2024届贵州省高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省2024届高三上学期第一次联考数学试题一、选择题1.已知集合，，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.32〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以，故的子集个数为8．故选：B.2.已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（）A.3 B. C.9 D.〖答案〗C〖解析〗令，则，可得，所以，故.故选：C.3.函数的单调增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，且对称轴为，所以在上递减，在上递增，又在定义域内递减，所以的单调增区间为.故选：A.4.已知函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，所以，所以.s故选：C5.已知函数的图象如图所示，则该函数的〖解析〗式为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的定义域为，故排除A；对于B，当，，故是奇函数，排除B．对于C，当，，故是奇函数，排除C．同理得是偶函数，故选：D.6.当时，函数取得最大值2，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，又当时，函数取得最大值2，所以，，即，解得，，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，所以．故选：C．7.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为奇函数在上单调递减，且，所以，且函数上单调递减，则函数的对应的图像，如图所示，不等式等价于：①，即，解得；②，即，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：B.8.已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为的图像关于直线对称，所以.因为，所以，即.因为，所以，代入得，即，所以，．因为，所以，即，所以．因为，所以.又因为，得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为，所以.因为，所以．所以．故选：D．二、选择题9.“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗当时，对恒成立，符合题意；当时，，解得，综上，实数的取值范围是.所以“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故A正确；“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故B正确；“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件，故C错误；“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件，故D错误.故选：AB.10.已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，，，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：BCD．11.已知函数，若，则下说法正确的是（）A.当时，有4个零点 B.当时，有5个零点C.当时，有1个零点 D.当时，有2个零点〖答案〗AC〖解析〗当时，令，由，解得或或.作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，即当时，有4个零点.故A正确，B错误；当时，令，所以，解得或或（舍）作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，即当时，有1个零点.故C正确，D错误.故选：AC.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，曲线在点处的切线方程为B.若对任意的，都有，则实数的取值范围是C.当时，既存在极大值又存在极小值D.当时，恰有3个零点，且〖答案〗BCD〖解析〗对于A，当时，，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，故A错误；对于B，因为对任意的，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，所以，解得，即实数的取值范围是，故B正确；对于C，当时，由B选项知，，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，又在上单调递减，所以存在，使得，又，又在上单调递增，所以存在，使得，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故既存在极大值又存在极小值，故C正确；对于D，因为，由C选项知，，当时，；当时，，故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，），又，故有，则，即当时，恰有3个零点，且，故D正确．故选：BCD．三、填空题13.已知命题，使得，则为______________.〖答案〗.〖解析〗因为，使得，所以，故〖答案〗为：14.已知，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以，，故〖答案〗为：15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______________.〖答案〗或〖解析〗由题设，令切线方程为，而，若切点为，则且，所以，故有两个不相等的实根，则，可得或.故〖答案〗为：或.16.已知函数，，若，，且，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，，所以，所以，．令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．故〖答案〗为：.四、解答题17.已知全集，集合，.（1）当时，求与；（2）若，求实数a的取值范围.解：（1）由题设，，，故或，所以，或.（2）由题意，当时，，可得；当时，，可得；综上，.18.已知关于的不等式的解集是．（1）求实数，的值；（2）若，，且，求的最小值．解：（1）因为关于的不等式的解集是，所以和是方程的两个根，所以解得当，时，的解集是，符合题意，所以，．（2）由（1）知，，所以，又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．19.已知函数.（1）若，求在区间上的值域；（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.解：（1）由题设，又，令，则开口向上且对称轴为，由，，，所以，即在区间上的值域为.（2）由在上有解，令，则，所以在上有零点，则，即或，而开口向上，对称轴为，当，对称轴，则，可得，此时无解；当，即对称轴，若，对称轴，此时只需，可得或，此时；若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；综上，.20.已知函数.（1）若，求的极值；（2）求在区间上的最小值.解：（1）由题设且，则，当或时，当时，故在、上递增，在上递减，所以极大值，极小值.（2）由，当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；当时，在上，即在上递增，故上最小值为；当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，若，上最小值为；若，上最小值为；若，上最小值为；综上，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为.21.已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求实数a，b的值；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由题设，可得，又，则，可得.所以，.（2）在上单调递增，证明如下：由（1）：，令，则，由，，即，故，所以在上递增.（3）由题设及（1）知：，由（2）知：，令，则，整理得：，若且时等号成立，则在上恒成立，由开口向上，对称轴为，，所以，即时，在上恒成立；，即或时，，则，可得，此时；综上，22.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有两个不同的零点，证明：.