新教材高中数学第2章平面解析几何椭圆的几何性质导学案新人教B版选择性必修第一册

2.5椭圆及其方程

2.5.2椭圆的几何性质

图课图新园闰（教师独具内容）

课程标准：1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质.2.能用椭圆的几何性

质求椭圆的方程.3.能用椭圆的几何性质分析解决有关问题.

学法指导：在研究椭圆的几何性质时，首先要从“形”的方面观察椭圆具有哪些几何性

质；再从“数”的方面（即利用椭圆方程）推导椭圆具有哪些几何性质；然后要充分利用图形

的形象直观性准确把握并熟记这些性质；最后，在解决具体问题时，要根据具体情况，灵活

地运用这些性质解题.

教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题.

教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响.

核心概念掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

从画椭圆的实际操作中，我们可以发现确定一个椭圆有两个参数，一个是IA知的长度

（即2c）,另一个是绳子长（即|必|+|成|）,也就是2a.我们知道，当a＞。时，就可以画出

椭圆，通过实际操作，我们可以发现，当c确定（即£,内确定）时，绳子越长，椭圆越圆，

绳子越短，椭圆越扁.同样，若绳子长度确定，石，K两点相距越近，椭圆越圆，K两点

相距越远（不超过2a）,椭圆越扁，这是为什么呢？由此可以得出什么结论？

导学

知识点一椭圆的几何性质

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形

2222

标准方程[°”号+}=!（2>6>0）10211+}=1（名>6>0）

范围|。3|—且—6W代b104|-且一「上月3

对称性对称轴厨X轴、y轴,对称中心画（0,0）

顶点|。7|（±&0）,（0,±6）|。8|（0,土a）,（土仇0）

轴长短轴长=画四，长轴长=回会

焦点间（土%0）同（0,土c）

焦距出川=回江

离心率e=[r^|£（o<e<i）

a

知识点二椭匾几何性质的应用

(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度,

对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆

的标准方程，则根据a,6的值可确定其性质.

(2)明确a,b,c的几何意义，a是画半长轴长,。是网半短轴长,c是同半焦距,

不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由可知长度分别为a,b,c的三条线段构

成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边.这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意

一个画焦点以及画原点为顶点的三角形是一个直角三角形,而且短轴端点与焦点的连线

长为a.如图所示，18出=画1为展\=|'37|【区川=厮1心&=幽口

(3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点.若椭

/v

圆的标准方程为F+S=l(a>6>0),则椭圆与x轴的交点4(—a,0),4(a,0)到右焦点内的距

ab

离分别最大和最小，且丹川=r^]a+c,|4知=回口.

知识点三椭圆的离心率对椭圆形状的影响

(1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e=£.-：a>c>0,A0<e<l.

a

(2心=返三=、/匚=？,e越趋近于1,则2的值越叵]小，因此椭圆越回扇;

反之，e越趋近于0,则2的值越南大，这时椭圆就越接近于国圆.当且仅当a=6时，c=

a—1—1—1―

0,这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为岁+/=比

'新知I拓展

f/Vy22

1.椭圆~?+左=1(a>6>0)与椭圆-7+7=才和椭圆~j+0=八(a>8>0,4>0)的离心率相

ababab

同.

2.椭圆中的焦点三角形

椭圆上的点。(刘，珀与两焦点构成的△件;凡称为焦点三角形.其周长为2(a+c).令"

=1/1，n=1网，/F\PA=e,△阳£的面积为S,则在椭圆之+5=1心>力0)中：

(1)当八=夏时，即点尸的位置为短轴端点时，〃最大；

(2)S=Ntarry=c|yo|,当|%|=6时，即点一的位置为短轴端点时，S取最大值，最大

值为be.

血评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c.()

(2)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆.()

22

(3)椭圆当+%=1(a>力0)的长轴长为a()

ab

22

⑷椭圆亍号=1的焦距为6.()

答案⑴V(2)X(3)X(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

2

⑴椭圆点+*=1的离心率为.

(2)设P5,n)是椭圆条+1=1上任意一点，则m的取值范围是_______.

zoy

(3)椭圆必步+??/=—的(水水o)的焦点坐标为

答案⑴坐(2)[—5,5](3)(0,±yjn-/ii)

核心素养

---------------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG-----------------------------------------------------------------------------

题型一椭圆的几何性质

例1已知椭圆1+(0+3)/=m(或0)的离心率e=^~,求0的值及椭圆的长轴长、短

轴长、焦点坐标、顶点坐标.

