人教版高中数学必修一《函数的表示法》导学案

1.2.2函数的表示法

一、【学习目标】

（1）理解函数的三种表示方法；

（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；

（3）通过具体实例，掌握简单的分段函数及应用.

二、【自主梳理】

1、回忆引入：初中学习的函数表示法有哪些？

例：下列各题用的什么函数表示法？填入括号内。

()

名称第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟988791928895

张诚907688758680

赵磊686573727582

2、请画出函数y=|x—3］的图象？你首先想到的

是做什么？。

你发现两个函数y=x—3和y=3—x与函数

y=1x—3］有什么关系？

3、定义：

（1）分段函数指：_________________________

—I--------4---------1----1|----1----1■

--------------------------------------------------------------------°13SX

你能举出在日常生活中分段函数的例子吗？

（2）映射指：_____________________________________________________________________

理解“映射”概念所抓的要素是：___________________________________________________

映射与函数概念有什么区别？

【重点领悟】1.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为,值域为

解析：由图象可知，第一段的定义域为[—1,0),值域为[0,1);

第二段的定义域为[0,2],值域为[—1,0].

因此该分段函数的定义域为[—1,0)[0,2]=[-1,2],值域为[0,1)：-1,0]=[-

1,1).

答案:[-1,2][-1,1)

2.已知函数f(x)=4''求H2),H—3)的值.

0,%<0,

解：V2>0,Af(2)=22=4.

V-3^0,・・・广(-3)=0.

3.求下列函数解析式：

(1)已知Hx)是一次函数，且满足3Hx+D—〃x)=2x+9,求/<x)一

(2)已知F(x+1)=x+4JT+1,求F(x)的解析式.

解析：(1)由题意，设函数为广(x)=dx+6(aW0),

,•"(x+l)—Hx)=2x+9,

3a(^r+1)+3Z?—ax—Z?=2x+9,

即2aY+3H+26=2X+9,

2a=2,

由恒等式性质，得

3乃+26=9,

/.a=1,b=3.

.•・所求函数解析式为F(x)=x+3.

(2)设x+1=t,则x=t—1,

f(6=(t-1)2+4(t—1)+1,

BP/1(1)=5+21——2.

・•・所求函数为f(x)=x+2x—2.

【探究提升】求下列函数解析式.

(1)已知2/^+f(x)=x(xW0),求f(x)；

(2)已知f{x)+2_f(—x)=x+2x,求f{x).

解析：(l)：f(x)+2/Q=x,将原式中的x与:互换,

得g+2f(x)W

于是得关于f(x)的方程组，

9x

解得f(x)=1一§(x#0).

(2)•；f(x)+2f(—x)=x'+2x,

将x换成一x,得f(—x)+2f(x)=x?—2x,

.•.将以上两式消去f(—x),得3F(x)=f—6x,

,、12

.♦.『(x)=~x—2x.

【学法引领】1.怎样了解分段函数以及分段函数有关问题的处理方法？

2.映射与函数的区别与联系？

解析：1,①研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的

图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.

①分段函数是一个函数.

②定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏.

③值域是各段函数值的并集.

④最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再

比较.

⑤求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解

析式.

2.

名称

区别函数映射

与联系

映射中的两个集合

函数中的两个集合

A和B可以是数集，

区别A和B必须是非空

也可以是其他集合，

数集.

只要非空即可.

函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的

联系

推广，但不一定是函数.

【巩固训练】L已知函数f(x)的定义域/={x|OW启2},值域6={y|lWZ2},下列

选项中，能表示f(x)的图象的只可能是()

解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项A,B,值域为{y|OWj<2},不满足题意,

而C中当0VxV2时，一个自变量x对应两个不同的y,不是函数.故选D.

答案:D

2.已知函数f(2x+l)=3x+2,且广(血=2,则a的值.等于(.)

A.8B.1

C.5D.-1

解析：由H2x+1)=3x+2,令2x+l=Z,

t——1,、t——1,

x=-^~,：.f{t)=3•+2,

x—

・・・F(x)=——-——+2,

/•/(a)=-------------+2=2,.•・d=L

答案：B

3.已知函数Ax)由下表给出，则广(负3))等于()

X1234

f(x)3241

A.1B.2

C.3D.4

解析：vr(3)=4,・・・F(H3))=F(4)=1.

答案：A

4.(2012•临沂高一检测)函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=F(x)的解析式为

A.f(x)=(x—a)"/?—x)B.f(x)=(x—a)2(x+6)

C.-=—(x-”(x+Z?)D.f{x)=(x—a)2(x—6)

x+1x

5.已知函数/=使函数值为5的x的值是()

~2xx

一5

A.-2或2B.2或一］

5

C.12D.2或一2或一万

解析：若WO,则9+1=5

解得x=—2或x=2(舍去)

5

若x>0,则一2入=5,・・・彳=一5(舍去),

综上x=—2.

答案：C

6.如，图，函数F(x)的图象是曲线以8其中点。，4夕的坐标分别为(0,0),(1,2),

(3,1),则石的值等于.

解析:⑶=1,

J=f⑴=2.

答案：2

f/,一

7.已知f(x),

[1,x〉l或水一1

(1)画出F(x)的图象；

(2)求F(x)的定义域和值域.

解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.fy

⑵由条件知，1

函数的定义域为R.\.

由图象知，当一IWxWl时，Hx)=f的值域为[0,1],T力1”

当x〉l或X<—1时,f(x)=1,所以f{x)的值域为[0,1].

8.“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经

济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，

给我国农业造成的损失达1