（1）解：∵，∴，当时，令，解得，令，解得，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为；当，即时，在上恒成立，所以的单调递减区间为，当，即时，令，解得，令，解得或，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为，；当，即时，令，解得，令，解得或，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为，；综上，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为，；（2）证明：令，即，即，所以，令，所以，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又当时，，当时，，不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，即证，即证，即证，令，所以，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，又，所以，所以.贵州省2024届高三上学期第一次联考数学试题一、选择题1.已知集合，，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.32〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以，故的子集个数为8．故选：B.2.已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（）A.3 B. C.9 D.〖答案〗C〖解析〗令，则，可得，所以，故.故选：C.3.函数的单调增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，且对称轴为，所以在上递减，在上递增，又在定义域内递减，所以的单调增区间为.故选：A.4.已知函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，所以，所以.s故选：C5.已知函数的图象如图所示，则该函数的〖解析〗式为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的定义域为，故排除A；对于B，当，，故是奇函数，排除B．对于C，当，，故是奇函数，排除C．同理得是偶函数，故选：D.6.当时，函数取得最大值2，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，又当时，函数取得最大值2，所以，，即，解得，，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，所以．故选：C．7.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为奇函数在上单调递减，且，所以，且函数上单调递减，则函数的对应的图像，如图所示，不等式等价于：①，即，解得；②，即，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：B.8.已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为的图像关于直线对称，所以.因为，所以，即.因为，所以，代入得，即，所以，．因为，所以，即，所以．因为，所以.又因为，得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为，所以.因为，所以．所以．故选：D．二、选择题9.“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗当时，对恒成立，符合题意；当时，，解得，综上，实数的取值范围是.所以“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故A正确；“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故B正确；“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件，故C错误；“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件，故D错误.故选：AB.10.已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，，，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：BCD．11.已知函数，若，则下说法正确的是（）A.当时，有4个零点 B.当时，有5个零点C.当时，有1个零点 D.当时，有2个零点〖答案〗AC〖解析〗当时，令，由，解得或或.作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，即当时，有4个零点.故A正确，B错误；当时，令，所以，解得或或（舍）作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，即当时，有1个零点.故C正确，D错误.故选：AC.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，曲线在点处的切线方程为B.若对任意的，都有，则实数的取值范围是C.当时，既存在极大值又存在极小值D.当时，恰有3个零点，且〖答案〗BCD〖解析〗对于A，当时，，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，故A错误；对于B，因为对任意的，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，所以，解得，即实数的取值范围是，故B正确；对于C，当时，由B选项知，，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，又在上单调递减，所以存在，使得，又，又在上单调递增，所以存在，使得，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故既存在极大值又存在极小值，故C正确；对于D，因为，由C选项知，，当时，；当时，，故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，），又，故有，则，即当时，恰有3个零点，且，故D正确．故选：BCD．三、填空题13.已知命题，使得，则为______________.〖答案〗.〖解析〗因为，使得，所以，故〖答案〗为：14.已知，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以，，故〖答案〗为：15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______________.〖答案〗或〖解析〗由题设，令切线方程为，而，若切点为，则且，所以，故有两个不相等的实根，则，可得或.故〖答案〗为：或.16.已知函数，，若，，且，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，，所以，所以，．令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．故〖答案〗为：.四、解答题17.已知全集，集合，.（1）当时，求与；（2）若，求实数a的取值范围.解：（1）由题设，，，故或，所以，或.（2）由题意，当时，，可得；当时，，可得；综上，.18.已知关于的不等式的解集是．（1）求实数，的值；（2）若，，且，求的最小值．解：（1）因为关于的不等式的解集是，所以和是方程的两个根，所以解得当，时，的解集是，符合题意，所以，．（2）由（1）知，，所以，又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．19.已知函数.（1）若，求在区间上的值域；（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.解：（1）由题设，又，令，则开口向上且对称轴为，由，，，所以，即在区间上的值域为.（2）由在上有解，令，则，所以在上有零点，则，即或，而开口向上，对称轴为，当，对称轴，则，可得，此时无解；当，即对称轴，若，对称轴，此时只需，可得或，此时；若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；综上，.20.已知函数.（1）若，求的极值；（2）求在区间上的最小值.解：（1）由题设且，则，当或时，当时，故在、上递增，在上递减，所以极大值，极小值.（2）由，当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；当时，在上，即在上递增，故上最小值为；当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，若，上最小值为；若，上最小值为；若，上最小值为