高中数学-离散型随机变量的分布列

离散型随机变量的分布列

一.根本理论

(一)根本概念

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量来表示，随机

变量常用希腊字母〈月等表示.

(2)离散型随机变量：

如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离

散型随机变量.例如，射击命中环数J是一个离散型随机变量.

(3)连续型随机变量

如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫连续型随机变量.

［二)离散型随机变量的分布列

1.设离散型随机变量J可能取的值为事,》2,…%…看取每一个值=123,4…)的概率

P©=茗)=乩,那么称下表

…・・・

X2

p…•・・

PlPlPi

为随机变量J的概率分布,简称为J的分布列

分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式；(B)一组等式(C)压缩为一个带i

的形式.

2.由概率的性质知，任一离散型随机变量的分布列具有以下二个性质：

(A)Pj20/=1,2,3…,(B)p,+°2+…=1

3.求分布列三种方法

(D由统计数据得到离散型随机变量分布列；

.⑵曲.古典概型求出离散型随机变量分布列:一

一⑶一由互层事件「独立事一件的概率求出离散型随机变量分布列:…

4..离散型随机变量的期望与方差

一般地，假设离散型随机变量J的概率分布列为

4•・・…

X]X2为

p・・・・・・

P\PlPi

那么称E4=X〃i+X2P2+…+X,p,+…为J的数学期望或平均数.或均值.

22

=(Xj-E^)Pl+{x2-E^)p2+-+(X„-E^Pn+-为J的均方差.简称方

差.、侯叫标准差.

性质:⑴。。=后(铲)-3岁)2(2)E(延+b)=胆+h(3)D(a&+b)^crD^

［三)几种常见的随机变量的分布

1.两点分布

X10

如果随机变量X的分布列为

PPq

其中0〈瓜1,q—1—p,那么称禺散型随机变量才服从参数为P的两点

分布.

2.二项分布

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在〃次独立重复试验中这个事件发生

的次数g是一个随机变量.假设在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在〃次独立重复试

验中这个事件恰好发生k次的概率是PC=k)=C'pkqLk,q=1-p,Z=0,1,2-,n,

得到随机变量J的概率分布如下

401・・・k・・・n

P•••,••

C'pkqZC：pnq°

C'np'q'"'

称随机变量J服从二项分布，记作J~B(n,p),并记=b(k;n,p)

3.超几何分布

一般地，在含有M件次品中的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品数，那么事件｛X=公

「k「n-k

发生的概率为P(x=/)=，左=0,1,2,3,…,m,

其中，〃=min4MM&N,n,M,NGN*

称分布列

X01・・・tn

p

「0「”一0「”-1

二.题型分彳

题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列

题1.(2021.北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学

(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；

(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望.

[审题视点]此题解题的关键是求出丫的取值及取每一个值的概率，注意用分布

列的性质进展检验.

解（1）分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4X4=16,这两名

同学植树总棵数y的取值分别为

17,18,19,20,21,

21414141

P（y=17）=M=gP（y=18）=正=彳。（丫=19）=花=^尸（丫=2。）=而=彳

p（y=2i）=^=|

那么随机变量y的分布列是:

Y1718192021

11111

P84448

1718192021

⑵由⑴知E（r）=y+y+y+y+y=19,

设这名同学获得钱数为X元，那么X=10K

那么E（X）=10E（y）=190.

题2.【2021高考真题广东理17]（本小题总分值13分）某班50位学生期中考试数学成绩的

频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的

人数记为。，求自得数学期望.

【答案】此题是在概率与统计的交汇处命题，考察了用样本估计总体等统计知识以及离散型

随机变量的分布列及期望，考察学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。

【解析】

题型2由古典概型求离散型随机变量的分布列

题3.（2021年韶关二模）有一个3x4x5的长方体，它的六个面上均涂上颜色.现将这个长

方体锯成60个1x1x1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜

色的面数为

（1）求J=0的概率；

（2）求J的分布列和数学期望.

（1）60个1x1x1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，

P（^=0）=—=—...（3分）

6010

(2)由(1)可知

P（"0）4,pg）吟.P（『）=|.Pe=3）=[

...（7分）

分布列

0123

11122

P

1030515

...（10分）

E'J+lxU+2d+3x2卫

…(12分)

103051530

题4.12021高考真题浙江理191箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的

2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3个球，记

随机变量X为取出3球所得分数之和.

(I)求*的分布列;

(1【)求*的数学期望旦%).

【答案】此题主要考察分布列，数学期望等知识点。

(I)X的可能取值有：3,4,5,6.

P（X=4）=K=型;

C；42

P（X=6）=&=2.

C；42

故，所求X的分布列为

X3456

20101552__J_

542=2142=1442-21

P

42

(II)所求X的数学期望E(X)为:

gs_.々5105191

E（X）—>i-PDz{vX=z）=3x--F4x—+5x—F6x—+=—.

占4221142121

题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列

题5.12021高考真题重庆理17]

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人

都已投球3次时投篮完毕.设甲每次投篮投中的概率为工，乙每次投篮投中的概率为工，且

32

各次投篮互不影响.

(I)求甲获胜的概率;

(II)求投篮完毕时甲的投篮次数J的分布列与期望

【答案】

题6.[2021高考真题全国卷理19)

乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再

连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次

发球，发球方得1分的概率为06各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲

先发球.

(I)求开场第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(II)-表示开场第4次发球时乙的得分，求-的期望.

【答案】

题型4.两点分布

题7.某公司有5万元资金用于投资开发工程，如果成功，一年后可获利12悔一旦失败，一

年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似工程开发的实施结果：

投资成功投资失败

192次8次

那么该公司一年后估计可获收益的期望是.