［解］椭圆的方程可化为工+上'=1,

mm

勿+3

mm加+2.m

IrjIo>0,,•〃7〉।

加十3"十3nrr3

.♦•椭圆的焦点在X轴上.

即才=如炉=/，力加+2

"+3

/m+2

由e2\^+3=2，

・,・椭圆的标准方程为丁+亍=1.

4

平.

椭圆的长轴长为2,短轴长为1,两焦点坐标分别为「乎，惇°)四个顶点

坐标分别为(一1,0),(1,0),0,

——［思碓品质表成反思感悟］-------------------

解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置.

(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.

(2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问

题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键.

2222

［跟踪训练1］对椭圆G：之+£=l(a>8>0)和椭圆G：4+*=l(a>於0)的几何性质的

abab

表述，正确的是()

A.范围相同B.顶点坐标相同

C.焦点坐标相同D.离心率相同

答案D

22

解析椭圆G：2+£=1(力。>0)的范围是一口或后多—bWKb,顶点坐标是(一&0),

ab

(40),(0,—H),(0,ki),焦点坐标是(一c,0),(c,0),离心率e=~\椭圆C：,+吏=1(a>b〉0)

范围是一dWyW%—bWxWb,顶点坐标是(一6,0),{b,0),(0,-a),(0,a),焦点坐标

是(0,-C),(0,c),离心率e=£综上所述，二者只有离心率相同.

a

题型二利用椭圆的几何性质求标准方程

例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：

2

(1)长轴长是6,离心率是］

(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

［解］(1)设椭圆的方程为2+5=1(力6>0)或与+*=1(<3>。>0).由已知得2d=6,所以

abab

a=3.

e2

又e=-=W，所以。=2.所以4=才一/=9—4=5.

a3

2222

所以椭圆的标准方程为++v=l或5+5=1.

9595

22

(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为』+*=l(a>力0),且两焦点为

ab

F'(-3,0),尸(3,0).如图所示，△4^2为等腰直角三角形，

少为斜边44的中线，且明=c,1441=26,

所以c=Z?=3.所以a2=Z>2+c2=18.

22

所以椭圆的标准方程为喘+5=1.

ioy

——［思推品质未成反思感悟］-------------------

求椭圆标准方程的常用方法

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法.

(2)根据已知条件“选标准，定参数”.其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求

出才，炉的值；③写出标准方程.

［跟踪训练2］求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,-6)；

(2)过点(3,0),离心率e=同.

解⑴由题意知2a=46,所以a=2A.

436

设椭圆的标准方程为］X+方y=1@力。）或Ay1x=l（a〉》。）.代入点⑵-6）,得了+了=

R64

1或一丁+至=1,将a=26代入，得，=148,力2=37或才=52,Z?2=13,故所求的椭圆的标准

ab

2222

方程为亳+而=1或而+^=L

（2）当椭圆的焦点在x轴上时，有a=3,£=噂，

a3

所以°=4，所以//=，一°2=9—6=3,

所以椭圆的标准方程为春+5=1.

•7J

当椭圆的焦点在y轴上时，有6=3,£=算，

B.3

所以n=*，解得#=27,

a3

22

所以椭圆的标准方程%+0=1.

2222

故所求椭圆的标准方程为5+0=1或］+1=1,

题型三椭圆的离心率问题

例3已知£为椭圆的左焦点，A,8分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，

当心，£4即〃/8（0为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

22

［解］解法一：由已知可设椭圆的方程为=+£=1（苏力0）,因为。?=才一兄4（一0,0）,

ab

PFxLFxA,

所以彳-c,b即《一。，

bg

因为AB//PO,所以％力=kg,即-------,

aac

所以b=c,所以才=2犬，所以8=*=乎.

a2

解法二：由解法一可知《一。，3,

又因为△%"，所以而=7;了，

DUUA

4

a「

所以7=-，所以6=。，所以才=2ct

ba

一电傕区皮条成反思感悟］-------------------

由离心率的定义可知，求e的值，就是求女和。的值或a与。的关系，很多题目由于受

到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求峙

22

［跟踪训练3］已知4一,°）,人匕。）为椭畤+方=1的两个焦点，。为椭圆上一点

且两•或=。2,则此椭圆离心率的取值范围是（）

A.怦,1）B.

