2024届重庆市西北狼教育联盟高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市西北狼教育联盟2024届高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题1.已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以．故选：B．2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗任意两个不相等的实数因为，所以与异号，故是上的减函数，原不等式等价于，解得，故选：B.3.已知随机变量，随机变量，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以，解得或（舍），由，则，所以.故选：C.4.如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分.假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（）A.14 B.18 C.30 D.36〖答案〗B〖解析〗将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为所以满足条件的方案数为种.故选:B.5.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗,此时可排除A,,此时可排除C,由于，所以，故排除D，故选：B6.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得．设函数，则，所以在上单调递减，从而，即，即．故选：D7.若，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.8.已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称，所以有①，又②，所以函数关于直线对称，则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，所以，即，所以函数的周期为，则，所以，故选：A.二、多项选择题9.下列命题中，真命题是（）A.，使得B.C.幂函数在上为减函数，则m的值为D.，是的充分不必要条件〖答案〗CD〖解析〗对于A，由指数函数值域可知，对于恒成立，所以A是假命题；对于B，取特殊值，则，所以B是假命题；对于C，由幂函数性质可得，解得或；又在上为减函数，所以，即可得，即C为真命题；对于D，显然，能推出；而时，可使，此时推不出，，所以，是的充分不必要条件，即D是真命题；故选：CD10.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（）A.A与B互斥 B.A与C独立 C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：A与B是互斥事件，正确；对选项B：，，，，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确.故选：ACD11.已知，则（）A.展开式中二项式系数最大项为第1012项B.展开式中所有项的系数和为1C.D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误；对于B，令，可得，即展开式中所有项的系数和为1，可得B正确；对于C，令，可得，令，可得，所以，即C正确；对于D，将等式两边同时求导可得，，再令，可得，即D正确.故选：BCD12.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）A.对任意，都有B.对任意，都存在，C.若，，则有D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.三、填空题13.已知函数，则__________.〖答案〗〖解析〗由函数〖解析〗式可得，易知，所以.故〖答案〗为：14.计算：__________.〖答案〗〖解析〗易知原式故〖答案〗为：15.若函数在上单调递减，则a的取值范围__________.〖答案〗〖解析〗利用复合函数单调性可知，函数在上单调递增，所以可得对称轴在区间的左侧，即，得；由对数函数定义域可得，即所以，即a的取值范围是.故〖答案〗为：16.已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为___________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵函数有两个极值点，，∴，又∵，∴，，∴，是，即的两个不相等的实数根.令，则．①当时，，在区间单调递减，且，②当时，，在区间单调递减，且，③当时，，在区间单调递增，且，∴在处取得极小值，的图象大致如下，∴若有两个不相等的实数根，，则，即，且，，令，则，且∵，∴，又∵，∴，∴，两边同时取对数，得，∴，下面求的取值范围，设，则，令，则，当时，，∴在上单调递减，∴当时，，∴当时，，在上单调递减，∴，即.又∵在区间上单调递减，，，∴，即.∴实数的取值范围为．四、解答题17.2022年6月5日神舟十四号搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中大学及以上学历480人，高中及以下学历520人，得到如下2×2列联表：不了解了解总计大学及以上38442480高中及以下6514520总计449561000（1）若高中及以下学历不了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人都不是高中以下学历的概率；（2）若认为不了解与否与学历有关，则出错的概率是多少?附表：0.500400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83参考公式：，.解：（1）记“2人都不是高中以下学历”为事件；则，故2人都不是高中以下学历的概率为（2）由表中数据可得，显然，参考附表中的数据可知出错的概率是低于.18.已知函数.（1）求的极值；（2）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，恒成立，，由（1）可得图象如下图所示，只有一个实数解等价于与有且仅有一个交点，由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，实数的取值范围为.19.已知函数．（1）若的解集为，求a，b的值.（2）若，求解不等式.解：（1）的解集为，方程的两个实根分别为，2，且，则，解得：.（2）中，当时，则，

化为，若时，即，解得，若时，即，无解，若时，即，解得；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.20.我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.解：（1）由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，又因为，所以.所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.（2）由（1）知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为，因为进入决赛的队伍数，所以；；；.所以，随机变量X的分布列为X0123P所以，.21.某公司为了解年研发资金投入量x（单位:亿元）对年销售额y（单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，经计算得如下数据:20667724604.20312502153.0814（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（ⅰ）根据分析及表中数据，建立y关于x的回归方程;（ⅱ）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数，回归直中公式分别为;②参考数据：.