高中数学解题的“灵魂变奏曲”-转化思想

数学解题的“灵魂变奏曲”一转化思想

把问题进行转化是解决问题的重要的方法，著名数学家、教育家G•波利亚在《怎样解

题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……，我们必须一再地变换它，重新叙述它、变

换它，直到最后成功地找到有用的东西为止”.我们在解决数学问题时，常把复杂、生疏、

抽象、困难、未知的问题变成简单、熟悉、具体、容易、已知的问题来解决.这是一种思想

方法，也是一种策略。它把一个数学问题转化为另一个数学问题，达到化生为熟，化繁为简

的目的，不仅可以节省时间和精力，巧妙简捷地解题，还可以提高我们的思维水平，培养创

新能力，及分析问题和解决问题的能力。下面例析问题转换几种基本途径及方法.

一、等与不等的转化

等与不等的转化主要体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不等的矛盾转化中，

基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等

矛盾差异间的内在联系。等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，

可以减少运算量,提高正确率;把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

例1：若正数3为满足。占=&+右+3,贝依5的取值范围是

［解法一］生力为正数，..a+b>2^b

■：ab=a+b+3■-ab>2y［ab+3,

..(J高1一2疝一3之0,.：、麻(舍去)或必之3,：.ab>9,

此的取值范围为【9，的.

,a+3a1+3a

b—___________

【解法二】由a3=a+"3,得a_]；..ab=a-\且a>1

■.^=a-l+—+5>2.L-1).—+5=9

a-\ra-\

当且仅当口-L,即a=3时取等号

则就的范围为区的

【点评】：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的一个重要方法。

巩固练习题：已知x,y同为非负数，且满足也(一+1)+也('+4)=也加，求x,y的值。

(\11产

例2：已知a,b,c均为正整数，且d+加+/+48<4a+6b+12c,求I。b的值.

【解答】因为原不等式两边均为正整数，所以不等式储+b2+/+48<4a+6H12c

与不等式〃+62+标+48+644+66+12。等价，这个等价不等式又可化为

a=2.

b=3于是可得

(a-2)2+(/?-3)2+(c-6)2+(c-6)2<0,小=，

【点评】将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.

二、正与反的转化

解决某些问题时，若按习惯从“正面进攻”难已解决或运算繁杂。此时可从相反的方向

去探求，有可能会转化为我们较熟悉或简单的问题。2、正与反的相互转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题

得以解决。

当一个数学问题从正面处理较难时，不妨从反面思考，如逆推法、分析法、反证法、补集法

等都是重要的反面思维方法.

例3已知抛物线y=K+4ar—4a+3,y=9+(〃-Dx+/，)=犬+26一2a中至少有一条与

x轴相交，求实数。的取值范围.

分析：此题先从正面入手，要对各种可能性逐一分析，相当繁琐.若逆向思维求其反面：求三条

抛物线都不与x轴相交时a的取值范围.再求其补集，则简洁得多.

解：先求结论的反面，都无交点，即

A=(44)2—4(3—4a)<0

(=(a-I)2-4a2<0

3

A=(2a)2+8a<0

3)解得一2<“<—1.

故所求a的取值范围是aW—2或。》一1.

例4：在由数字0,I,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的共有

__________个。

【分析】：以前我们做过能被5整除的排列组合题，先按照以前做过的方法求出能被5

整除的数的个数，再求出所有的四位数的个数，就能求出符合条件的数的个数。

解：有0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的所有四位数共有闻•@=60。个，其中

能被5整除的，即个位数为0,5的数有力；+.4=216个，所以不能被5整除的数有600

—216=384个。

【点评】此题从正面入手也行，但把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，做起来更加得

心应手。另外，在考试时用正反两种方法，可以提高准确率。

巩固练习题：若曲线y的所有弦都不能被直线'^=耀仁一3)垂直平分，求变量m

的取值范围。

例5：试求常数机的范围，使曲线y=f的所有弦都不能被直线)'=机(x一3)垂直平分.

分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称问题转化为“抛

物线上存在两点关于直线y=，"(x-3)对称，求加的取值范围”.再求出机的取值集合

的补集即为原问题的解.

解：抛物线上两点（制，勺）、（及，町）关于直线y=m（x—3）对称，满足

々+X23

才+x；=m(xx4-x2-6)

11

-xm

2,即m

2x；+—x,H—T-+6m+1=0

消去X2，得活m

(2_-81-^y+6也+1

；xiGR,△='也>0,

2

(2w+l)(6w2—2m+1)<0><*.m<—2

2

即当机＜—5时，抛物线上存在两点关于直线y=皿x—3）对称.

2

而原题要求所有弦都不能被直线垂直一部分，那么所求，"的范围为〃?》一5.

