2024届贵州省黔西南州部分学校高三上学期9月高考适应性月考一数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省黔西南州部分学校2024届高三上学期9月高考适应性月考（一）数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，，又因，所以，所以.故选：A.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=”当时，则，可得即，解得；所以“”是“”的充要条件.故选：.3.若随机变量，则下列选项错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据随机变量可知正态分布曲线的对称轴为，均值为2，方差为4，所以，故A正确，，故B正确，，C正确，，故D错误，故选：D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除C；因为，故排除A；当时，，则，因为，所以不是函数的极值点，故排除D.故选：B.5.若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为二次函数在上为减函数，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D.6.若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，则过点且与直线垂直的直线方程为，令，则，则，所以，所以此双曲线的离心率是.故选：C.7.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，其中，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.故选：B.8.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，因为对任意的，都有，则，所以函数在上单调递减，又，所以，由可得，即，所以.故选：A二、多项选择题9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.，，两两互斥〖答案〗BD〖解析〗由已知可得，，，，，，.对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误；对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确；对于C项，由已知可得，，，故C项错误；对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确.故选：BD.10.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A.数列的第2023项为 B.数列的通项公式为C.数列的前10项和为157.3 D.数列的前项和〖答案〗CD〖解析〗数列各项乘以后再减得到数列故该数列从第项起构成公比为的等比数列，所以，则，故A错误；从而，故B错误；设数列的前项和为，当时，；当时，当时，也符合上式，所以，所以，故C正确；因为，所以当时，当时，，两式相减得，所以，又当时也满足上式，所以，故D正确故选：CD.11.定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）A. B.为奇函数C.为增函数 D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令得：，再以代，得：，两式相加得：，，即，定义在上的函数为奇函数，故B正确；对于C，函数为定义在上的奇函数，且当时，，不妨设，则，因为，所以且因此，所以，则，即，故函数在上为增函数，C正确；对于D，令，因为，则，即，因为，且函数在上为增函数，所以，即，故D错误.故选：ABC.12.双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为，则B.当时，C.当过点时，光线由到再到所经过的路程为5D.若点坐标为，直线与相切，则〖答案〗ACD〖解析〗在双曲线中，，，则，故、，设，，对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，，A对；对于B选项，当时，，，所以，B错；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C对；对于D选项，若，，因为，且，所以，即，解得，D对.故选：ACD.三、填空题13.展开式中含项的系数为______.〖答案〗〖解析〗展开式中含的项为，故〖答案〗为:.14.已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由于（且）过点，故，将代入中可得，由于，所以，当且仅当时，即时等号成立，故最小值为，故〖答案〗为：.15.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗，要使函数有两个极值点，只需要有两个变号根，即方程有两个变号根，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，作出函数的大致图象，如图所示，因为方程有两个变号根，所有，解得，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：.16.“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______.〖答案〗〖解析〗记第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为，有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；，分析可知，即；，即，当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，所以，当时，；由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，，，，利用累加法可得，又，，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题17.已知数列的首项为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大整数.（1）证明：两边取倒数得，，即，又，故为首项为2，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）得，故，所以，故，则，由于单调递增，且，，故满足条件的最大整数为9.18.某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）12345（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，，，.解：（1），则，，所以，，所以关于的经验回归方程为；（2）由题意，得出列联表如下表：买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500则，所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.19.如图，已知圆柱的轴截面为正方形，，为圆弧上的两个三等分点，，为母线，，分别为线段，上的动点（与端点不重合），经过，，的平面与线段交于点.（1）证明：；（2）当时，求平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.（1）证明：因为，为圆弧上的两个三等分点，所以.因为平面，所以平面.同理可得，平面.因为，平面，所以，平面平面.又平面平面，平面平面，所以.（2）解：不妨设圆柱底面半径为2，如图，以点为坐标原点，在底面过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.设，则，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，取.易知圆柱底面的一个法向量为，则，当时，取得最大值为，所以，平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.20.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）请问过点，，，，分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论，不需要证明）解：（1）因为，所以.又，根据导数的几何意义可知，函数在处的切线的斜率为，所以，切线方程为.（2）设切点为，则，切线方程为，整理可得，.又点在切线上，则.要使过点存在3条直线与曲线相切，则该方程有个解.令，则.解，可得，所以在上单调递增；解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.所以，在处取得极小值，在处取得极大值.又，，由题意可知，.（3）设切点为，则，切线方程为.①当点在切线上时，有，此时，即点为切点.由（1）知，切线为1条；②当点在切线上时，由（2）知，在处取得极小值，且，所以，此时，只有1个解，即只存在1条切线；③当在切线上时，由（2）知，，解得或.所以此时存在2条切线；④设切线过此时有.令，则.解，可得，所以在上单调递增；解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.所以，在处取得极小值，在处取得极大值.又，，所以，当时，有3条切线.所以，过点的切线有3条.又方程，可化为，解得或，所以，过点的切线有2条.21.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.（1）求，和，；（2）证明：为等比数列（且）；（3）求的期望（用表示，且）.（1）解：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，所以，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，综上可知：，.（2）证明：经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，故.