书*］D.（。,

答案C

：

解析设P（m,ri）,''PF\,PF2=c=（―c-ni,—ri）,{c—m,—n）=m—c+n,

.•.裾+"2=2/2c2—裾=〃2,①

22

把P（m,而代入椭圆宏+方=1得而+"#=那'②

把①代入②得公堂等对，...那W2磊,

二/>2W2c2,a。W3c2,e=5，乎.

又木:我言〜孔222c,，.•.e=/W坐综上，此椭圆离心率的取值范围是

里乎.故选C.

题型四椭圆的实际应用题

例4我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径/?=34百公里）

的中心厂为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）4到火星表

面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）8到火星表面的距离为800百

公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心。的距离为，北百公里时进

行变轨，其中a,b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精

确到1百公里).

22

［解］设所求轨道方程为之+£=1(a»>0),

ab

且c=y］a—l).

・・・a+c=800+34,》一。=8+34,A5=438,。=396.

于是I)=a-J=35028.

,,,所求轨道方程为191844+35028=1,

设变轨时，探测器位于点汽弱，%),则

殳1

x0+%=aZ^81975.1,⑼844+35028=1'

解得扬Q239.7,外-156.7.

7XLC2+j^—^187.

故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.

——［思推品质未成反思感借］-------------------

处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直

角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题.

注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a-cW虑a+c,等号分别对应天文上

的近日点与远日点.

［跟踪训练4］已知某荒漠上£,后两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以£,

内为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8km.

(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；

(2)问农艺园的最大面积能达到多少？

解(1)以所在直线为x轴,E用的中垂线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则£(一1,0),月(1,0).设平行四边形的另两个顶点为P(x,力，QN,y'),则由已知得

用|+|用1=4.由椭圆定义知点夕在以A,4为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a=2,

22

c=l,则力=:.・••2点轨迹方程为3+5=1(/0),

qo

22

同理。点的轨迹方程为丹+5=1(y#0).

⑵9所82=1£&•|%|W2c•6=2#(km2),

所以当一为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2季km*2.*6

随堂水平,达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐

标为()

A.(±13,0)B.(0,±10)

C.(0,±13)D.(0,土洞)

答案D

解析由题意知a=13,6=10,焦点在y轴上.所以,=＞，一■=«13°—10：'=，^.故

焦点坐标为(0,±^69).

22

2.已知椭圆77一十-1=1的长轴在y轴上，且焦距为4,则w等于()

10—mm—2

A.4B.5

C.7D.8

答案D

解析因为椭圆的长轴在y轴上，所以才=加一2,炉=10—勿，因为焦距为4,所以c=

2.所以c=a2—i)=2m-12=4.所以m=8.

v21

3.(多选)已知产是椭圆C：1+/=1上的动点，0是圆〃：(x+l)2+/=£上的动点，

65

则()

A.椭圆C的焦距为乘B.椭圆C的离心率为噜

C.圆〃在椭圆C的内部D.|/讶的最小值为逑

答案BC

解析由椭圆方程可得，a=6,4=i,，c2=a2一炉=5,二焦距为2c=2乖，A错误；

离心率B正确；设尸(x,y)(一乖W运琳),贝！J|阳|'=(x+l)?+/=(x+

1)2+1—1=|^+号2+上》黑,.,.圆〃在椭圆。的内部,c正确；।尸0i的最小值为yi—

=害，D错误.故选BC.

5

、历

4.在平面直角坐标系My中，椭圆C的中心在原点，焦点£,K在x轴上，离心率为十.

过F的直线/交，于48两点，且的周长为16,那么椭圆。的方程为,△

AF\Fz的面积的最大值为.

22

答案.+?=18

168

解析由△力质的周长=4^=16,得a=4,又由离心率为喙，即5=乎，得。=2啦，

22

222

所以，=16,A=a-C=16-8=8,所以椭圆。的方程为2+卷=1.当点/为短轴的端点时,

168

△/£用的面积最大，5AJM^2=1x2cA=8.

5.若椭圆卬六+4/=4必(粉0)的离心率*,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶

点坐标.

解(1)当0〈水4时，长轴长和短轴长分别是4,2小,焦点坐标为(一1,0),(1,0),顶

点坐标为(-2,0),(2,0),(0,一#),(0,#).