很多的数学问题，如果直接从正面入手求解，难度较大，致使解题思路受阻，但如果转化为考

虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这

种思想.

正向向逆向转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从

它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。

例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有

___________种。

A、150B、147C、144D、141

分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，

就简单多了。

1种,其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有

解：10个点中任取4个点取法有种,

同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面

的有3种，：不共面取法有—-6-3=141种，应选（D）。

三动与静的转化

运动与静止的相互转化普遍存在于客观世界中，动与静的转化是解题的重要策略之一，它包

括

化静为动，化动为静两个方面，适时的进行动静转化，常常会收到奇妙的效果。

例7：对于抛物线尸=4十上任意一点Q,如果点P（a,0）满足忸°但则,则a的取

值范围是（）

A（_0°,0）B（一8,2]c[。,2]D（。,2）

【分析】：依题意，点。是抛物线上的动点，点P是轴上的定点，而当求a的取值范围时，

又考虑点P的可动性，把a看成是不等式的未知量来求解。

解：设Q3匕，八我则闱之同等价于不等式1,即

/（y2+16-8a）>0,a<^-+2片+2

’8，对于任意实数y恒成立，从而a只要小于或等于8

的最小值，所以a©（-8,2],选B

【点评】：从代数角度来看，动与静的转化相当于变量与常量的转化。

巩固练习题：过圆*2+刀2=厂2的内部一点作动弦AB,过A,B分别作圆的切线，

求两切线的交点P的轨迹方程

四主与次的转化

利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色转换），常使问题柳暗

花明。

例8：已知函数『3=/+"+1,当。6[0,2]时，_/（"）>°恒成立，求实数X的取值

范围。

解：若视a为主元，X为辅元，/3即可转化为8（。）=初+*2+1。

当x=0时，g（a）=l>0恒成立，

Y当X。。时，g（a）是关于白的一次函数，所以当ae[0，2]时恒成立等价于

'g（O）>0fx2+l>0

昌⑵>°即"+2x+l>0x的取值范围为xe

【点评】：此方法在解决原函数与反函数的问题时也很实用。

巩固练习题：设不等式2为一1>根（炉一1）对满足忸区2的一切实数m均成立，求实数x的

取值范围。

主元向辅元的转化

主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，则其他元素是

辅元。

例9：已知关于x的方程：x3-ax2-2ax+a2-1=0有且仅有一个实根，求实豺的取

值范围。

分析：显然，题目中的X是主元，&为辅元，但方程中X的最高次数为3,求根比较困难，

注意到a的最高次数为2,故可视以为主元，原方程转化为关于4的二次方程。

解：原方程可代为白？—+2x)a+/-1=0,解得a=x—l或a=x*+x+l,即

x=a+l或，+x+l-a=0,•.•原方程有唯一实根，：/+x+l-a=0无实根，

3

：.AY0,即aY-

4

五原命题与逆否命题的转化

由于原命题与逆否命题等价，因此我们在判断原命题的真假有困难时，可以通过判断逆否命

题达到目的。

例10：已知函数/(x)是R上的增函数，a,画R,纲(幻+/0)2」(-。)+」(一9，则

a+b>0,试判断该命题的真假。

【分析】：直接判断原命题的真假难以入手，若改为判断逆否命题，就比较方便。

解：原命题的逆否命题是：己知函数/(*)是R上的增函数，若a+b<0,,则

判断：函数是/(*)是R上的增函数，且a,bCR,a+b<0,即

a<-b/(«)</(-^)./(^)</(-«),/(«)+/(^)</(-«)+/(-^)

•,该命题是真命题，原命题也是真命题。

巩固练习题：“X。°”是“sinxWx”的()

A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件

六、数与形的相互转化

通过挖掘己知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题

简化.

hTogi。售Togi匕\=log2c

例11、设3b,c均为正数，且2,5,12).则()

4a<b<cB.c<b<ac.c<ab<a<c

解析：这里要比较出儿c三个正数的大小，而由已知条件很难求出。，b,c三个数的准确

值。由己知条件可知弧4c分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化

归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题。

答案：在同一直角坐标系下画出函数为=2、与乃二（5）与

乃=loglX

2及居=1082*的图象（如图所示）则以表示的是函数

必一”与2交点的横坐标的值，同理有：小表示的是函

1*,

乃=（一）乃=l°gix

数2与2交点的横坐标的值，c表示的是函数

为一（5）与乂=1°82矛交点的横坐标的值，则有：a<b<c.故

选Ao

点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然

后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法。

数形结合，实现转化

把数量关系的问题转化为图形性质的问题则会变抽象为直观，使隐含的关系显露出来，许多

代数、三角问题有着几何图形背景.因此绘制其图形来研究问题会显得十分直观.反之，把

图形性质的问题转化为数量关系的问题，在一定程度上说，使研究方式程序化.许多几何问

题可以利用代数、三角函数的方法解决，显得十分简洁、明确.

