2024届云南省长水教育集团高三上学期10月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省长水教育集团2024届高三上学期10月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为全称命题的否定是存在量词的命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：D.3.若，则曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，解得.所以，则.所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.4.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B5.的展开式中的系数是（）A.10 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗二项式的通项公式为：，令，所以的展开式中的系数是，故选：D.6.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，设椭圆方程为，有，，设，，的中点为，，．，．由，．两式相减得，即，，可得：，，化为：，解得，，．故选：A．7.已知，，，则（）A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b〖答案〗B〖解析〗在上单调递减，且，，，，，故选：B8.已知平行四边形的对角线分别为，，且，点是上靠近的四等分点，则A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，因为，且点是上靠近的四等分点，∴，，∴，∵，，∴.故选B．二、选择题9.已知复数（i为虚数单位），下列说法不正确的是（）A.对应的点在第四象限B.的虚部为1C.D.满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上〖答案〗ABC〖解析〗，对应的点为，在第三象限，A选项不正确；的虚部为-1，B选项不正确；，C选项不正确；，所以满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，D选项正确.故选：ABC10.直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A. B.抛物线E的准线方程是C.以MN为直径圆与定直线相切 D.的大小为定值〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.11.正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（）A. B.平面平面C.面AEF D.二面角的大小为〖答案〗BC〖解析〗由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.12.设函数，已知在有且仅有5个零点，则（）A.在有且仅有3个极大值点B.在有且仅有2个极小值点C.在单调递增D.ω的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗因为在有且仅有5个零点，如图所示，所以，所以，所以D正确，对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，对于C，当时，，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以C正确，故选：ACD.三、填空题13.设向量，，若，则实数的值为________.〖答案〗或.〖解析〗，，，，，，则，解得或.故〖答案〗为或.14.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗点在直线上，当且仅当，即时取等号，取最小值.故〖答案〗为：.15.已知一个三棱锥，，，则它的外接球的表面积为______.〖答案〗π〖解析〗∵三棱锥P﹣ABC中，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2＝16，y2+z2＝16，x2+z2＝9，∴x2+y2+z2＝∴三棱锥P﹣ABC外接球的直径为2∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．故〖答案〗为π．16.已知，若不等式有且仅有两个整数根，则的取值范围______.〖答案〗〖解析〗由已知，的定义域为，∵，则为不等式一个整数根，又∵不等式在有且仅有两个整数根，∴不等式在有且仅有一个整数根，当，，∴等价于，即不等式在有且仅有一个整数根.令，，则，设，则，当时，，，∴，∴在区间单调递减，∴当时，，∴当时，，∴在区间上单调递减.又∵不等式在有且仅有一个整数根，∴，即，∴若不等式有且仅有两个整数根，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式（2）若，求的前项和.解：（1）由，当时，可得，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，则，令，可得，当时，可得，当时，可得，因为，所以，所以.18.如图，在中，，，点D在线段BC上．(1)当时，求的值；(2)若AD是的平分线，，求的面积．解：（1），B是三角形内角，，，．，，，∴在中，．（2）设，则，在中，由余弦定理可得：，解得：或．因为AD是的平分线，所以，即，而，所以．又由（1）知，①当时，；②当时，．综上，的面积为或．19.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：（1）小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为〖答案〗，若小明该题得5分的概率为，求；（2）小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他〖答案〗；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？解：（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，则，求得.（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，且，，，所以，，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且，，所以，,因为，所以小明应选择方案①.20.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．（1）证明：四边形为矩形，，又平面平面，平面平面，平面．取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，设平面的法向量，，，由，取，得，又，，则，又平面，平面；（2）解：设平面的法向量，，，由，取，可得，，，即平面与平面所成二面角的正弦值为；（3）解：点在线段上，设，，，，0，，2，，，，又平面的法向量，设直线与平面所成角为，，，即，，，．，，，则，的长为．21.已知函数.（1）求的极值；（2）求证：.（1）解：因为函数，所以，设，，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值.