(2)当心4时，长轴长和短轴长分别为半，4,

焦点坐标为(o,一明，(。，明，

顶点坐标为i(。,明(—2,0),(2,0).

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.与椭圆9/+4/=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()

V22

A.y+--=lB.x+^=l

D-彳+L

答案B

22_

解析椭圆97+4/=36可化为:+光=1,可知其焦点在y轴上,焦点坐标为（0,土十）

22_

故可设所求椭圆方程跨+方=l（a冷。），则k返又2Q2,所以Q1,所以'=",2

2

=6,故所求椭圆的标准方程为x%=L

//1

2.若焦点在x轴上的椭甄+『1的离心率为下则〃的值为（）

3

A.B.~

82

C.D

3-3

答案B

解析因为焦点在x轴上，所以a=啦"=%,所以c=yla2—b~=^2-/7?,e=-_

=|,所以3

ni=2'

3.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率

为（）

A.亚B.

22

近

3・3

答案A

CA/Q

解析如图所示，四边形8右反£为正方形，则△员砒为等腰直角三角形，所以二=手.

az

4.已知A,K是椭圆的两个焦点，若满足，诙•，施=0的点材总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,1

答案c

解析设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a,b,c,因为茄;•/施=0,

所以点材的轨迹是以原点。为圆心，半焦距长c为半径的圆.又点〃总在椭圆内部，所以该

圆在椭圆的内部，因此长方，c<a,c<l）=a'-c,即e2=?g.所以eG（0,平）故椭圆离心

率的取值范围是（。，阴.

2

5.（多选）设椭圆G5+/=1的左、右焦点分别为£，艮,。是椭圆。上的动点，则下

列结论正确的是（）

A.|掰|+咫|=2*

B.离心率6=平

C.△然K面积的最大值为地

D.以线段为直径的圆与直线工+/一m=0相切

答案AD

解析对于A,由椭圆的定义可知|阳|+|成|=2a=2*,所以正确；对于B,依题意

知，a=@,b=l,c=l,所以e=*=/==坐，所以错误；对于C,因为|石4|=2，=2,当

产为椭圆短轴的顶点时，△闭内的面积取得最大值为1•2c•6=c・6=1,所以错误；对于D,

以线段公用为直径的圆的圆心为（0,0），半径r=c=l,圆心到直线x+y—

=1,也即圆心到直线x+y—蛆=0的距离等于半径，所以以线段£内为直径的圆与直线”

+y—啦=0相切，所以正确.故选AD.

二、填空题

6.已知椭圆£的短轴长为6,焦点厂到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆£的离心

率等于.

_4

答案i

解析根据题意得26=6,a+c=9或a—。=9.又因为才一万=02,°>（）,所以^=5,c

5

7.4为y轴上一点，R,K是椭圆的两个焦点，若△?!£凡为正三角形，且的中点6

恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为.

答案73-1

解析如图，连接切.因为为正三角形，且8为线段4A的中点.所以46,跖，

/犯£=30°,又因为|£川=2°,所以|跖|=c,[成|={5c,由椭圆的定义得|跖1+1跖|

=2a,即c+，5c=2a,所以—1.所以椭圆的离心率e=45—1.

a

22

8.若点。和点尸分别为椭圆今+《=1的中心和左焦点，点。为椭圆上的任意一点，则

4o

OP-标的最大值为,此时点/的坐标为.

答案6⑵0)

六2

解析由椭圆3+5=1可得下(-1,0),0(0,0).设尸(x,y),一2WxW2,则办•尻

fi2

x+x+y=^+x+2,^l-^=^x+x+3=^x+2)+2,当且仅当x=2时，流•标取得最大

值6.当x=2时，尸0,即此时点。的坐标为(2,0).

三、解答题

9.求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率*,焦距为8；

(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为小.

c4],,,

解(1)由题意知，2c=8,c=4,所以£=一=一=3，所以a=8,从而//=才一^=48,

aa2

2

所以所求椭圆的标准方程为卷/+菽x=1.

6448

a=2c，

(2)由已知，得彳厂所以〈:从而层=9,

、司一0=73,[c=\3.

2222

所以所求椭圆的标准方程端+5=1或看+£=1.

1.乙？*z1■乙

10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点A,K在x轴上，A,8是椭圆的顶点，。是椭

圆上一点，且阳，x轴，PFJ/AB,求此椭圆的离心率.

1/

解设椭圆的方程为孑+q=l(a>6>0),则有£(