2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2}，B={x|1<x≤2}，则A∩B=(

)A.{2} B.{1,2} C.{0} D.{0,1,2}2.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78”.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为(

)A.10−00 B.20−00 C.30−00 D.40−004.已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是(

)A.若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则α⊥β

B.若l⊥m，m/​/α，则l⊥α

C.若α∩β=l，m⊂α，l/​/m，则m//β

D.若l⊂α，m⊂β，α/​/β，则l/​/m5.已知a1，a2，…，an是单位平面向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N∗)，都有aA.3 B.4 C.5 D.66.已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2CA.2 B.1 C.12 D.7.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=22，AB=BC=2，二面角S−AC−B的正切值是2，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是(

)A.12π

B.4π

C.43π8.已知函数f(x)=e|x−2|,x>0−A.函数y=f(x)−x有两个零点

B.若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]

C.若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若α的终边经过P(5k,12k)，k≠0，则sinα=1213

B.tan(−210°)=−33

C.若cosα>0，则α为第一或第四象限角

D.若角α10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若A>B，则cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解

C.若cosAcosBcosC>0，则△ABC为锐角三角形

D.若a−c⋅cosB=a⋅11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，A.若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为42+4

B.当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为5

C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+42

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2(其中e1，e2分别为x，y轴方向相同的单位向量)，则P的坐标为(x,y)，若P关于斜坐标系13.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数在[5π4,9π14.在锐角△ABC中，sinA=255，它的面积为10，BC=4BD，E，F分别在AB、AC上，且满足|AD−xAB|≥|DE|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2cosx,1)，b=(−cos(x+π3),12)，x∈[0,π2].

(1)若a/​/b，求x的值；16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a−ca+b=sinA−sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的周长为417.(本小题15分)

已知函数f(x)=log2(x2−1)−log2(x−1)．

(1)证明：f(x)的定义域与值域相同．

(2)若∀x∈[3,+∞)18.(本小题17分)

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．

(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM/​/平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A−DF−B的正切值；

(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|，则称f(x)是“k−利普希兹条件函数”．

(1)判断函数y=2x+1，y=x参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.313.[514.−315.解：(1)由a/​/b，

则12×2cosx=1×[−cos(x+π3)]，

即sinx=3cosx，

即tanx=3，

又x∈[0,π2]，

则x=π3；

(2)f(x)=a⋅b=2cosx[−cos(x+π3)]+12=16.解：(1)根据a−ca+b=sinA−sinBsinC，可得a−ca+b=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3．

(2)设△ABC外接圆的半径为R，则2πR=43π，解得R=23，外接圆直径为417.解：(1)证明：由x2−1>0x−1>0，得x>1，

所以f(x)的定义域为(1,+∞)．

f(x)=log2x2−1x−1=log2(x+1)，

因为f(x)=log2(x+1)在(1,+∞)上单调递增．

所以f(x)>f(1)=log22=1，

所以f(x)的值域为(1,+∞)，

所以f(x)的定义域与值域相同．

(2)由(1)知f(x)=log2(x+1)在(3,+∞)上单调递增，

所以当x∈[3,+∞)时，f(x)min=f(3)=2．

设g(t)=1t2−418.解：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，

因为

正方形ABCD，所以O为AC中点，

又

矩形ACEF，M为EF的中点，

所以

EM/​/OA，且EM=OA，

所以OAME为平行四边形，

所以

AM/​/OE，

又

AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

所以

AM/​/平面BDE；

(Ⅱ)以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C−xyz，

则A(2,2,0)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，F(2,2,1)，

则DB=(−2,2,0),DF=(0,2,1)，

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，

由DB⋅n=0DF⋅n=0，得−2x+2y=02y+z=0，

则n=(1,1,−2)，

易知平面ADF的法向量m=AB=(−2,0,0)，

所以cos<n,m>=n⋅m|n|⋅|m|=−16=−66，

由图可知

二面角A−BF−D为锐角，记为θ，

所以cosθ=66，

即tanθ=sinθcosθ=19.解：(1)由题知，函数y=f(x)=2x+1的定义域为R，

所以|f(x1)−f(x2)|