实数与数轴教材

实数与数轴使用说明：本课件介绍了无理数的产生背景，可以在讲实数概念时告诉学生，使学生对所学内容的实际意义有所了解。同时还对实数的定义、分类以及实数轴做了介绍，还配了一些练习题供老师们使用。复习：什么叫有理数？有理数如何分类？观察下列数特点："无理数"的由来

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．

一、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数．断以下说法是否正确？(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)带根号的数都是无理数。数的发展历史

数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”。零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动。类似于2+3=5的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；

加法的重复进行产生了乘法，2×3=6就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。

无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例

从数学发展史看，人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义。

乘法的重复进行产生了乘方，23就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。

关于√2不是有理数的一个证明

毕达哥拉斯学派所作：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。

结论：“不存在这样的有理数使其平方等于2”

由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的。但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除。

启示：

每个有理数作为有长度的线段，对应着数轴上的坐标。边长为1的正方形的对角线线段也应对应数轴上的一个点，这意味着如果只有有理数，数轴上存有“空隙”——尽管有理数非常稠密。应当填补这些“空隙”使数轴成为完美的，欧几里德《几何原本》中曾记载过这一思想的雏形。

戴德金历史上的两种无理数定义戴德金的说法，一个实数是有理数的一个集合

康托的说法，一个实数是有理数的一个（柯西）序列

1874年康托还证明了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的——任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点，但是除有理数点外的“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上了永远的句号。数学家所知道的无理数确实少的可怜：

知道得最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人即已知道的；其次是π与e两个非代数数。那些比代数数多得多的无理数在哪儿？1900年数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容。然而，若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”？则至今都没有严密的答案。总之：

数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是不足道的。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学的魅力之所在。二、实数的定义：有理数和无理数统称为实数．三、实数的分类：

（1）按定义分类：（2）按大小分类：例1

把下列各数写入相应的集合中：四、实数轴

我们知道数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数．如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴．实数与数轴上的点是一一对应的．这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．数轴上的无理数

我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题．显然同有理数之间的比较大小是类似的．例2、比较大小：说明：

实数的比较，需要遵循的原则是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值，所以需要熟记一些无理数的近似值。例3、填空：(1)｜3-π｜=_______．

则x=______；y=______．1）在3.14，sin30°,各数中，无理数有………（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

2）下列命题中正确的个数有………（）

①实数不是有理数就是无理数

②a<a+a

③212的平方根是21

④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和仍是无理数

A、1个B、2个C、3个D、4个

3）当a<b<0时，＝

4）若与互为相反数，则＝

5）已知0<x<1，那么x、、、中，最大的数是………（）A、x

B、

C、

D、6）比较下列各组数中两个数的大小：

7）当－3＜a＜