例12己知向量^/e,产|=1,对任意fGR,恒有pT|>p口|,则

———

(A)aJ_e(B)aJ_(a-e)

f—f

(C)e_L(a-e)(D)(a+e)j_(a-e)

分析：本题若用常规方法，较为繁琐，而运用其几何意义，即数形结合法，则能直观看出答

-.一.

案，产一心|》产一恒成立，AO^AB,从而使问题解决

解：如图，设=e,OA=a,OP=te,则对任意『GR,恒有pT一e即

I济|》|运|,而点尸在直线04上，故否|为垂线段，即°j1_冠，簿，1—e）,

故选（C）.

数向形的转化

数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式，通过对已知不等式函

数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以形定数，可以避繁就简。

例13设a'C（°」），

求证.J*+/++（1—5）2+J（1-a）2+（1-1）222、巧

分析：不等式右端为2应，可看为单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构

容易联想到勾股定理。

证明：作边长为1的正方形ABCD,作两组平行线把正方形分成四个矩形，那么不等式左端

厂a=b=-

=(PA+PC)+(PB+PD)之AC+BD=2d2,当且仅当p在正方形中心处，即2时,

“等号”成立。

七、特殊与一般的相互转化

对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结

论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

例14在平面直角坐标系X。中，已知△松C的顶点工(-4,0)和C(4,o),顶点8在椭圆

x2y2sinj4+sinC

—+—=1----------=

259上，则sin5.

解析：这里顶点3是椭圆上的动点，所以smH、sin5,sinC不易确定。但根据“一般

成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为B点在特殊位置(椭圆短轴端点)

来处理较易。

当然：注意到4、C是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.

,B4

sin.4=sinC=cos-=-sin—=

答案：顶点B取椭圆短轴端点，即'(°，司则2525

BB3424sinj4+sinC5

sinb=2sin—cos—=2x—x—=—/.----------=—

225525,sin£4

点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。

一般与特殊，辩证转化

辩证思维告诉我们，事物发展总存在一般性和特殊性，且可以互相转化.一般性寓于特殊性

之中，有些一般性问题很难找到解题方法，不妨将其向特殊方向转化，这种转化在选择题及

填空题中比较常见.

A+B.不

tan-----=sinC

例15(1)在"SC中，已知2,给出以下四个论断：

①tan-4，cotB=l②0<sin』+sin3V近

③sin2j+cos?B=1@cos2cos25=sin2C

其中正确的是

(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③

⑵的外接圆的圆心为。两条边上的高的交点为“，OH=m(OA+OB+OC)则

实数m=.

分析：本题的两个小题直接从条件出发推理，显然是小题大做，在考场上就会浪费宝贵的时

间.对于客观题完全可用特殊化法加以解决，即选择特殊的直角三角形即可.

解：⑴取符合题意的直角三角形，令A=30?8=60?C=90?则①tan3（Rot60半1；②sin?l+

1+-^3

sinB=26（0,五］，③sin??。斗cos26件1,④c。/30°+（：。$260°=$111290°.故选出）.

⑵取等腰直角三角形ABC,则外接圆的圆心为斜边上中点O,两直角边上的高为直角顶点

”(C),即有。上+℃=07/即。//—m0H,故m—\.应填1.

已知数列｛〃“｝中，“1=1,an+\=2a“+l.求数列的通项公式及前〃项和S".

【分析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等

比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.

为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.

【解答】在递推式为+户2m+1两边加1,化为4+什1）=2（跖+1）,数列｛斯+1｝为等比数列，

公比q=2.所以a”+l=2"i（ai+1）,B|Ja„=2n-1,且S,=2"-〃-l.

【插语】本数列的一般形式为：%+产%%+6（后0、1,厚0）,有人称其为“等差比数列”.等

差、等比数列都是它的特例，分别是4=1,或6=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列

的“常数匹配''可用待定系数法求得：

b

设a„+1+c=k（an+c）=ka„+k（r^an+\=kan+kc-（r^kc-c=b,c=上-1

对于上题，A=2,因此解得c=l.

【点评】化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等

比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是aZc=b”、=kb..

