2024届山西省运城市景胜学校西校区高三上学期10月月考数学试题B卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省运城市景胜学校（西校区）2024届高三上学期10月月考数学试题（B卷）一、选择题1.已知向量，，，若，则（）A. B.3 C. D.5〖答案〗B〖解析〗由已知得，，且，，解得.故选：B.2.已知正方形边长为2，，则的值为（）A B. C.0 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以是线段的中点，所以.故选：D.3.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗过作的平行线，交于，连结，则到平面的距离即为到平面的距离．作于，平面，所以，且，所以平面，，所以平面，可求得．故选：B4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以该函数的最小正周期为，故选：C.5.设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又因为，所以，所以是直角三角形.故选：A.6.给出下面四个函数：①；②；③；④.其中最小正周期为的有（）A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①④〖答案〗A〖解析〗①的最小正周期为；②，故是最小正周期为的函数；③的最小正周期为；④的最小正周期为，故最小正周期为的有①②③，故选A.7.在△ABC中，角的对边分别为则边上的高为（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗设边上的高为，因为，所以由余弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以，解得，故选：B8.如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗B〖解析〗对于A，因为底面为正方形所以因为平面，平面所以，而，所以平面，又因为平面所以平面平面，故A正确；对于C，因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以，而，所以平面，又因为平面，所以平面平面，故C正确；对于D，因为由选项C可得平面，而平面所以平面平面，故D正确.对于B，平面与平面不垂直，故B错误.故选：B二、多选题9.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，，，对于A，若，由，故A错误；对于B，若，则，符合题意，故B正确；对于C，若，由，故C错误；对于D，，，故D正确.故选：BD.10.已知为第二象限角，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为为第二象限角，所以，故错误；可得，故正确；所以，故正确；所以．故错误．故选：．11.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上（）A.所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）B.所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D.所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度〖答案〗BD〖解析〗有两种方法，一种是先把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故A错误，B正确；另一种是先把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C错误，D正确.故选：BD．12.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗AC〖解析〗对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可得，所以A正确；对于B中，若，，则与平行、相交或异面，所以B不正确；对于C中，若，，结合面面垂直的判定定理，可得，所以C正确；对于D中，若，，，则与平行、相交或异面，所以D不正确.故选：AC.三、填空题13.已知，，，则__________．〖答案〗〖解析〗由，，，可得，故〖答案〗为：14.已知，则_________．〖答案〗.〖解析〗因为，又，所以.故〖答案〗为：.15.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积是___________.〖答案〗32〖解析〗设正方体的边长为，其外接球的半径为，则有，依题意，，所以正方体的表面积为.故〖答案〗为:32.16.如图，在正方体中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为.则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.〖答案〗①③〖解析〗①：平面，平面平面，故本结论是正确的；②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.四、解答题17.已知平面向量的夹角为，且．（1）求（2）求解：（1）因为，所以.（2）因为，所以18.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因为∥，向量，所以，当时，不成立，则，从而，所以（2）因为，所以，即，故，因为，所以.当时，不成立，则，故，所以.19.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求.解：（1）由余弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，∵为的内角，∴，∴；（2）由（1）知：，∵为的内角，∴，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴.20.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.解：（1）因为，令，解得所以函数的单调增区间为.（2）因为，所以，所以，所以的值域为.21.如图，已知四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，为侧棱的中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）侧棱底面，底面，所以，又，以为坐标原点，分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∵，，∴，∴，则，∴异面直线与所成角为90°.（2）设平面的法向量为，∵，，并且，，∴，令得，∴平面的一个法向量为∵，∴，设直线与平面所成角为，，则，∴直线与平面所成角的正弦值.22.如图，，分别是正三棱柱的棱，的中点，且棱，．（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值．（1）证明：在线段上取中点，连结、．因为是的中位线，所以，且．又因为，且，所以，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以是等边三角形，所以．分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，．所以，．设平面的一个法向量为．则取，则．因为平面的一个法向量为，所以．所以锐二面角的余弦值为．山西省运城市景胜学校（西校区）2024届高三上学期10月月考数学试题（B卷）一、选择题1.已知向量，，，若，则（）A. B.3 C. D.5〖答案〗B〖解析〗由已知得，，且，，解得.故选：B.2.已知正方形边长为2，，则的值为（）A B. C.0 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以是线段的中点，所以.故选：D.3.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗过作的平行线，交于，连结，则到平面的距离即为到平面的距离．作于，平面，所以，且，所以平面，，所以平面，可求得．故选：B4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以该函数的最小正周期为，故选：C.5.设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又因为，所以，所以是直角三角形.故选：A.6.给出下面四个函数：①；②；③；④.其中最小正周期为的有（）A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①④〖答案〗A〖解析〗①的最小正周期为；②，故是最小正周期为的函数；③的最小正周期为；④的最小正周期为，故最小正周期为的有①②③，故选A.7.在△ABC中，角的对边分别为则边上的高为（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗设边上的高为，因为，所以由余弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以，解得，故选：B8.如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗B〖解析〗对于A，因为底面为正方形所以因为平面，平面所以，而，所以平面，又因为平面所以平面平面，故A正确；对于C，因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以，而，所以平面，又因为平面，所以平面平面，故C正确；对于D，因为由选项C可得平面，而平面所以平面平面，故D正确.对于B，平面与平面不垂直，故B错误.故选：B二、多选题9.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，，，对于A，若，由，故A错误；对于B，若，则，符合题意，故B正确；对于C，若，由，故C错误；对于D，，，故D正确.故选：BD.10.已知为第二象限角，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为为第二象限角，所以，故错误；可得，故正确；所以，故正确；所以．故错误．故选：．11.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上（）A.所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）B.所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D.所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度〖答案〗BD〖解析〗有两种方法，一种是先把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故A错误，B正确；另一种是先把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C错误，D正确.故选：BD．12.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗AC〖解析〗对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可得，所以A正确；对于B中，若，，则与平行、相交或异面，所以B不正确；对于C中，若，，结合面面垂直的判定定理，可得，所以C正确；对于D中，若，，，则与平行、相交或异面，所以D不正确.故选：AC.三、填空题13.已知，，，则__________．〖答案〗〖解析〗由，，，可得，故〖答案〗为：14.已知，则_________．〖答案〗.〖解析〗因为，又，所以.故〖答案〗为：.15.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积是___________.〖答案〗32〖解析〗设正方体的边长为，其外接球的半径为，则有，依题意，，所以正方体的表面积为.故〖答案〗为:32.16.如图，在正方体中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为.则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.〖答案〗①③〖解析〗①：平面，平面平面，故本结论是正确的；②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.四、解答题17.已知平面向量的夹角为，且．（1）求（2）求解：（1）因为，所以.（2）因为，所以18.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因为∥，向量，所以，当时，不成立，则，从而，所以（2）因为，所以，即，故，因为，所以.当时，不成立，则，故，所以.19.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求.解：（1）由余弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，∵为的内角，∴，∴；（2）由（1）知：，∵为的内角，∴，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴.20.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.解：（1）因为，令，解得所以函数的单调增区间为.（2）因为，所以，所以，所以的值域为.21.如图，已知四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，为侧棱的中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）侧棱底面，底面，所以，又，以为坐标原点，分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∵，，∴，∴，则，∴异面直线与所成角为90°.（2）设平面的法向