高中数学新教材同步必修第一册第1章1. 4 充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件

1.4.1充分条件与必要条件

【学习目标】1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质

定理的关系3能通过充分性、必要性解决简单的问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点充分条件与必要条件

“若p,则/为真命题“若p,则/为假命题

推出关系p3qP切

p是4的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

。是。的必要条件〃不是〃的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

思考若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？

答案不唯一.例如“x>l”是，”>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2a<3”等.

预习小测自我检验

1.若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是〃的条件.

答案必要

2.已知AUB,则“xdA”是“xGB”的条件.

答案充分

3.p：H=M，q：x=y,则p是q的条件.

答案必要

解析’."=)，=k|=仪|,即q=p,

•,•p是q的必要条件.

4.p：a=0,q-.ab=0,则p是q的条件.

答案充分

题型探究探究重点素养提升

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一、充分条件的判断

例1(1)下列命题中，p是q的充分条件的是.

①p：(x—2)(JC—3)=0,q：x—2=0；

②p：两个三角形面积相等，q；两个三角形全等；

③p：m<~2,q：方程x2—》一机=0无实根.

答案③

解析@V(x-2)(x-3)=0,

；.x=2或x=3,不能推出x—2=0.

''P不是q的充分条件.

②•.•两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，；.p不是g的充分条件.

③2,12+4m<0,方程x2—x—%=0无实根，是q的充分条件.

⑵“〃>2且fr>2”是l,a+b>4,ab>4”的条件.

答案充分

解析由a>2且b>2=>a+b>4,ab>4,

是充分条件.

反思感悟充分条件的判断方法

(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p=q问题.

⑵除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A,q构成的

集合为B,AQB,则。是q的充分条件.

跟踪训练1“x>2”是“f>4”的条件.

答案充分

解析x>2=『>4,故x>2是f>4的充分条件.

二、必要条件的判断

例2在以下各题中，分析p与g的关系：

(1)/?：x>2且y>3,q：尤+y>5；

(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形.

解(1)由于pnq,故/?是q的充分条件，q是。的必要条件.

(2)由于q=p,故q是p的充分条件，p是4的必要条件.

反思感悟(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若

q成立时，能否推出p成立；若p=q为真，则p是q的充分条件，若q=p为真，则〃是q

的必要条件.

(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xGA”，条件乙“xCB”,若A2B,则甲是乙的

必要条件.

跟踪训练2分析下列各项中p与q的关系.

⑴p：a为锐角,q：a=45°.

(2)p：(x+l)(x—2)=0,q：x+1=0.

解(1)由于q=p,故〃是4的必要条件，夕是〃的充分条件.

(2)由于4=p,故p是4的必要条件，q是p的充分条件.

三、充分条件与必要条件的应用

例3已知p：实数x满足其中a<0；q：实数x满足-2WxW3.若〃是夕的充分条

件，求实数。的取值范围.

解p：3a<x<a,即集合A={R3a<x<〃}.

q：—2WxW3,即集合B={x|-2WxW3}.

因为p=>q,所以AG&

3〃2—2,

2

所以n—§W〃<0,

4Vo

2

所以a的取值范围是一§W4<0.

延伸探究

1.将本例中条件p改为“实数x满足。<状<3出其中。>0"，若〃是q的必要条件，求实数〃

的取值范围.

解p：a<x<3a,即集合A={x|a4<3a}.

q：一即集合3={x|-2WxW3}.

因为夕=p,所以8旦A,

p«>3,

所以"v—2,=>aG0.

L>0

2.将例题中的条件“q:实数工满足一2WxW3”改为％:实数x满足一3WxW0”其他条件

不变，求实数a的取值范围.

解p：3a<x<a,其中〃<0,即集合A={x|3〃<r<〃}.

q：-3WxW0,即集合8={x|—3WA<0}.

因为p是q的充分条件，所以〃=q,所以AGB,

3。2-3,

所以，aWO,=>—1Wa<0.

4<0

所以a的取值范围是一1Wa<0.

反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

(2)求解步骤：先把p,q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关

于参数的不等式(组)进行求解.

随堂演练基础巩固学以致用

1.若p是q的充分条件，则q是0的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.既是充分条件又是必要条件

答案B

解析因为p是g的充分条件，所以所以q是p的必要条件.

2.下列命题中，p是4的充分条件的是（）

A.p：abW。,<7：aWO

B.p：a2+b2^0,q：且820

C.p-Ar>l,q-x>l

D.p：a>b,q：y[ci>y[b

答案A

解析根据充分条件的概念逐一判断.

3.“同位角相等”是“两直线平行”的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案C

4.若“x>l”是“x>a”的充分条件，则”的取值范围是.

答案

解析因为x>l=x>a,所以“W1.

5.=2x”是“x=O”的条件，“x=O”是“*=2x”的条件（用“充

分”“必要”填空）.

答案必要充分

解析由于x=O=f=2r,所以“X2=2X”是“x=O”的必要条件，“x=O”是“f=2x”的

充分条件.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）充分条件、必要条件的概念.

