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实变函数测试题4本测试题参考答案由董红英提供如有问题请联系：152003368951、设是一个无穷集合，则必有，使得，而。证明：由于A是一个无穷集合，所以含有一个可数子集B。设令，则且,均为可数集。令则且是可数集且基数为c，因为有理数集的基数也为c所以两者对等，即。又因也是可数集，所以。由，所以。证毕。2、证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。证明：设F为闭集。令。对令任意取因此则有即，故为开集。设则取极限得,所以，即另外，对，所以，即，从而因此是可数个开集的交集。设G为开集，则为闭集，可知，存在开集，使得，所以，而为开集，因此G是可数个闭集的和集。3、若，则可测。证明：用定义证明E的可测性。对任一点集T，所以反之，由于，故.又，所以因此。综上所述，得，E可测。4、设，证明：，并给出等号成立的条件。证明：当A可测或B可测则等号成立。若或，结论显然成立。我们总假定且。所以存在型集与，使且则对与利用第7题等式有5、设，存在两列可测集，使得，且则E可测。证明：令，对，有又由，所以当时，由，得，由5题知可测。又因为可测，B也是可测的，从而可测。6、设在有界集上“基本上”一致收敛于，证明a.e收敛于。证明：因为在E上“基本上”一致收敛于，所以对，存在可侧集，使在上一致收敛于，且。令则在上处处收敛于。又有==当时，。因此在E上a.e.收敛于。7、设是上的可测函数，并且点集是中的可测集，证明是上的可测函数。证明：当显然可测。当时，因为，所以所以亦可测，于是当时，亦可测。8、证明证明：设于是（1）是上的可测函数列；（2）（3）当时，；从而现令则因此F（t）可积。9、设，在上可积，如果对于任何有界可测函数，都有则=0a.e.于证明：对任意，设是的特征函数，则，所以=0.同样可证因此。又知所以，即=0a.e.于E。10、设求。解：由题意可知，a.e.于；a.e.于。又因为三个集合互不相交且之并集为I，由

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