2024届河南省平许济洛高三上学期第一次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省平许济洛2024届高三上学期第一次质量检测数学试题一、选择题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，所以.故选：D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以可化为所以，所以.故选：C..3.已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.故选：B.4.过圆内点有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列，且，其中分别为过点的圆的最短弦长和最长弦长，则的取值集合为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：圆的圆心为，半径，则，可知，因为数列为等差数列，则，解得，又因为且，则，所以的取值集合为.故选：C.5.如图，正方形中，是线段上的动点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，则，而，则，又点共线，于是，即，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C6.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增．若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由以及偶函数可得，故，由此可得，即函数的周期是4．偶函数在,上单调递增，函数在,上单调递减．，,故即．故选：A.7.2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D.故，由可得，故，则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为.故选：D8.已知，当时，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，当时，，即，，令，则，因为恒成立，故在R上单调递增，故，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也最大值，最大值为，故，解得.故选：B.二、选择题9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.“”是“与的夹角为钝角”的充要条件D.若，则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗选项A，若，则，又，则，则，故，A项正确；选项B，，若，则，解得，B项正确；选项C，，若，则，其中当时，与共线且反向，此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角，即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误；选项D，若，则，又，则，则在上的投影向量的坐标，故D正确.故选：ABD.10.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（）A.这四人不同的旅游方案共有64种 B.“每个景点都有人去”的方案共有72种C. D.“四个人只去了两个景点”的概率是〖答案〗CD〖解析〗A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，故有种方案，B错误；C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B选项可知，，又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以，C正确；D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.故选：CD.11.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，下列结论正确的是（）A.平面B.过的平面截该正方体，所得截面面积的最大值为16C.当为线段中点时，异面直线与所成角的余弦值为D.当三棱锥的体积最大时，其外接球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗在棱长为4的正方体中，对于A，连接，正方体的对角面是矩形，则，而平面，平面，于是平面，同理平面，又平面，因此平面平面，而平面，所以平面，A正确；对于B，当与重合，与重合时，平面是过的平面，矩形是该平面截该正方体所得截面，而矩形的面积为，B错误；对于C，以点A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设异面直线与所成的角为，则，C正确；对于D，三棱锥的体积最大，当且仅当面积最大，当且仅当与重合，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球，其球半径，所以当三棱锥的体积最大时，其外接球表面积为，D正确.故选：ACD12.已知函数，则（）A.若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3B.若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C.若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1D.若函数在上单调递增，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，因为函数的图像关于直线对称，所以，则，因为，则值不可能为3，故A错误；对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；对于C，由已知得，因为函数关于原点对称，则为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；对于D，当时，，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．故选：BC．三、填空题13.已知等比数列的前项和为．若为和的等差中项，，则______．〖答案〗11〖解析〗设等比数列的公比为，为和的等差中项，，即，化简得，则，又，即，代入，解得，故，故〖答案〗为：.14.商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为______．〖答案〗75〖解析〗由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3，则第60百分位数位于内，设60百分位数为，则有，则，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75.故〖答案〗为：7515.已知为锐角，，则______．〖答案〗〖解析〗由，得，解得，，由为锐角，，知，，于是，所以.故〖答案〗为：16.已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）．若，则双曲线的离心率为______．〖答案〗〖解析〗由题意得，渐近线方程，设过其上焦点的直线方程为，则圆心到直线的距离为，解得，不妨取负值，如图所示，故过其上焦点的直线方程为，联立与可得，，解得，联立与，可得，此时，重合，舍去，联立与，可得，此时不重合，满足要求，因为，所以，故，化简得，又，故，即，解得，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：四、解答题17.锐角的内角的对边分别为，设（1）求；（2）若，求的面积的最大值．解：（1）已知锐角中，则，，，是锐角，，，，即，，即；（2），，，由余弦定理得：，，即，，当且仅当时，等号成立，的面积的最大值为．18.设数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项利．解：（1）由，得，即，解得（舍）或，当时，，当时，，所以，.（2），①则，②①-②：.所以，所以．19.“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题个数，求的分布列及数学期望．解：（1）补全的列联表如下：不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200根据表中数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则．②的可能取值为，，，的分布列为；X234P数学期望.20.如图，在三棱台中，分别为上的点，平面平面．（1）求证：平面；（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值．（1）证明：平面平面，平面平面，平面平面．四边形为平行四边形，则．为的中点．同理为的中点，则，．又且四边形是平行四边形，则．又．又平面，平面；（2）解：．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．为等腰直角三角形，即．则，，．设平面的一个法向量为．由，取，得；设平面的一个法向量为．由，取，得．．设平面和平面的夹角为，则．平面和平面的夹角的余弦值．21.已知函数．（1）若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值；（2）若函数有两个零点，证明：．（1）解：由题意：函数的定义域为，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，由可得，图象与直线相切．