即可求解.【详解】由，可得，又由，所以.故选：B.4．已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，利用数形结合的数学思想即可得出结果.【详解】作出函数与的图象，如图，当时，，作出函数与的图象，由图象可知，此时解得；当时，，作出函数与的图象，它们的交点坐标为、，结合图象知此时.所以不等式的解集为.故选：C5．正态分布是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则（

）附：，.【答案】B【分析】根据正态分布的定义可知、，结合正态分布曲线的对称性计算即可.【详解】由已知的最大值为，∴，，.故选：B.6．已知实数a，b满足条件，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】先利用基本不等式求得，再利用基本不等式的变形公式求解即可【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2故选：D.7．已知函数的图象与x轴相切，为的导函数，下列结论不成立的是（

）A．的最小值是 B．的最大值是8C．在上单调递增 D．的最小正周期为π【答案】C【分析】由题意可得或，解得，从而可求出，然后逐个分析判断【详解】由已知的最大值或最小值为0，∴或，解得，∴，所以，所以的最大值为8，最小值为，所以AB正确，由三角函数的性质知，当时，，当时，，而此区间不是正弦函数的单调区间，所以在上不是单调递增的，所以C不正确，由于，所以的最小正周期为，所以D正确，故选：C.8．离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设、、，根据点差法和两点坐标表示斜率公式可得，进而可得，利用两角和与差的余弦公式、切弦互化化简计算即可.【详解】设，，，∴，，相减整理得，即，，∵，∴，故选：A.二、多选题9．对于任意向量，，下列关系中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，由数量积的公式判断，对于B，由向量减法的几何意义判断，对于C，由向量的运算律判断，对于D，由向量的几何意义判断【详解】对于A，因为，所以A成立；对于B，由向量减法的几何意义以及三角形两边之差小于第三边，所以B不成立；对于C，因为，所以C成立；对于D，向量表示的是与向量方向相同或相反的向量，而向量与向量的方向不一定共线，故D不成立.故选：AC.10．下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称，又由，即，所以函数为奇函数，所以A正确；对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数，即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意；对于C中，由函数定义域为，关于原点对称，又由，即，解得，所以C符合题意；对于D中，当时，函数，其定义域为，关于原点对称，又由，即，所以函数为奇函数，所以D正确；故选：ACD.11．已知M是圆上的动点，过点作圆C的两条切线，切点为A，B，是曲线上的动点，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则四边形的面积为6C．若，则P点轨迹长度为 D．当最小时，【答案】BCD【分析】依次作出图形，轨迹勾股定理计算即可判断A、B；根据两点求距离公式求出当时t的值，进而即可判断C；当最小时与曲线在N点处的切线垂直，利用两点求直线斜率公式和零点的存在性定理即可判断D.【详解】由题意知，圆C的圆心坐标为，半径为，A：如图，当时，，故A不正确；B：如图，当时，，，四边形的面积，故B正确；C：如图，当时，，，又，则，解得，所以当点在点和之间水平运动时，，此时点的轨迹长度为，故C正确；D：如图，当最小时，与曲线在N点处的切线垂直，所以两直线斜率之积，即，令，得，，所以，由零点的存在性定理，得，故D正确.故选：BCD.12．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（

）A．若a为定值，则为定值 B．若，则C．存在H，使，，成等比数列 D．若，则，，成等差数列【答案】ACD【分析】根据，计算即可判断A；由A求得，从而可求得正四面体的体积，即可判断B；当H是中心时，，即可判断C；根据，，，则，从而可得，设H到，，的距离为，，，从而可得，即可判断D.【详解】解：正四面体的高为，由，即，所以，所以，故A正确；由A知，，∴，B不正确；当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；对于D选项，因为，，若，则，则，设H到，，的距离为，，，∴，又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，∴，所以，，成等差数列，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．的展开式的常数项为60，则______.【答案】【分析】由已知条件可得，求出，从而可求出的值【详解】的展开式的通项公式为，令，得，所以的展开式为由题意得，解得∴.故答案为：14．已知，则______.【答案】【分析】根据可得、，利用二倍角的正、余弦公式和化简求出、，结合两角和的正弦公式计算即可.【详解】，，∴.故答案为：.15．已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的体积为______.【答案】【分析】把圆锥的侧面展开图为扇形，则扇形的弧长即为最短距离，利用已知及弧长公式即可求出扇形圆心角，再利用最短距离即可求出圆锥的底面圆半径和高，最后直接用圆锥的体积公式即可求解.【详解】设母线长为l，半径为r，侧面展开图的圆心角为θ，则，由已知得，联立解得，圆锥的侧面展开图为扇形如下图所示，从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为,则，即，，.故答案为：.四、双空题16．函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.【答案】

