甘肃省兰州市第十一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

甘肃省兰州市第十一中学教育集团2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥23．（3分）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2•3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+14．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（）A．（7，7） B．（11，3） C．（3，3） D．（7，﹣1）5．（3分）如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE＝DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（）A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．AE＝CF6．（3分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣47．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128．（3分）如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a是任意有理数9．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣110．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝12，则DF等于（）A．10 B．8 C．12 D．611．（3分）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（）A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝．14．（3分）若：x2+mx﹣10＝（x+2）（x﹣5），则m＝．15．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是．16．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝．三、解答题（共72分）17．（4分）解不等式组：，18．（4分）分解因式：m2（n﹣3）+4（3﹣n）．19．（5分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB．求证：OC＝OD．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．21．（6分）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．（1）求每个足球和篮球的价格；（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？22．（5分）如图，将△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，点E恰好落在BC上，若∠ABC＝70°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．23．（7分）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△ABP的面积；（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．24．（6分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．25．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：解：设x2﹣2x＝y原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为；（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．26．（6分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：【特殊情况，归纳猜想】（1）当点E为AB的中点时，如图2．确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．【特例启发，推理证明】（2）如图3，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作EF∥BC，交AC于点F．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程.27．（8分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．（1）在方程①x﹣2＝0，②，③5x﹣2＝0中，不等式组的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）（3）若方程x﹣2＝0，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围．28．（9分）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，DE经过点C，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型应用】（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，求点C的坐标．（2）如图3，一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B．①过点B在y轴右侧作BC⊥AB，且BC＝AB，连结OC，则△OBC的面积为；②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是．【模型拓展】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，分别以CB、AB为直角边，点B为直角顶点，在CB两侧作等腰直角△CBE和等腰直角△ABD，连接DE，交CB的延长线于点F，则BF的长为．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．2．（3分）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥2【解答】解：根据数轴可得：，∴此不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故选：A．3．（3分）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2•3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1【解答】解：A．6x2y3＝2x2•3y3，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（）A．（7，7） B．（11，3） C．（3，3） D．（7，﹣1）【解答】解：将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（7+4，3），即（11，3）．故选：B．5．（3分）如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE＝DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（）A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．AE＝CF【解答】解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），故选：D．6．（3分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．故选：D．8．（3分）如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a是任意有理数【解答】解：如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，得a+1＜0，a＜﹣1，故选：B．9．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：B．10．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝12，则DF等于（）A．10 B．8 C．12 D．6【解答】解：过D作DM⊥AC，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DEC＝30°，AE＝DE，∵AE＝12，∴DE＝12，∴DM＝6，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠DAC，∵DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM＝6．故选：D．11．（3分）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（）A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除【解答】解：原式＝（3a+5+2）（3a+5﹣2）＝3（3a+7）（a+1），则对于任何整数a，多项式（3a+5）2﹣4都能被a+1整除．故选：C．12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：连接AD，AM，∵AB＝AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是AC的垂直平分线，∴CM＝AM，∴CM+DM＝AM+DM≥AD，∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，∴CM+DM的最小值为6．故选：A．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝﹣2．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（3分）若：x2+mx﹣10＝（x+2）（x﹣5），则m＝﹣3．【解答】解：∵（x+2）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10＝x2+mx﹣10，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．15．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是m≤2．【解答】解：∵不等式组无解，∴m≤2．故答案为：m≤2．16．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝5．【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，∵点C在第一象限，∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质），即3a＝a+10，得a＝5，故答案为：5．三、解答题（共72分）17．（4分）解不等式组：，【解答】解：，由①得：x≥﹣3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2．18．（4分）分解因式：m2（n﹣3）+4（3﹣n）．【解答】解：原式＝m2（n﹣3）﹣4（n﹣3）＝（n﹣3）（m2﹣4）＝（n﹣3）（m+2）（m﹣2）．19．（5分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB．求证：OC＝OD．【解答】证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴∠C＝∠D，∴OC＝OD．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为（﹣2，0）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心Q的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．21．（6分）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．（1）求每个足球和篮球的价格；（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？【解答】解：（1）设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，由题意得，，解得，答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；（2）设八年级购买了m个足球，则购买了（10﹣m）个篮球．由题意得，50m+40（10﹣m）≤460，解得m≤6，∴m的最大值为6，答：该校八年级最多购买了6个足球．22．（5分）如图，将△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，点E恰好落在BC上，若∠ABC＝70°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【解答】解：△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∠B＝∠AEF＝70°，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝70°．∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝40°，∵∠FGC是△EGC的外角，∴∠FGC＝∠FEG+∠ACB＝40°+28°＝68°．23．（7分）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△ABP的面积；（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．【解答】解：（1）∵将点P（﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P（﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1，∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3；（2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x＝，∴A（，0）．∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3，∴B（3，0）．∴S△ABP＝AB×5＝××5＝．（3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3．24．（6分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：在△ADF和△AEF中，，∴△ADF≌△AEF（SSS）．∴∠DAF＝∠EAF，∴AP平分∠BAC．（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，∴PG＝PQ＝6．∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG，∴AB×6+×9×6＝60．∴AB＝11．25．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：解：设x2﹣2x＝y原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为（x﹣1）4；（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．【解答】解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，∴该同学因式分解的结果不彻底．故答案为：不彻底，（x﹣1）4．（2）设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．26．（6分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：【特殊情况，归纳猜想】（1）当点E为AB的中点时，如图2．确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．【特例启发，推理证明】（2）如图3，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作EF∥BC，交AC于点F．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程.【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝30°，∵∠EBC＝∠D+∠BED，∴∠D＝∠BED＝30°，∴DB＝BE＝AE，故答案为：＝；（2）AE＝DB，理由如下：如图3，过点E作EF∥BC，交AC于点F．则∠CEF＝∠ECD，∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∴∠AEF＝∠AFE＝∠A，∠EFC＝120°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠CEF＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠DBE＝120°＝∠EFC，∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，在△DBE和△FEC中，，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD＝FE，∴BD＝AE．27．（8分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．（1）在方程①x﹣2＝0，②，③5x﹣2＝0中，不等式组的关联方程是①；（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是x﹣1＝0，答案不唯一；（写出一个即可）（3）若方程x﹣2＝0，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围．【解答】解：（1）解不等式组得：1＜x＜3，∵方程①x﹣2＝0的解为x＝2；方程②的解为x＝﹣；方程③5x﹣2＝0的解为x＝，∴不等式组的关联方程是①，故答案为：①；（2）解不等式组得：＜x＜，所以不等式组的整数解为x＝1，则该不等式组的关联方程为x﹣1＝0，故答案为：x﹣1＝0，答案不唯一；（3），解不等式①，得：x＞m，解不等式②，得：x≤m+2，所以不等式组的解集为m＜x≤m+2．方程x﹣2＝0的解为x＝2，方程的解为x＝3，所以m的取值范围是1≤m＜2．28．（9分）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A