，当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，，即图象与直线相切．两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即．（2）证明：，令，由，得，函数在上为减函数，故，即即，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，因为，只需证，即，令，则，在上单调递增，，原题得证．22.已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设，则，由题意线垂直于轴，与交于两点，知，过点且平行于轴的直线方程为：，直线的方程为：，令，得，即，由得，因为在抛物线上，即，则，化简得，由题意知不重合，故，所以曲线的方程为（2）由（1）知曲线的方程为，点在直线上运动，当点在特殊位置时，两个切点关于轴对称，故要使得，则点在轴上．故设，曲线的方程为，求导得，所以切线的斜率，直线的方程为，又点在直线上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，，当时，恒成立，所以存在定点，使得恒成立.河南省平许济洛2024届高三上学期第一次质量检测数学试题一、选择题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，所以.故选：D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以可化为所以，所以.故选：C..3.已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.故选：B.4.过圆内点有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列，且，其中分别为过点的圆的最短弦长和最长弦长，则的取值集合为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：圆的圆心为，半径，则，可知，因为数列为等差数列，则，解得，又因为且，则，所以的取值集合为.故选：C.5.如图，正方形中，是线段上的动点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，则，而，则，又点共线，于是，即，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C6.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增．若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由以及偶函数可得，故，由此可得，即函数的周期是4．偶函数在,上单调递增，函数在,上单调递减．，,故即．故选：A.7.2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D.故，由可得，故，则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为.故选：D8.已知，当时，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，当时，，即，，令，则，因为恒成立，故在R上单调递增，故，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也最大值，最大值为，故，解得.故选：B.二、选择题9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.“”是“与的夹角为钝角”的充要条件D.若，则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗选项A，若，则，又，则，则，故，A项正确；选项B，，若，则，解得，B项正确；选项C，，若，则，其中当时，与共线且反向，此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角，即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误；选项D，若，则，又，则，则在上的投影向量的坐标，故D正确.故选：ABD.10.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（）A.这四人不同的旅游方案共有64种 B.“每个景点都有人去”的方案共有72种C. D.“四个人只去了两个景点”的概率是〖答案〗CD〖解析〗A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，故有种方案，B错误；C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B选项可知，，又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以，C正确；D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.故选：CD.11.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，下列结论正确的是（）A.平面B.过的平面截该正方体，所得截面面积的最大值为16C.当为线段中点时，异面直线与所成角的余弦值为D.当三棱锥的体积最大时，其外接球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗在棱长为4的正方体中，对于A，连接，正方体的对角面是矩形，则，而平面，平面，于是平面，同理平面，又平面，因此平面平面，而平面，所以平面，A正确；对于B，当与重合，与重合时，平面是过的平面，矩形是该平面截该正方体所得截面，而矩形的面积为，B错误；对于C，以点A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设异面直线与所成的角为，则，C正确；对于D，三棱锥的体积最大，当且仅当面积最大，当且仅当与重合，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球，其球半径，所以当三棱锥的体积最大时，其外接球表面积为，D正确.故选：ACD12.已知函数，则（）A.若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3B.若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C.若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1D.若函数在上单调递增，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，因为函数的图像关于直线对称，所以，则，因为，则值不可能为3，故A错误；对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；对于C，由已知得，因为函数关于原点对称，则为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；对于D，当时，，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．故选：BC．三、填空题13.已知等比数列的前项和为．若为和的等差中项，，则______．〖答案〗11〖解析〗设等比数列的公比为，为和的等差中项，，即，化简得，则，又，即，代入，解得，故，故〖答案〗为：.14.商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为______．〖答案〗75〖解析〗由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3，则第60百分位数位于内，设60百分位数为，则有，则，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75.故〖答案〗为：7515.已知为锐角，，则______．〖答案〗〖解析〗由，得，解得，，由为锐角，，知，，于是，所以.故〖答案〗为：16.已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）．若，则双曲线的离心率为______．〖答案〗〖解析〗由题意得，渐近线方程，设过其上焦点的直线方程为，则圆心到直线的距离为，解得，不妨取负值，如图所示，故过其上焦点的直线方程为，联立与可得，，解得，联立与，可得，此时，重合，舍去，联立与，可得，此时不重合，满足要求，因为，所以，故，化简得，又，故，即，解得，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：四、解答题17.锐角的内角的对边分别为，设（1）求；（2）若，求的面积的最大值．解：（1）已知锐角中，则，，，是锐角，，，，即，，即；（2），，，由余弦定理得：，，即，，当且仅当时，等号成立，的面积的最大值为．18.设数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项利．解：（1）由，得，即，解得（舍）或，当时，，当时，，所以，.（2），①则，②①-②：.所以，所以．19.“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量表示戏迷乙正确完成题个数，求的分布列及数学期望．解：（1）补全的列联表如下：不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200根据表中数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充