（2）证明：由（1）可知，所以当且仅当，取“＝”.由（1）得，累加得；由②得，累加得.综上所述，.22.双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.（1）求双曲线的方程；（2）已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，，焦半径，当时，，得，即，所以，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故双曲线的方程为；（2）设的中点为因为是上不同的两点，中点的横坐标为2.所以.①-②得，当存在时，，因为的中垂线为直线，所以，即，所以过定点.当不存在时，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过，所以存在以为圆心的定圆，使得被圆截得的弦长为定值2.云南省长水教育集团2024届高三上学期10月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为全称命题的否定是存在量词的命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：D.3.若，则曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，解得.所以，则.所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.4.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B5.的展开式中的系数是（）A.10 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗二项式的通项公式为：，令，所以的展开式中的系数是，故选：D.6.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，设椭圆方程为，有，，设，，的中点为，，．，．由，．两式相减得，即，，可得：，，化为：，解得，，．故选：A．7.已知，，，则（）A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b〖答案〗B〖解析〗在上单调递减，且，，，，，故选：B8.已知平行四边形的对角线分别为，，且，点是上靠近的四等分点，则A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，因为，且点是上靠近的四等分点，∴，，∴，∵，，∴.故选B．二、选择题9.已知复数（i为虚数单位），下列说法不正确的是（）A.对应的点在第四象限B.的虚部为1C.D.满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上〖答案〗ABC〖解析〗，对应的点为，在第三象限，A选项不正确；的虚部为-1，B选项不正确；，C选项不正确；，所以满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，D选项正确.故选：ABC10.直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A. B.抛物线E的准线方程是C.以MN为直径圆与定直线相切 D.的大小为定值〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.11.正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（）A. B.平面平面C.面AEF D.二面角的大小为〖答案〗BC〖解析〗由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.12.设函数，已知在有且仅有5个零点，则（）A.在有且仅有3个极大值点B.在有且仅有2个极小值点C.在单调递增D.ω的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗因为在有且仅有5个零点，如图所示，所以，所以，所以D正确，对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，对于C，当时，，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以C正确，故选：ACD.三、填空题13.设向量，，若，则实数的值为________.〖答案〗或.〖解析〗，，，，，，则，解得或.故〖答案〗为或.14.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗点在直线上，当且仅当，即时取等号，取最小值.故〖答案〗为：.15.已知一个三棱锥，，，则它的外接球的表面积为______.〖答案〗π〖解析〗∵三棱锥P﹣ABC中，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2＝16，y2+z2＝16，x2+z2＝9，∴x2+y2+z2＝∴三棱锥P﹣ABC外接球的直径为2∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．故〖答案〗为π．16.已知，若不等式有且仅有两个整数根，则的取值范围______.〖答案〗〖解析〗由已知，的定义域为，∵，则为不等式一个整数根，又∵不等式在有且仅有两个整数根，∴不等式在有且仅有一个整数根，当，，∴等价于，即不等式在有且仅有一个整数根.令，，则，设，则，当时，，，∴，∴在区间单调递减，∴当时，，∴当时，，∴在区间上单调递减.又∵不等式在有且仅有一个整数根，∴，即，∴若不等式有且仅有两个整数根，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式（2）若，求的前项和.解：（1）由，当时，可得，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，则，令，可得，当时，可得，当时，可得，因为，所以，所以.18.如图，在中，，，点D在线段BC上．(1)当时，求的值；(2)若AD是的平分线，，求的面积．解：（1），B是三角形内角，，，．，，，∴在中，．（2）设，则，在中，由余弦定理可得：，解得：或．因为AD是的平分线，所以，即，而，所以．又由（1）知，①当时，；②当时，．综上，的面积为或．19.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：（1）小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为〖答案〗，若小明该题得5分的概率为，求；（2）小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他〖答案〗；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？解：（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，则，求得.（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，且，，，所以，，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且，，所以，,因为，所以小明应选择方案①.20.如图，已知