年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测87抛物线

[课时跟踪检测][基础达标]1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a) B．(a,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16a)，0))解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a)))，所以选C.答案：C2．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且eq\f(p,2)＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D.答案：D3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)解析：由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).答案：C4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.答案：C5．已知P为抛物线y＝eq\f(1,2)x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(17,2)))，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8 B．eq\f(19,2)C．10 D．eq\f(21,2)解析：依题意可知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，准线方程为y＝－eq\f(1,2)，延长PM交准线于点H(图略)．则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－eq\f(1,2)，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－eq\f(1,2)，即求|PF|＋|PA|的最小值．因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝eq\r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,2)－\f(1,2)))2)＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－eq\f(1,2)＝eq\f(19,2)，故选B.答案：B6．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()A．5 B．4C．3 D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，))得x2－eq\f(5p,3)x＋eq\f(p2,4)＝0，所以x1＝eq\f(3p,2)，x2＝eq\f(p,6)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\f(3,2)p＋\f(p,2),\f(p,2)＋\f(p,6))＝3.答案：C7．(2018届豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为()A．7 B．8C．9 D．10解析：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于M，如图所示，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq\r(82＋7－12)－1＝10－1＝9.答案：C8．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是()A．等于1 B．等于4C．最小值是1 D．最大值是4解析：设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＝eq\f(y1y22,16).而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.答案：A9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：解法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq\f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).解法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－eq\f(4,3)，所以m＝eq\f(2,3)，即切点Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq\f(4,3)，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)10．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，半径为1，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝x0，|PA|＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x\o\al(2,0)－6x0＋9＋x0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(5,2)))2＋\f(11,4))，当且仅当x0＝eq\f(5,2)时，|PA|取得最小值eq\f(\r(11),2)，此时|PQ|取得最小值eq\f(\r(11),2)－1.答案：eq\f(\r(11),2)－111．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又因为F(1,0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4).所以FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．设C(x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.故λ的值为0或2.[能力提升]1．如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋1(k≠0)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝x＋1，))消去y，得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝eq\f(1－2k,k2)，yB＝eq\f(1－k,k)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2k,k2)，\f(1－k,k)))，∴kBQ＝eq\f(k,1－2k).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，∴xA＝－eq\f(2k,k2＋1)，yA＝eq\f(1－k2,k2＋1)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,k2＋1)，\f(1－k2,k2＋1)))，∴kAQ＝－eq\f(1,k).∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，∴eq\f(k,1－2k)－eq\f(1,k)＝0，解得k＝－1±eq\r(2)，由图形可得k＝－1－eq\r(2)应舍去，∴k＝eq\r(2)－1，∴存在直线l：y＝(eq\r(2)－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.2．(2017届湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为eq\f(32,3)p2，求直线AB的斜率k.解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋eq\f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{