，因此，因此为等比数列，且公比为.（3）解：由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，故，所以，.22.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为.联立抛物线与直线的方程可得，.设，，由韦达定理可得，则，所以.所以，抛物线的方程为，准线方程为.（2）设直线，联立直线与抛物线的方程可得，.所以，，.又，，所以.同理可得.设圆上任意一点为，则由可得，圆的方程为，整理可得，.令，可得或，所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.贵州省黔西南州部分学校2024届高三上学期9月高考适应性月考（一）数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，，又因，所以，所以.故选：A.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=”当时，则，可得即，解得；所以“”是“”的充要条件.故选：.3.若随机变量，则下列选项错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据随机变量可知正态分布曲线的对称轴为，均值为2，方差为4，所以，故A正确，，故B正确，，C正确，，故D错误，故选：D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除C；因为，故排除A；当时，，则，因为，所以不是函数的极值点，故排除D.故选：B.5.若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为二次函数在上为减函数，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D.6.若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，则过点且与直线垂直的直线方程为，令，则，则，所以，所以此双曲线的离心率是.故选：C.7.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，其中，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.故选：B.8.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，因为对任意的，都有，则，所以函数在上单调递减，又，所以，由可得，即，所以.故选：A二、多项选择题9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.，，两两互斥〖答案〗BD〖解析〗由已知可得，，，，，，.对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误；对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确；对于C项，由已知可得，，，故C项错误；对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确.故选：BD.10.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A.数列的第2023项为 B.数列的通项公式为C.数列的前10项和为157.3 D.数列的前项和〖答案〗CD〖解析〗数列各项乘以后再减得到数列故该数列从第项起构成公比为的等比数列，所以，则，故A错误；从而，故B错误；设数列的前项和为，当时，；当时，当时，也符合上式，所以，所以，故C正确；因为，所以当时，当时，，两式相减得，所以，又当时也满足上式，所以，故D正确故选：CD.11.定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）A. B.为奇函数C.为增函数 D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令得：，再以代，得：，两式相加得：，，即，定义在上的函数为奇函数，故B正确；对于C，函数为定义在上的奇函数，且当时，，不妨设，则，因为，所以且因此，所以，则，即，故函数在上为增函数，C正确；对于D，令，因为，则，即，因为，且函数在上为增函数，所以，即，故D错误.故选：ABC.12.双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为，则B.当时，C.当过点时，光线由到再到所经过的路程为5D.若点坐标为，直线与相切，则〖答案〗ACD〖解析〗在双曲线中，，，则，故、，设，，对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，，A对；对于B选项，当时，，，所以，B错；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C对；对于D选项，若，，因为，且，所以，即，解得，D对.故选：ACD.三、填空题13.展开式中含项的系数为______.〖答案〗〖解析〗展开式中含的项为，故〖答案〗为:.14.已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由于（且）过点，故，将代入中可得，由于，所以，当且仅当时，即时等号成立，故最小值为，故〖答案〗为：.15.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗，要使函数有两个极值点，只需要有两个变号根，即方程有两个变号根，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，作出函数的大致图象，如图所示，因为方程有两个变号根，所有，解得，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：.16.“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______.〖答案〗〖解析〗记第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为，有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；，分析可知，即；，即，当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，所以，当时，；由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，，，，利用累加法可得，又，，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题17.已知数列的首项为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大整数.（1）证明：两边取倒数得，，即，又，故为首项为2，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）得，故，所以，故，则，由于单调递增，且，，故满足条件的最大整数为9.18.某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）12345（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，，，.解：（1），则，，所以，，所以关于的经验回归方程为；（2）由题意，得出列联表如下表：买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500则，所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.19.如图，已知圆柱的轴截面为正方形，，为圆弧上的两个三等分点，，为母线，，分别为线段，上的动点（与端点不重合），经过，，的平面与线段交于点.（1）证明：；（2）当时，求平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.（1）证明：因为，为圆弧上的两个三等分点，所以.因为平面，所以平面.同理可得，平面.因为，平面，所以，平面平面.又平面平面，平面平面，所以.（2）解：不妨设圆柱底面半径为2，如图，以点为坐标原点，在底面过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.设，则，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，取.易知圆柱底面的一个法向量为，则，当时，取得最大值为，所以，平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.20.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）请问过点，，，，分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论，不需要证明）解：（1）因为，所以.又，根据导数的几何意义可知，函数在处的切线的斜率为，所以，切线方程为.（2）设切点为，则，切线方程为，整理可得，.又点在切线上，则.要使过点存在3条直线与曲线相切，则该方程有个解.令，则.解，可得，所以在上单调递增；解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.所以，在处取得极小值，在处取得极大值.又，，由题意可知，.（3）设切点为，则，切线方程为.①当点在切线上时，有，此时，即点为切点.由（1）知，切线为1条；②当点在切线上时，由（2）知，在处取得极小值，且，所以，此时，只有1个解，即只存在1条切线；③当在切线上时，由（2）知，，解得或.所以此时存在2条切线；④设切线过此时有.令，则.解，可得，所以在上单调递增；解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.所以，在处取得极小值，在处取得极大值.又，，所以，当时，有3条切线.所以，过点的切线有3条.又方程，可化为，解得或，所以，过点的切线有2条.21.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中