解：（1）设模型①和②的相关系数分别为r1，r2.由题意可得：，，所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.（2）（ⅰ）由（1）知，选择模型②.先建立v关于x的线性回归方程，因为，可得，即，可得，所以v关于x的线性回归方程为，即；（ⅱ）下一年销售额需达到90亿元，即，代入，得，因为，则，所以，故预测下一年的研发资金投入量约是21.67亿元.22.已知函数在处切线方程为（1）求实数，值；（2）设函数，当时，恒成立，求最小值．解：（1）定义域为，，由题意知，解得，；（2），则，令，其中，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，即，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减．所以当时，，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号，又因，所以，即，因为，，所以当时，，因为当时，恒成立，所有.重庆市西北狼教育联盟2024届高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题1.已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以．故选：B．2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗任意两个不相等的实数因为，所以与异号，故是上的减函数，原不等式等价于，解得，故选：B.3.已知随机变量，随机变量，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以，解得或（舍），由，则，所以.故选：C.4.如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分.假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（）A.14 B.18 C.30 D.36〖答案〗B〖解析〗将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为所以满足条件的方案数为种.故选:B.5.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗,此时可排除A,,此时可排除C,由于，所以，故排除D，故选：B6.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得．设函数，则，所以在上单调递减，从而，即，即．故选：D7.若，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.8.已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称，所以有①，又②，所以函数关于直线对称，则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，所以，即，所以函数的周期为，则，所以，故选：A.二、多项选择题9.下列命题中，真命题是（）A.，使得B.C.幂函数在上为减函数，则m的值为D.，是的充分不必要条件〖答案〗CD〖解析〗对于A，由指数函数值域可知，对于恒成立，所以A是假命题；对于B，取特殊值，则，所以B是假命题；对于C，由幂函数性质可得，解得或；又在上为减函数，所以，即可得，即C为真命题；对于D，显然，能推出；而时，可使，此时推不出，，所以，是的充分不必要条件，即D是真命题；故选：CD10.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（）A.A与B互斥 B.A与C独立 C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：A与B是互斥事件，正确；对选项B：，，，，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确.故选：ACD11.已知，则（）A.展开式中二项式系数最大项为第1012项B.展开式中所有项的系数和为1C.D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误；对于B，令，可得，即展开式中所有项的系数和为1，可得B正确；对于C，令，可得，令，可得，所以，即C正确；对于D，将等式两边同时求导可得，，再令，可得，即D正确.故选：BCD12.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）A.对任意，都有B.对任意，都存在，C.若，，则有D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.三、填空题13.已知函数，则__________.〖答案〗〖解析〗由函数〖解析〗式可得，易知，所以.故〖答案〗为：14.计算：__________.〖答案〗〖解析〗易知原式故〖答案〗为：15.若函数在上单调递减，则a的取值范围__________.〖答案〗〖解析〗利用复合函数单调性可知，函数在上单调递增，所以可得对称轴在区间的左侧，即，得；由对数函数定义域可得，即所以，即a的取值范围是.故〖答案〗为：16.已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为___________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵函数有两个极值点，，∴，又∵，∴，，∴，是，即的两个不相等的实数根.令，则．①当时，，在区间单调递减，且，②当时，，在区间单调递减，且，③当时，，在区间单调递增，且，∴在处取得极小值，的图象大致如下，∴若有两个不相等的实数根，，则，即，且，，令，则，且∵，∴，又∵，∴，∴，两边同时取对数，得，∴，下面求的取值范围，设，则，令，则，当时，，∴在上单调递减，∴当时，，∴当时，，在上单调递减，∴，即.又∵在区间上单调递减，，，∴，即.∴实数的取值范围为．四、解答题17.2022年6月5日神舟十四号搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中大学及以上学历480人，高中及以下学历520人，得到如下2×2列联表：不了解了解总计大学及以上38442480高中及以下6514520总计449561000（1）若高中及以下学历不了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人都不是高中以下学历的概率；（2）若认为不了解与否与学历有关，则出错的概率是多少?附表：0.500400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83参考公式：，.解：（1）记“2人都不是高中以下学历”为事件；则，故2人都不是高中以下学历的概率为（2）由表中数据可得，显然，参考附表中的数据可知出错的概率是低于.18.已知函数.（1）求的极值；（2）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，恒成立，，由（1）可得图象如下图所示，只有一个实数解等价于与有且仅有一个交点，由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，实数的取值范围为.19.已知函数．（1）若的解集为，求a，b的值.（2）若，求解不等式.解：（1）的解集为，方程的两个实根分别为，2，且，则，解得：.（2）中，当时，则，

化为，若时，即，解得，若时，即，无解，若时，即，解得；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.20.我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只