2024届安徽省皖江名校联盟高三上学期第二次联考10月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题一､选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得：，，所以，故选：D.2.的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，.故选：C.3.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得：且与不共线，即，解得：且，所以实数的范围是，故选：C.4.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增，所以，得到，故选：B.5.“为锐角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗充分性：若为锐角三角形，因为，所以，同理可得，，故．必要性：当，时，不等式成立，而此时并不是锐角三角形．故选：A6.若函数为定义在上的奇函数，则实数（）A. B. C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗由题意知为定义在上的奇函数，所以，于是，解得：.经检验，此时，，符合题意.故选：7.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，则，且，所以，则，，又，则，且，所以，则，综上：，故选：A.8.已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得，即，则，即，故，所以函数的周期为，所以，故选：D.二､多选题9.设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗AB〖解析〗因为，则，所以函数的值域是，则的范围是，于是的函数值可能是或，故选：.10.已知，若点满足，则下列说法正确的是（）A.点一定在内部 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，所以，设、分别是、的中点，所以，于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；又，所以，则，故B正确；由A可知，，且，所以，，即，故C正确；所以，故D错误；故选：ABC11.若函数的图象关于直线对称，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线也是一条对称轴D.函数在区间上单调〖答案〗CD〖解析〗由题意函数，其对称轴为，即，所以令，解得，对于选项A,因此错误；对于选项B，该函数没有对称中心，因此错误；对于选项C，令，解得，取，符合题意，因此C正确；对于选项D，函数在单调递增，即，当时，函数区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，因此选项D正确.故选：CD12.若实数是方程的解，实数是方程的解，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于：函数在上单调递增，且，所以，故A正确；对于：如图，是函数与的交点的横坐标，实数是函数与的交点的横坐标，因为与关于直线对称，图象关于直线对称，所以两点关于直线对称，所以且，于是，故B正确；对于C：由上，故C错误；对于D：由B可知，，又在上为减函数，且，所以，而，所以成立，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.设单位向量满足，则值是__________.〖答案〗〖解析〗由题意可知：，将两边平方得，即，化简得，所以.故〖答案〗：.14.钝角中，，则的面积是__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，代入数据，解得或，因为是钝角三角形，，所以，所以的面积是.故〖答案〗为：15.已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗当时，，作出函数图象，如图所示：当时，，设，且，则由图象得：，则由题意知，，且，，所以，即，则，所以的取值范围是，故〖答案〗为：.16.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则__________；的最大值是__________.〖答案〗2〖解析〗由题意得：，设函数与函数关于点对称，则，又，则，所以，，，即，又，所以当时，的最大值是，故〖答案〗为：；.四､解答题17.已知函数最小值为，周期为.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的值域.解：（1）由题意，所以（2）由题意，因为，所以，于是，所以所以函数的值域为18.已知对应关系.（1）若，求的值；（2）若对于区间内的任意一个数，在区间内都存在唯一确定的数和它对应，求实数的取值范围.解：（1）若，则，所以.（2）依题意，为从区间到区间的一个函数，其定义域为，值域为的子集，因此问题转化为时，有恒成立，令，即当时，恒成立，于是对一切恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，从而，所以实数的取值范围是.19.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.（1）求的值；（2）过点任意作一条动直线交射线于两点，，求最小值.解：（1）由题意画出图像，因为，所以且，注意到共线且共线，所以解得.（2）由（1）和图象可知，结合.于是，所以.所以，当且仅当，即，时等号成立.于是的最小值为.20.已知函数，.（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：∴，又函数的定义域为，∴函数为偶函数；（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，则，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函数的图像关于直线对称．21.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.（1）若，求线段的长；（2）已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？解：（1），，.（2）由题意知，，，，所以当，即时，面积最大，最大值为.22.已知函数，函数.令函数.（1）若曲线与直线相切，①求实数的值；②证明：；（2）若函数有且仅有一个零点，证明：.（1）①解：设曲线在点处切线是，则，由于所以，由题意知：，于是；②证明：，当时，，所以，即，当时，，所以，即，于，在单调递减，单调递增，其最小值是，所以，于是原不等式成立（2）证明：有且只有一个零点，注意到为上的增函数且值域为，所以在上有唯一零点，且.