高中数学函数训练与知识归纳

高中数学函数专题训练与知识归纳

［题1］已知函数/(x)=d-x〃加+“2©的图象在“0处的切

线为>=玩.(•为自然对数的底数).

(1)求。，8的值；

(2)当XER时，求证：/W^-x3+x.

(3)若，(x)>h对任意的桢)恒成立，求实数#的取值范

围.

【题2】已知函数/(*)=?(a").

(1)设函数九⑴=a/xr-f(x),求函数依)的极值；

(2)若。(乃=alnxr在［l,e］上存在一点配，使得贝杭)NfM成立,

求。的取值范围.

【题3】(本小题共13分)已知函数

/1(X)=cos2a)x+-J3sina)xcosa)x3>0)的最小正周期为“.

2

(I)求人/)的值；

(II)求函数f。)的单调区间及其图象的对称轴方程.

【题4】已知函数f(x)="aln~2(a>0).

(1)若曲线y=f(W在点P(W(1))处的切线与直线y=x+2垂直,

求函数y=f(W的单调区间；

(2)若对于任意4e(0,+8)都有r(x)>2(a-l)成立，试求a的取

值范围；

(3)记g(x)=f(x)+x->ScR).当a=l时，函数g(x)在区间

k-e］上有两个零点，求实数力的取值范围。

参考答案：

【题1——答案］(1)。=-"=1(2)见解析(3)(―)

【解析】

(1)因为〃x)=j--+2/B,可得/'(x)=J-2x,根据函数

/(x)=d-xT2«+Mxe处的图象在*=0处的切线为>="，即可求

得答案；

(2)由(1)可知，〃x)=J_x2_l令中(x)=/(x)+x?_x=J_xT,

夕由"(x)=。,得％=0,当时,"(x)<0,伊(X)

单调递减；当“他㈣时,")>。,3(x)单调递增，即可求得

答案；

/\//(x)>5

(3)因为〃x)>h对任意的xe佗他)恒成立，可得丁”对

任意的六(。>他)恒成立，令孰'x,x>0,结合已知，即

可求得答案.

(1)Q/(x)=aJt-x2+2a+6

./(x)=J-2x

Q函数〃x)=J--+勿+b(xe©的图象在％=0处的切线为」=加

/(o)=i+2a+i=o

.'/⑼=1=6

Ja=-1

解得：1=1

(2)由(1)可知，〃X)=『-x2-l.

令中(x)=/(x)+x2-x=/-xT,中由d(x)=。，得X=0,

当xe(y,o)时，"(x)<0,学(x)单调递减；

当x€(Q桢)时，"6)>0,伊(x)单调递增.

。㈤皿=0(。)=。，

../(x)^-x2+x

(3)Q〃X)>H对任意的六色桢)恒成立

/(X)上

二丁对任意的xe(。'桢)恒成立，

g(x)=§

《'W,

,q——'a)-/(x)_—2x)-(--炉-I)_(x-l)(/-X-1)

...g[J-.

由(2)可知当xe(Q+»)时，d_xT>0恒成立,

令"卜)>°,得x>l；

/(x)<0,得0<x<l.

二以工)的增区间为Q”)，减区间为(°』

故g(x)w=g(l)=@-2

二无〈雇工)吨=晨1)=@-2,

.•・实数上的取值范围为(e*-2).

【题2——答案](1)当a>-1时，九⑺极大值为a【n(l+a)-a-2,

e2+l

无极小值；当a«T时，九㈤无极值；(2)0'启~或aW-2.

【解析】

(1)求出/”)，对。分类讨论求出单调区间，即可求出结论；

(2)g(4)=S%r在[词上存在一点祀,使得以邳)”(刖)成立,

即为只需MOw",结合(1)中的结论对。分类讨

论求出此加%即可求解.

(1)依题意M“户附”一「",定义域为(0,+8),

卜__a1+a_^-ax-Cl+a)_(x+l)[x-(l+a)]

.1+--p-,

①当a+l>0,即a>-l时，

令九'㈤>O,Vx>0,：.0<x<l+a,

此时,九⑺在区间@a+l)上单调递增，

令九'(X)<0,得x>l+a.

此时，九⑺在区间(a+1,+助上单调递减.

②当a+140,即aMT时,九6)<。恒成立,

MX)在区间(。，+8)上单调递减.

综上，当a>T时，

九(%)在x=l+a处取得极大值Ml+a)=a1n(l+a)-a-2,无极小值；

当时，依)在区间©+8)上无极值.

(2)依题意知，在[1闾上存在一点冲,使得蛔)"(劭)成立,

即在[词上存在一点沏，使得贴。)“，

故函数心尸alnx-x-^[1)e]上，有财32。.

由(1)可知，①当a+l",

即QNI时,九⑺在口间上单调递增，

1/、I/、1+Q+1

ha­e~—.a>—

•••Mmax=Me)=>09••9

J+1e2+l

,••i，•••a3”1.

②当0<a+l£l,或aWT,

即a=。时，九(%)在口间上单调递减，

x

K)max=/i(l)=-l-l-a>0>/ea<-2.

③当l<a+l<e,即0<a<e-l时，

由(2)可知，九㈤在“1+。处取得极大值也是区间(。，+8)上的

最大值，

即h(x)max=h(l+a)=aln(l+a)-a-2=a[!n(l+a)-l]-2

,/0Vn（a+1）<1,幅+a）<0在［l,e］上恒成立，

此时不存在沏使2。）"成立.

J+1

综上可得，所求a的取值范围是a之丁丁或三-2.

