2024届广东省信宜市高三上学期摸底数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省信宜市2024届高三上学期摸底数学试题一、单项选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，得即，则故选：A.2.已知复数满足：（i为虚数单位），则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故.故选：C.3.已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，则α是β的必要不充分条件，

故选：B．4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度〖答案〗C〖解析〗由三角函数的图象变换，把函数的图象上所有的点向左平移3个单位长度，可得，再向下平移2个单位长度可得.故选：C.5.在中，点为边的中点．记，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点D为边的中点，所以，.故选：D.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6〖答案〗C〖解析〗由，当时，，则.故选：C.7.设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得,由，即，所以.故选：C.8.已知，且满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，化简得，两边平方化简得，所以，即，则，两式联立求得，所以，故选：A二、多项选择题9.已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，对于B,，假设，，又，故，则，故B对,对于C,因为，，又，则，故C对,对于D,直线可以与平面平行，故D错.故选：BC.10.有一组样本数据，已知，，则该组数据的（）A.平均数为2 B.中位数为2 C.方差为2 D.标准差为2〖答案〗AC〖解析〗由题意知，样本数据，且，，数据的平均数为，所以A正确；根据中位数的定义，数据的中位数为中间的数据，所以不确定，所以B不正确.数据的方差为，所以C正确；标准差为，所以D错误；故选：AC.11.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若曲线表示两条平行线，则B.若曲线表示双曲线，则C.若，则曲线表示椭圆D.若，则曲线表示焦点在轴椭圆〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；对于D选项，若，则，则，曲线的方程可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.故选：BD.12.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.在上恰有三个零点 D.的最大值为2〖答案〗AD〖解析〗易知函数的定义域为，且，所以为偶函数．故A正确；因为，所以的图象关于直线对称，则，，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当时，，当时，，单调递减，B错误；在上零点的个数等价于在上零点的个数，而在上有无数个零点，故C错误；当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，故D正确．故选：AD.三、填空题13.已知函数则______.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，所以.故〖答案〗为：2.14.写出一个定义域为，既是减函数又是奇函数的函数______．〖答案〗（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正确也可）〖解析〗对于函数，任取，均属于，且，，由，所以，即，所以函数是上的减函数，又，所以函数是上的奇函数，函数是上的减函数且为奇函数.故〖答案〗为：.（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正确也可以）15.在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）〖答案〗24〖解析〗的展开式通项公式为，令，得，故的系数为24.故〖答案〗为：24.16.若存在实数使得，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，可得，所以，即，当且仅当即等号成立，此时的值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.在△中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若△面积，求的值．解：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得.18.已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.求证：.（1）解：由题可得，故.（2）证明：且，则于是.19.如图，已知等腰直角三角形，其中，.点､分别是､的中点，现将沿着边折起到位置，使，连接､.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）证明：∵点､分别是､的中点，∴，.又∵，沿着边折起到位置，∴.∴.∴，∵，，∴平面∵平面，∴.（2）解：取的中点，连接､.∵，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在中，，在中，，.∴二面角的平面角的余弦值是.20.某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072解：（1）由直方图可得A学科良好的人数为，所以2×2列联表如下：B学科良好B学科不够良好合计A学科良好403070A学科不够良好102030合计5050100假设：A学科良好与B学科良好无关，，所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．（2）AB学科均良好的概率，X的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列为X0123P因为，所以．21.已知函数，．（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，，定义域为，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在时，取到最小值，，而，，，，因此函数值域为.（2）由，得，即在上恒成立，设，，则，∵，∴，，∴当时，，即函数在上单调递减，∴当时，，因此，即的取值范围是．22.已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．解：（1）抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，∴，抛物线的方程为.（2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），设在抛物线上三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）．则有，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化简得，正方形的面积为，∵，∴，当且仅当时等号成立，所以，即，∴.方法二：的斜率为（），点的坐标为，则由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面积，令，，则，设，，则，，∵，∴，∴单调递增，.方法三：设直线：，（为参数）代入抛物线，得，即，∴，，设，则，同理，，不妨设，∵，∴，化简得，∴，，设，则，，，∵，∴，∴单调递增，.广东省信宜市2024届高三上学期摸底数学试题一、单项选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，得即，则故选：A.2.已知复数满足：（i为虚数单位），则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故.故选：C.3.已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，则α是β的必要不充分条件，

故选：B．4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度〖答案〗C〖解析〗由三角函数的图象变换，把函数的图象上所有的点向左平移3个单位长度，可得，再向下平移2个单位长度可得.故选：C.5.在中，点为边的中点．记，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点D为边的中点，所以，.故选：D.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6〖答案〗C〖解析〗由，当时，，则.故选：C.7.设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得,由，即，所以.故选：C.8.已知，且满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，化简得，两边平方化简得，所以，即，则，两式联立求得，所以，故选：A二、多项选择题9.已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，对于B,，假设，，又，故，则，故B对,对于C,因为，，又，则，故C对,对于D,直线可以与平面平行，故D错.故选：BC.10.有一组样本数据，已知，，则该组数据的（）A.平均数为2 B.中位数为2 C.方差为2 D.标准差为2〖答案〗AC〖解析〗由题意知，样本数据，且，，数据的平均数为，所以A正确；根据中位数的定义，数据的中位数为中间的数据，所以不确定，所以B不正确.数据的方差为，所以C正确；标准差为，所以D错误；故选：AC.11.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若曲线表示两条平行线，则B.若曲线表示双曲线，则C.若，则曲线表示椭圆D.若，则曲线表示焦点在轴椭圆〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；对于D选项，若，则，则，曲线的方程可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.故选：BD.12.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.在上恰有三个零点 D.的最大值为2〖答案〗AD〖解析〗易知函数的定义域为，且，所以为偶函数．故A正确；因为，所以的图象关于直线对称，则，，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当时，，当时，，单调递减，B错误；在上零点的个数等价于在上零点的个数，而在上有无数个零点，故C错误；当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，故D正确．故选：AD.三、填空题13.已知函数则______.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，所以.故〖答案〗为：2.14.写出一个定义域为，既是减函数又是奇函数的函数______．〖答案〗（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正确也可）〖解析〗对于函数，任取，均属于，且，，由，所以，即，所以函数是上的减函数，又，所以函数是上的奇函数，函数是上的减函数且为奇函数.故〖答案〗为：.（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正确也可以）15.在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）〖答案〗24〖解析〗的展开式通项公式为，令，得，故的系数为24.故〖答案〗为：24.16.若存在实数使得，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，可得，所以，即，当且仅当即等号成立，此时的值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.在△中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若△面积，求的值．解：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得.18.已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.求证：.（1）解：由题可得，故.（2）证明：且，则于是.19.如图，已知等腰直角三角形，其中，.点､分别是､的中点，现将沿着边折起到位置，使，连接､.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）证明：∵点､分别是､的中点，∴，.又∵，沿着边折起到位置，∴.∴.∴，∵，，∴平面∵平面，∴.（2）解：取的中点，连接､.∵，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在中，，在中，，.∴二面角的平面角的余弦值是.20.某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910