2【分析】由复合函数单调性的判断方法及二次函数的性质可得，从而可求出a的范围，再由的最大值可得，则，构造函数，利用导数可求出其最小值【详解】注意到是减函数，∴在上单调递减，而的递减区间是，∴，.∵的最大值为2，∴的最小值为，即，，令，，，∴在处取得最小值2.故答案为：，2五、解答题17．已知数列的前n项和为，，.(1)求的值及的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）当时，得到，求得；当时，，两式相减得到整理得，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由，化简得到，结合裂项求和，即可求解.【详解】(1)解：当时，，所以，解得，当时，，因为，两式相减得，整理得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得，所以，所以.18．在中，、、所对的边分别为a、b、c，R是外接圆半径，且.(1)证明：；(2)若，求c的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据诱导公式和两角和与差的正弦公式化简题意中的等式可得，结合正弦定理即可证明；(2)根据正弦定理可得，结合(1)和余弦定理化简计算即可求出c的值.【详解】(1)在中，∵，∴，∴，，即，由正弦定理可得.(2)由已知，由正弦定理得：.将（1）中的代入余弦定理得：，整理得，∴.19．如图，三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，在底面上的射影是的中点O.(1)若，求异面直线与所成角的大小；(2)若△为正三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)60°(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可.【详解】(1)连接，则，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，∵底面是等腰直角三角形，∴,又∵，∴,即，由，，可知，又∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴异面直线与所成角为60°.(2)设，则，,则，，，，即，，，设平面的法向量为，则，令，则，，即，设平面的法向量为，，则，令，则，，即，故，由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20．一条高速公路进入某市的入口是由一个立体高架桥和其下方的一个交通环岛三岔口组成，如图.已知某时刻有6辆汽车由该高速路进入该市，这6辆车由哪一个入口进入市区是随机的.(1)求由3个路口进入市区的汽车分别是1、2、3辆的概率；(2)设是这六辆车进入市区所走入口的个数，求的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解，（2）由题意得的可能取值为1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得的分布列与期望【详解】(1)因为每一辆车进入市区都要3种方法，所以6辆车进入市区共有种方法，而由3个路口进入市区的汽车分别是1、2、3辆的方法有种方法所以由3个路口进入市区的汽车分别是1、2、3辆的概率为.(2)的可能取值为1，2，3.则，，则，其分布列为123P.21．已知双曲线的离心率，且经过点.(1)求双曲线C的方程；(2)设A，B在C上，，过P点向引垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程.【答案】(1)(2)（去掉点P）【分析】（1）由双曲线的离心率可知，故双曲线的方程为，将点代入方程即可求解；（2）由已知得，当直线斜率不存在时，不满足题意，故设直线的方程为，将直线和双曲线联立由韦达定理可知，，由，可知，即，分类讨论即可求解.【详解】(1)∵双曲线的离心率，∴，即，将代入，即，解得，，故双曲线C的方程为；(2)当直线斜率不存在时，不满足，故不满足题意；当直线斜率存在时，设，，，代入双曲线方程整理得：.，则，，∵，∴，即，整理得，即，当时，过点，不符合题意，故，直线化为，恒过定点，∴M在以为直径的圆上且不含P点，即M的轨迹方程为（去掉点P）.22．已知函数.(1)若，求实数m的值；(2)当且时，证明：.