2024届山西省运城市高三上学期摸底调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省运城市2024届高三上学期摸底调研数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故选：B.2.若复数z满足，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗，因此，故选：A3.已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则由，可得，充分性成立；反之，若，则由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要条件．故选：C．4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：，故选：D.5.已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗故选：A.

6.在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（）A.676 B.675 C.1350 D.1349〖答案〗C〖解析〗因为且，满足所以，因为数列的周期为，可得，所以，所以，所以，同理可得，所以，，所以.故选：C.7.设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗∵为圆上的点，，，∴是的中点，又是的中点，，且，又，，是圆的切线，，又，，故，离心率.

故选：D8.已知，，，则（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，设，可得恒成立，函数在上单调递增，所以，所以在在上恒成立，所以，所以，设，可得，所以，所以设，可得，所以在上单调递增，所以，可得，即，所以.故选：B.二、多项选择题9.已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有（）A.，都有两个极值点B.，都有零点C.，曲线C都有对称中心D.，使得曲线C有对称轴〖答案〗ABC〖解析〗A：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，因此本选项正确；B：当时，，当时，，而函数是连续不断的曲线，所以一定存在，使得，因此本选项正确；C：假设曲线C的对称中心为，则有化简，得，因为，所以有，因此给定一个实数，一定存在唯一的一个实数与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D：由上可知当时，，当时，，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10.如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥与三棱锥的体积之和为C.的周长的最小值为D.当点M是的中点时，CM与平面所成角最大〖答案〗ABD〖解析〗A：如下图所示：因为是正方体，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方体可得，同理可证明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直线平面，因此本选项正确；B：如下图所示：过作，交、于、，过作，交于，因为是正方形，所以可得，，因此本选项正确；C：将平面与平面展成同一平面，如下图所示：当三点共线时，最小，作，交延长线于，则，，，所以的周长的最小值为，因此本选项不正确；D：当点M是的中点时，，因为平面，平面，所以，而平面，所以平面，CM与平面所成角为，因此本选项正确，故选：ABD11.已知函数，若关于x的方程有四个不等实根、、、（），则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗如图，由函数的图像可知，，A错误；当时，，当时，，故，B正确；，则，，所以令，则，原式，，显然在时，，即y在上单调递增，，，即，C正确；由图像可知，，则，，所以，当且仅当，即时取得等号，D错误.故选：BC.12.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）A. B.C.在上是增函数 D.存在最小值〖答案〗ABC〖解析〗设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，A选项，因为，所以，即，A正确；B选项，因为，所以，即，B正确；C选项，，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在单调递增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.故选：ABC.三、填空题13.已知向量，满足：=，⊥，则=_______〖答案〗〖解析〗由⊥可得，故〖答案〗为：14.已知，则______________．〖答案〗24〖解析〗在中，令，得①，令，得②，令，得①②，得，故〖答案〗为：15.已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为______________．〖答案〗〖解析〗函数，因此，，由，解得，即函数在上单调递增，于是，即，解得，由，得，而，即或，当时，，当时，，所以的取值范围为.故〖答案〗为：16.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________．〖答案〗12〖解析〗因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，如下图，，因为，设，所以，所以，因为直线水平时显然不合题意，故可设，因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12.故〖答案〗为：12.四、解答题（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．（1）解：由题意设等比数列的公比为，因为，且，，成等差数列，可得，则，即，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）可得，则，，两式相减，可得所以.18.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求角A；（2）若，求周长的范围．解：（1）选择①：因为，由余弦定理可得，所以结合正弦定理可得．因为，则，所以，即，因为，所以；选择②：因为，由正弦定理得，由余弦定理得．因为，所以；（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵,∴，,∴

