2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.3 2.下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|，则a=±b B.零向量的长度是03.某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查.则最合理的抽样方法是(

)A.抽签法 B.简单随机抽样 C.分层随机抽样 D.随机数法4.在△ABC中，若BC=2，AC=2，B=45°，则角A等于(

)A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150°5.如图，在△ABC中，D为靠近点A的三等分点，E为BC的中点，设AB=a,AC=b，以向量aA.12a+16b

B.16.如图，矩形ABCD中，AB=3，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(

)

A.−77 B.77 7.马鞍山长江不夜城业已成为周边游打卡新地标，长三角文旅新风尚.其“不倒翁小姐姐”更因独特的舞姿而深受游客喜爱.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为163，那么这个半球的表面积为(

)A.8π B.12π C.16π3 D.8.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=3EC，AE⋅BD=−1A.0 B.23 C.43 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是(

)A.若m/​/α，n/​/α，则m/​/n

B.若m⊥α，n⊥α，则m/​/n

C.若m/​/α，m⊂β，则α/​/β

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的足(

)A.FB−FD=AB B.AD⋅AF=|AF|211.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1A.三棱锥A1−EFG的体积为定值

B.存在点G，使平面EFG/​/平面BDC1

C.当点G与B1重合时，二面角G−EF−A1的正切值为22

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.按分层随机抽样的方法抽取50个样本．第一层22个，样本平均数为16，第2层28个，样本平均数为18，由此可估计总体平均数为______．13.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山.李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲.相看两不厌，只有敬亭山.相传该诗题写于太白独坐楼(如图(1)).为了测量该楼的高度AB(如图(2))，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°则该楼的高度AB为______m.14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M在线段BC上，且CM=13BC,N是侧面

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,1)．

(1)若|b|=1，且b/​/a，求b的坐标；

(2)若|c|=2，且2a+c16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+33sinC=ba，且a=6．

(1)求A；

(2)已知角A的平分线交BC于点M，若17.(本小题15分)

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD．

(1)求证：AE⊥平面B1DM；18.(本小题17分)

如图，在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1．

(Ⅰ)求证：AH⊥BC；

(Ⅱ)求点C到平面ABH的距离；

(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使MN/​/平面ABC？若存在，求出|PN||PB|的值，若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O；a1,a2}.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对(x,y)，使得OP=xa1+ya2，则称实数对(x,y)为点P在斜坐标系{O；a1,a2}中的坐标．

今有斜坐标系{O；e1,e2}(长度单位为米，如图(2))，且|e1|=|e2|=1，〈e1,e2〉=120°，设参考答案1.A

2.B

3.C

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.BCD

11.AC

12.17.12

13.1314.1415.解：(1)因为b/​/a，a=(1,1)，所以设b=ta=(t,t)，

又因为|b|=1，所以t2+t2=1，解得t=±22，

所以b=(22,22)或b=(−22,−216.解：(1)因为cosC+33sinC=ba，由正弦定理得cosC+33sinC=sinBsinA，

所以sinAcosC+33sinAsinC=sinB，

又因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAcosC+33sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

可得33sinAsinC=cosAsinC，

因为C∈(0,π)，可得sinC>0，

所以33sinA=cosA，所以tanA=3，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因为a=6，角A的内角平分线交BC于点M，且AM=2，

S△ABC17.解：(1)证明：如图，在等腰梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，

所以AB=AD=BE=12BC，又因为AD/​/BE且AD=BE，

故四边形ABED是菱形，从而AE⊥BD，

所以△BAE沿着AE翻折成△B1AE后，使得平面B1AE⊥平面AECD，

所以AE⊥B1M，AE⊥DM，又B1M∩DM=M，B1M，DM⊂平面B1DM，

所以AE⊥平面B1DM，

(2)由(1)及线面垂直性质得AE⊥B1M，平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD=AE，

B1M⊂平面B1AE，所以B1M⊥平面18.解：(Ⅰ)由PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，可得PA⊥BC，

由AC⊥BC，AC∩PA=A，

可得BC⊥平面PAC，

又AH⊂平面PAC，可得AH⊥BC；

(Ⅱ)设点C到平面ABH的距离为d，

由H为PC的中点，可得H到平面ABC的距离为12PA=1，

则VC−HAB=VH−CAB=13×1×12×2×1=13，

又AB=22+12=5，BH=BC2+CH2=12+(222)2=3，AH=12PC=2，

AB2=AH2+BH2，可得AH⊥BH，则△ABH的面积为12×2×3=62，

所以VC−HAB=13d⋅6