说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？点

评：数列是每年高考的必考内容。已知数列的递推公式或已知数列前"项和段与斯的关系

求数列通项也是常考内容。若已知数列的递推公式为%=2%-1+8（4夕=°，力*1）的

形式，求数列的通项时常通过变形使之转化为｛/+'）形式的等比数列来解决；若已知数列

前”项和用与即的关系式求数列通项，则常用用一£M=%将用与您的关系式化归转化

为%与4-1（或松与其-1）间的递推关系再进一步求解。

抽象向具体转化

有些题目看起来较为抽象，貌似不易解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模型，以

启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。

例16：已知Z©艮.为常数，且1一/（x），问Z（x）是不是周期函数，若是,

求出周期，若不是说明理由。

zz,s1+/（彳）/鼻1+tan%

/（x+a）=-——tan（x+-）=-------------

分析：由1一」（刈联想到41一tanx,找到一个具体函数，

=tanx及"-而函数丁=t3nx的周期丁="=4。猜想〃x）是一个周期为4白

的函数。这样方向明，思路清。

证明:（…"途'""+小序4=一行,

:y（x+4a）=/［（X+2a）+2a］=-7T=/（x）,；J（x）的周期7=4a

J（x+2a）

个别向一般的转化

华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。”

对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、

演绎等手法去概括一般规律，使问题获解。

例17：已知数列LJ（%e犷）是首项为外,公比烦的等比数列。

1）求和：。鬲+。2庭

2）由（1）的结果归纳出关于正整数花的一个结论，并加以证明。

分析•（1）旬“：_"2,；+&c：=的—2。遂+的［2=%（1-q）2（q=2）

同理可得:4103_。2。3+。2。3_。4。3=a4一9）3（附=①

猜想：温一城+温-....+=的（1-“

证明：呼：一町4+。3。；一...+（-1）*%+冏=叩：-4涡+--（-1）*,亦；

=的闪-qc；+1%；-....+（-1）*/4=%（1一g）“

八、整体与局部的相互转化

整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

零整割补变换，实现转化

求解几何问题，如果仅根据题目给出的图形解题困难时，可考虑将图形按一定规则分割成若

干个简单图形或通过增添辅助线、而补成一个简单几何体，把问题转化为我们所熟知或易于

研究的问题，从而化繁为简.这种方法是解几何综合题的常用的重要方法.：局部向整体的

转化

从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体

上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。

例18一个四面体所有棱长都是J5,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（）

A、3kB、4开口3、丽D、6k

分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把

正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四

面体棱长为正，所以正方体棱长为1,从而外接球半径为五-3",应选(A)。

例19如图，在多面体A8CDE尸中，已知ABCQ是边长为1的正方形，且

LADE、△BCF均为正三角形，EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为(

V2乖43

(A)3(B)3(C)3(D)2

分析：本题所给几何体运用中学知识，无法直接体积公式加以计算，这时需用割补

变换，实施转化，可分割为两个等积的三棱锥和一个三棱柱，故所求多面体的体积为此三部

分体积之和.

解：如图，过BC作EF的直截面BCG,作面ADW〃面BCG,

1

F0=2,FG=2,

1x1x2^=^

■JFO2-FG2=—

：.GO=2224,

X=VBCG-ADM=S&BCG•AB=V2=2^F_SCG=2x-x-^-x-=

3,故选(A).

点评：本题运用典型的分割法，即将一个几何体分割成若干个简单几何体，使问题显现在其

中之一内，其思想方法是“化整为零，各个击破”.

例20设函数/(幻的图象与直线及x轴所围成图形的面积称为函数人r)在［m例上

穴227r

的面积，已知函数〉=$指内在［0,打上的面积为阀("GN*),(Dy=sin3x在10,3］上的面积

7T4开

为—：⑵产sin(3x—k)+1在［3,3］上的面积为.

分析：本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题，能很好地考查学生

分析思维能力及割补法.

7F2

解：⑴由新定义的面积公式，知〉=$万3X在［0,3］上的面积为3,据对称性,

y=sin3x在［0,竺］上的面积为2x2=-

故得333

7T4开

⑵由诱导公式，得y=—sin3x+l,如图，由定义知在［3,3］上的面积为+S2+S3+S4,

2

由对称性知$4=55,根据割补法得Si+S2+S3+S4=S|+"®席触CD=3+开.

点评：本题把已知不规则的图形适当地增加辅助线y=l,而使之成为一个完整的特殊的几

何图形，这样便于从整体出发，揭示图形的内在联系，使问题得到解决.此法指导思想是“聚

零为整，统筹考虑”.

九、高维与低维的相互转化

事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可

把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

空间与平面，维数转化

在高等代数中常见有高维数的问题，如果把它向低维问题转化，问题往往变得简单、明了.最

简单的由三维向二维空间转化，即把三维的空间的立体图形转化为二维的平面图形来研究，

也是研究立体几何问题的重要方法之一.

例21一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为”,则球的表面积为（）

（A徵信（B）阮©4、②F（D）4k