,∵,∴,∴,∴．19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.①求的分布列及均值；②求的均值取最大值时，正整数的值.解：（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.，，，所以的分布列为012所以.（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.，，，所以的分布列为012所以.因为，所以，当且仅当时取等号.所以取最大值时，的值为2.20.如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：作于点，于点，因为，，则，，所以，又，所以，由余弦定理可知，得到，所以，所以，又底面，面，所以，又，面，所以平面，又面,所以.（2）解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系因为平面，所以与平面所成的角就是所以，为等腰直角三角形，所以，，，，设平面的法向量，则则由，得到，取，得，又易知，平面的一个法向量，，由图知二面角为锐角所以二面角的余弦值为.21.已知函数．（1）当时，求证：；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：时，，令，令，则，∴在上是增函数，∴，∴在上是增函数，∴，∴时，，∴；（2）解：∵对成立，∴对成立，令，则，令，则，∵，∴，∴，∴在上是减函数，∴，∴在上是减函数，∴，∴，∴，即．22.已知椭圆，离心率，且过点，（1）求椭圆方程；（2）以为直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值．解：（1）由，，得，把点带入椭圆方程可得，解得，所以，所以椭圆方程为：；（2）由题可知，不妨设的方程，则的方程为，由，得，所以，用代入，可得从而有，于是，令，有，当且仅当时，面积的最大值为．山西省运城市2024届高三上学期摸底调研数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故选：B.2.若复数z满足，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗，因此，故选：A3.已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则由，可得，充分性成立；反之，若，则由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要条件．故选：C．4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：，故选：D.5.已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗故选：A.

6.在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（）A.676 B.675 C.1350 D.1349〖答案〗C〖解析〗因为且，满足所以，因为数列的周期为，可得，所以，所以，所以，同理可得，所以，，所以.故选：C.7.设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗∵为圆上的点，，，∴是的中点，又是的中点，，且，又，，是圆的切线，，又，，故，离心率.

故选：D8.已知，，，则（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，设，可得恒成立，函数在上单调递增，所以，所以在在上恒成立，所以，所以，设，可得，所以，所以设，可得，所以在上单调递增，所以，可得，即，所以.故选：B.二、多项选择题9.已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有（）A.，都有两个极值点B.，都有零点C.，曲线C都有对称中心D.，使得曲线C有对称轴〖答案〗ABC〖解析〗A：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，因此本选项正确；B：当时，，当时，，而函数是连续不断的曲线，所以一定存在，使得，因此本选项正确；C：假设曲线C的对称中心为，则有化简，得，因为，所以有，因此给定一个实数，一定存在唯一的一个实数与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D：由上可知当时，，当时，，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10.如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥与三棱锥的体积之和为C.的周长的最小值为D.当点M是的中点时，CM与平面所成角最大〖答案〗ABD〖解析〗A：如下图所示：因为是正方体，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方体可得，同理可证明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直线平面，因此本选项正确；B：如下图所示：过作，交、于、，过作，交于，因为是正方形，所以可得，，因此本选项正确；C：将平面与平面展成同一平面，如下图所示：当三点共线时，最小，作，交延长线于，则，，，所以的周长的最小值为，因此本选项不正确；D：当点M是的中点时，，因为平面，平面，所以，而平面，所以平面，CM与平面所成角为，因此本选项正确，故选：ABD11.已知函数，若关于x的方程有四个不等实根、、、（），则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗如图，由函数的图像可知，，A错误；当时，，当时，，故，B正确；，则，，所以令，则，原式，，显然在时，，即y在上单调递增，，，即，C正确；由图像可知，，则，，所以，当且仅当，即时取得等号，D错误.故选：BC.12.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）A. B.C.在上是增函数 D.存在最小值〖答案〗ABC〖解析〗设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，A选项，因为，所以，即，A正确；B选项，因为，所以，即，B正确；C选项，，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在单调递增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.故选：ABC.三、填空题13.已知向量，满足：=，⊥，则=_______〖答案〗〖解析〗由⊥可得，故〖答案〗为：14.已知，则______________．〖答案〗24〖解析〗在中，令，得①，令，得②，令，得①②，得，故〖答案〗为：15.已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为______________．〖答案〗〖解析〗函数，因此，，由，解得，即函数在上单调递增，于是，即，解得，由，得，而，即或，当时，，当时，，所以的取值范围为.故〖答案〗为：16.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为______________．〖答案〗12〖解析〗因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，如下图，，因为，设，所以，所以，因为直线水平时显然不合题意，故可设，因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12.故〖答案〗为：12.四、解答题（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．（1）解：由题意设等比数列的公比为，因为，且，，成等差数列，可得，则，即，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）可得，则，，两式相减，可得所以.18.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求角A；（2）若，求周长的范围．解：（1）选择①：因为，由余弦定理可得，所以结合正弦定理可得．因为，则，所以，即，因为，所以；选择②：因为，由正弦定理得，由余弦定理得．因为，所以；（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵,∴，,∴

,∵,∴,∴,∴．19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口