在上为负，上为正，所以为极小值，又函数有唯一零点，结合的单调性知，所以，即，即，即，令，显然，是的零点，，在上为正，上为负，于是在上单调递减，注意到，所以在内有一个零点，在内无零点，所以的零点一定小于2，从而原命题得证.安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题一､选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得：，，所以，故选：D.2.的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，.故选：C.3.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得：且与不共线，即，解得：且，所以实数的范围是，故选：C.4.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增，所以，得到，故选：B.5.“为锐角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗充分性：若为锐角三角形，因为，所以，同理可得，，故．必要性：当，时，不等式成立，而此时并不是锐角三角形．故选：A6.若函数为定义在上的奇函数，则实数（）A. B. C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗由题意知为定义在上的奇函数，所以，于是，解得：.经检验，此时，，符合题意.故选：7.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，则，且，所以，则，，又，则，且，所以，则，综上：，故选：A.8.已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得，即，则，即，故，所以函数的周期为，所以，故选：D.二､多选题9.设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗AB〖解析〗因为，则，所以函数的值域是，则的范围是，于是的函数值可能是或，故选：.10.已知，若点满足，则下列说法正确的是（）A.点一定在内部 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，所以，设、分别是、的中点，所以，于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；又，所以，则，故B正确；由A可知，，且，所以，，即，故C正确；所以，故D错误；故选：ABC11.若函数的图象关于直线对称，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线也是一条对称轴D.函数在区间上单调〖答案〗CD〖解析〗由题意函数，其对称轴为，即，所以令，解得，对于选项A,因此错误；对于选项B，该函数没有对称中心，因此错误；对于选项C，令，解得，取，符合题意，因此C正确；对于选项D，函数在单调递增，即，当时，函数区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，因此选项D正确.故选：CD12.若实数是方程的解，实数是方程的解，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于：函数在上单调递增，且，所以，故A正确；对于：如图，是函数与的交点的横坐标，实数是函数与的交点的横坐标，因为与关于直线对称，图象关于直线对称，所以两点关于直线对称，所以且，于是，故B正确；对于C：由上，故C错误；对于D：由B可知，，又在上为减函数，且，所以，而，所以成立，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.设单位向量满足，则值是__________.〖答案〗〖解析〗由题意可知：，将两边平方得，即，化简得，所以.故〖答案〗：.14.钝角中，，则的面积是__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，代入数据，解得或，因为是钝角三角形，，所以，所以的面积是.故〖答案〗为：15.已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗当时，，作出函数图象，如图所示：当时，，设，且，则由图象得：，则由题意知，，且，，所以，即，则，所以的取值范围是，故〖答案〗为：.16.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则__________；的最大值是__________.〖答案〗2〖解析〗由题意得：，设函数与函数关于点对称，则，又，则，所以，，，即，又，所以当时，的最大值是，故〖答案〗为：；.四､解答题17.已知函数最小值为，周期为.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的值域.解：（1）由题意，所以（2）由题意，因为，所以，于是，所以所以函数的值域为18.已知对应关系.（1）若，求的值；（2）若对于区间内的任意一个数，在区间内都存在唯一确定的数和它对应，求实数的取值范围.解：（1）若，则，所以.（2）依题意，为从区间到区间的一个函数，其定义域为，值域为的子集，因此问题转化为时，有恒成立，令，即当时，恒成立，于是对一切恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，从而，所以实数的取值范围是.19.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.（1）求的值；（2）过点任意作一条动直线交射线于两点，，求最小值.解：（1）由题意画出图像，因为，所以且，注意到共线且共线，所以解得.（2）由（1）和图象可知，结合.于是，所以.所以，当且仅当，即，时等号成立.于是的最小值为.20.已知函数，.（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：∴，又函数的定义域为，∴函数为偶函数；（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，则，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函数的图像关于直线对称．21.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.（1）若，求线段的长；（2）已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？解：（1），，.（2）由题意知，，，，所以当，即时，面积最大，最大值为.22.已知函数，函数.令函