（2）充分性、必要性的判断.

⑶充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.

（4）充分条件与必要条件的应用.

2.常见误区：

充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.

课时对点练注重双基强化落实

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%基础巩固

1.使x>3成立的一个充分条件是（）

A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2

答案A

解析只有x>4=>x>3,其他选项均不可推出x>3.

2,使心>1成立的一个必要条件是（）

A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2

答案A

解析只有Q1=QO,其他选项均不可由x>l推出，故选A.

3.下列p是q的必要条件的是（）

A.p：a=1,q：\a\=\

B./?：—\<a<\,q：a<\

C.p：a<h,q：a<h+1

D.p：a>bfq：a>b~\-1

答案D

解析要满足p是q的必要条件，即4=P，只有4：。>匕+1=4：3>l=p：a>b,故选D.

4.下列“若p,则形式的命题中，〃是q的充分条件的是（）

A.若：=：，贝Ux=yB.若f=l,则冗=1

C.若冗=y,则亚=田D.若无勺，贝

答案A

解析B项中，x2=l=>x=l或x=-1；C项中，当x=y<0时，*c,⑴无意义；D项中，当

KyvOnfAy2,所以B,C,D中p不是夕的充分条件.

5.下列命题中，〃是q的充分条件的是（）

A.p：。是无理数，q：/是无理数

B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等

C.p：x>0,q：xNl

D./?：a>b,q：a^bc1

答案B

6.下列说法不正确的是.(只填序号)

①“x>5”是“Q4”的充分条件；

②“孙=0"是'②=0且y=0”的充分条件;

③“一2a<2”是“x<2”的充分条件.

答案②

解析②中由肛=0不能推出x=0且y=0,则②不正确；①③正确.

7.条件p：5—x<0,条件g：x>a,若p是q的充分条件，则a的取值范围是.

答案{a|aW5}

解析p：x>5,若p是q的充分条件，则p=g,也就是说，"对应集合是q对应集合的子

集，所以“W5.

8.下列式子：

①a<0<b；②辰“<0；③6<0<a；④0<b〈a.

其中能使5其成立的充分条件有.(只填序号)

答案①②④

解析当a<0<b时，^<0<1；

当b<a<0时，^<|<0:

当b<0<a时，^<0<^；

当时，()W，

所以能使聂成立的充分条件有①②④.

9.指出下列各组命题中，p是g的什么条件：

⑴在△ABC中，p：A>B,q：BOAC；

(2)p：a=3,q：(a+2)(n—3)=0；

(3)p：a<b,<7：^<1.

解在(1)中，由大角对大边，且A>8知BGAC,反之也正确，所以p既是“的充分条件，

也是4的必要条件；

在(2)中,若〃=3,则(a+2)(a—3)=0,但(a+2)(〃-3)=0不一定〃=3,所以p是q的充分

条件但不是必要条件；

在⑶中，当。=-2,匕=一1时，A2>1；当。=2,匕=-1时，£=—2<1,所以p既不是q

的充分条件，也不是必要条件.

10.⑴是否存在实数优，使2x+,“<0是缸-1或x>3的充分条件？

⑵是否存在实数修，使2x+〃i<0是右-1或x>3的必要条件？

解⑴欲使2X+»J<0是x<—I或x>3的充分条件，

/M

{XX<-2jC{x|x<-l或x>3},

ni

即只需一—所以m22.

故存在实数机22,使2%+，”<0是x<—1或x>3的充分条件.

⑵欲使2%+机<0是xv—I或x>3的必要条件，则只要{木<—1或第>3}=>卜<一半］,

这是不可能的.

故不存在实数相，使2%+根<0是x<—1或尤>3的必要条件.

土综合运用

11.对任意实数a,b,c,下列命题中，真命题是（）

A."ac>bc”是“a>b”的必要条件

B.uac=bcn是“a=b”的必要条件

C."ac>bc”是的充分条件

D."ac=bc”是“a=b”的充分条件

答案B

解析"a=b"="4一%=0"="①一份c=0"=uac=bcn,,,ac=hc,,是“a=b”的

必要条件.

12.已知集合A={x£R|-I<x<3},B={x&R\-l<Jc<m+\},若成立的一个充分条件

是xWA,则实数m的取值范围是（）

A.B.

C.m>2D.-2<m<2

答案A

解析因为xGB成立的一个充分条件是x£A,

所以AUB,所以3Wm+l,即机>2.

13.若4={也今<“+2},8={小<-1或x>3},且A是B的充分条件，则实数”的取值范围

为.

答案—3,或423}

解析因为A是8的充分条件，

所以AC&

又A={x|aa<q+2},B={x\x<—1或冗>3}.

因此〃+2W—1或

所以实数。的取值范围是—3,或。23}.

14.已知条件p：x<—1或x>3,条件4：x<一m+1或入>m+1（心0）,若条件〃是条件4的充

分不必要条件，则实数用的取值范围是.

答案{m\0<m<2]

解析由题意，设集合A={xLr<