【题3——答案】解：（I）

「1#

f(x)=,(1+cos2a)x)+ysin2cox2八

1n

=2+sin(2wx+6)>...................3分

27r

因为f(x)最小正周期为“，所以石”，解得

3=1,.......................4分

所以f(x)=sin(2x+》+]...............5分

所以/(斗=$....................6分

(JI)分别由2kTT~2~2x+6~2kn+2^k6Z),

.nn•3兀、

2kn+了K2x+不K2kir+方,(k6Z)

可得kzr—x<kn+£(k€Z)kn+^<x<kn+羊(k€Z)........g

分

所以，函数/1（>）的单调增区间为［质-；，尿+）（卜eZ）.

f(x)的单调减区间为

伙n+q,kn+R,(keZ).........................[0分

nitkn

由2x+G=ZOT+2，(keZ)得X=产+于(keZ)

所以，f(x)图象的对称轴方程为

【解析】

1n

试题(I)f(x)"+sin(23x+R,因为作)最小正周期为巴

可得川=1,可得,㈤=Shl(2X+》+T,即可求出fg).(II)

分别由2kn•—9K2x+*K2/OT+5(k€Z),

nn3n

2kn+^<2x+^<2kn+T,(kEZ)即可求出单调区间；再根据

nn

2x+kn+2，(/c6z),可得

/'(x)图象的对称轴方程.

试题解析：解：(I)f3="(1+C0S23X)+孝SE23X

1n

=2+sin(2a>x+d)

2n

因为f(X)最小正周期为“，所以为=",解得3=1,

所以八幻=克】】(2"+3+；,

所以/(引=，

(JI)分别由2kn•-5K2x+3工2/OT+a(keZ),

nn.37r

2kzr+542x+gK2kzr+〒，(kWZ)

n.n,,n2it

可彳口kzr—j<x<kn+忒k6Z)kn+-^<x<kn+予(k6Z).

nn

所以，函数f㈤的单调增区间为阿一矛E+瞅eZ)；

f(x)的单调减区间为［质+/"+?MkeZ>

由2x+3=k7T+g(kez)得x=，+3(kez)

所以，作)图象的对称轴方程为"='+熊EZ).

【题4——答案】(1)单调增区间是(2,+8),单调减区间是

(0,2).(2)(°3(3)(L沁F

【解析】

(1)先由导数的几何意义求得a,在定义域内，再求出导数

大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间

即为函数的减区间.

(2)根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f(x)

>2(a-1)恒成立，需使函数的最小值大于2(a-l),从

而求得a的取值范围.

(3)利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g(x)在

>0

5(e)>0

区间［e-l,e］上有两个零点，得到Ig(D<°,解出实数b

的取值范围.

(1)直线尸=》+2的斜率为1,函数“幻)的定义域为

(0,4-8)

2a2a

因为r(盼=一方，所以「吁片广-1,所以a=l,

2x—2

所以f(x)=2+lnx-2,/1W=—

由尸(x)>0解得力>2；由广。)<0解得0<工<2.

所以f(x)得单调增区间是(2,+8),单调减区间是(0,2).

(2)”到=-7展==由/㈤〉0解得“>£；由解得

0cxe:

a

所以“外在区间&+s)上单调递增，在区间(°，3上单调递减,

所以当无=：时，函数"X)取得最小值为»n=f6.

因为对于任意xe(0.+8)都有;成立，

所以胫即可.

2.2

T+aln--2>2(a-1)

赃1,

,2八2

即ah/>a,解得0<”工，

所以a得取值范围是(若).

27、/+x-2

(3)依题意得g(x)"+ln~2+%-b,则外乃二丁~

由g@)>0解得由g©)V。解得OVxVl.

所以函数以均在区间[e-i间上有两个零点，

>0

g(e)>02

所以Ig⑴<0,解得i<y2+e-l.

2

所以峭取值范围是(5+"1].

函数知识归纳

1、直线的倾斜角

定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜

角。特别地，当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾

斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°Wa(6)函数

y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x二对称；

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x£R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)

恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

⑵若y二f(x)是偶函数，其图像又关于直线x二a对称，则f(x)

是周期为2|a|的周期函数；

⑶若尸f(x)奇函数，其图像又关于直线x二a对称，则f(x)

是周期为4|a|的周期函数；

⑷若y=f(x)关于点美于)，(b,0)对称,则f(x)是周期为2

的周期函数；

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(aWb)对称,则函数

尸f(x)是周期为2的周期函数；

(6)y=f(x)对x£R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)

是周期为2的周期函数；

5.方程k=f(x)有解k£D(D为f(x)的值域)；

6.a2f(x)恒成立a2[f(x)]max,；aWf(x)恒成立aW

[f(x)]min；

7.

(1)(a>0,a^l,b>0,n£R+)；

(2)logaN;(a>0,aWl,b〉0,bWl)；

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆；

(4)alogaN=N(a>0,aW1,N>0)；

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(DA中元素必须都有象且；

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以

有相同的象；

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数

的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数；

⑵奇函数的反函数也是奇函数；

⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；

(4)周期函数不存在反函数；

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

(6)y=f(x)与y二fT(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A,

值域为B,则有f[f-1(x)]=x(x^B),f-l[f(x)]=x(x^A)；

n.处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上

必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看

对称轴与所给区间的相对位置关系；

12.依据单调性利用一次函数在区间上的保号性可解决求一

类参数的范围问题；

13.恒成立问题的处理方法

⑴分离参数法；

⑵转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被开方