解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元,那么随机变量X的取值分别为50000X12%

=6000(元)，-50000X50%=-25000(元).由条件随机变量才的概率分布列是

X6000-25000

241

P

2525

241

因此£(4=6000X—+(-25000)X—=4760

25Zb

答案4760

题型4.二项分布

题8.(广东省惠州市2021届高三第三次调研理科)

在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进展某种实验，过圆锥高的中点有一

个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，

圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,

且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。

(1)求蜜蜂落入第二实.验区的概率；

(2)假设其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率;

(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。

解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区"为事件4,“蜜蜂落入第二实验区”为事件8.…1分

依题意,

/、匕脚仆a二圆锥底面,5厢锥］

P(A)==3_^------------2——=1...................3分

%椎体§4维底面%锥8

77

，P(B)=1—P(A)=—.•.蜜蜂落入第二实验区的概率为一。..........4分

88

(2〕记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区"为事件C,那么............5分

恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率7式0...............8分

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影

响的，所以变量X满足二项分布，即X〜(40,；1.................................10分

随机变量X的数学期望£X=40X1=5.................................12分

8

题9.(2021年茂名二模〕在我市“城乡清洁工程”建立活动中，社会各界掀起净化美化环

境的热潮.某单位方案在小区内种植A,8,C,D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A,B

两棵树的成活的概率均为,，另外两棵树C,。为进口树种，其成活概率都为。(0＜。＜1),

2

设4表示最终成活的树的数量.

(1)假设出现A,3有且只有一颗成活的概率与C,。都成活的概率相等，求a的值；

12)求4的分布列(用a表示)；

(3)假设出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围.

解：(1)由题意，得：.=—............2分

22a2

(2)J的所有可能取值为0,1,2,3,4.……3分

=0)=C°(l-1)2C°(l-«)2=1(1-a)2......................4分

=1)=c；g(l_g)或(1—a)?+C；(l—g)2C；a(l—a)=g(l-a).............5分

p(J=2)=C；(gyCj(l-a)2+C；g(1--a)+堞(1一C1a2=；(1+2a—2/)

..............6分

p©=3)=C；(1)2C；a(l-a)+C；；(1-................................................................7

分

x^=4)=c^(|)2cy

8分

得g的分布列为：....................9分

J01234

P-(1-a)2-(1-a)-(l+2cz-2a2)--

42424

(3)由0<。<1,显然一(1—fl)2<—(1—6F),——<—.........10分

4242

2

2信=2)-〃(4=1)=；(1+2“一2/)_l(i_6Z)=_l(2a-4a+l)>0-ll分

/?(^=2)-/?(^=3)=-(l+2tz-2tz2)--=--(2a2-l)>0……12分

424

由上述不等式解得«的取值范围是2M<a<^-................13分

22

题型5.超几何分布

题10.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了

活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男

同学.

(1)求X的概率分布；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

解(1)X的可能取值为0,1,2,3.

根据公式P1X=m)=型口骂_算出其相应的概率，

C%

即X的概率分布为

X0123

115155

P

56562828

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为

P(X=l)+P(X=2)=身+史=竺.

562856

题型6.离散型随机变量的均值和方差

题11.(2021•北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一

个数据模糊，无法确认，在图中以才表示.

(1)如果乃=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数F的分

布列和数学期望.

(注：方差一=1[(汨-X)2+(A2—xY-\----F(x〃-x)1，其中X为X\,X2,的平均

n

数)

解(1)当才=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

—8+8+9+1035

所以平均数为:x=--------:--------=~

方差为：s2=；X[(8—斗尸+(8—乎)2+(9—乎)2+(10—斗)2]=书.

4444416

(2)当1=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11：乙组同学的植树棵数

是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4X4=16种可能的结果，这两

名同学植树总棵数f的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Q17”等价于“甲组选出的同

学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵"，所以该事件有2种可能的结果，因此P(H=17)

=白=]同理可得/V=18)=匕7V=19)=；；Ar=20)=7；/V=2i)=：所以随机变量

16o4448

，的分布列为：

Y1718192021

11111

P

84448

£?=17XP(y=17)+18XP(?=18)+19XP(y=19)+20XP(?=20)+21XP(y=2D=17xJ

O

+18x1+19X7+20x1+21x1=19.

4448

题12.(2021•福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,…，8,

其中尼5为标准4423为标准8甲厂执行标准｛生产该产品，产品的零售价为6元/件；

乙厂执行标准6生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应

的执行标准.

(1)甲厂产品的等级系数％的概率分布列如下所示：

才5678

P0.4ab0.1

且尤的数学期望£(%)=6,求a,6的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数龙，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组

成一个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数九的数学期望.

(3)在(1)、(2)的条件下，假设以“性价比”为判断标准，那么哪个工厂的产品更具可购置

性？说明理由.

_产品的等级系数的数学期望

注：(1)产品的“性价比”

产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购置性.

［审题视点］(1)利用分布列的性质A+局+R+A=1及以％)=6求a,6值.

(2)先求法的分布列，再求£(%),(3)利用提示信息判断.

解(1)因为6(才)=6,所以5X0.4+6a+7Z?+8X0.1=6,即6a+76=3.2.

又由”的概率分布列得0.4+d+b+0.1=1,即a+b=0.5.

6a+76=3.2,a=0.3,

由《解得

[a+6=0.5,6=0.2.

345678

P0.30.20.20.10.10.1

所以

«(X)=3X0.3+4X0.2+5X0.2+6X0.1+7X0.1+8X0.1=4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.

(3)乙厂的产品更具可购置性.理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比琮=1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为亍=1.2.

据此，乙厂的产品更具可购置性.

?离散型随机变量的分布列？作业

1.一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小一样的球，现从中随机取出3个球，以

X表示取出的最大号码.

(1)求X的概率分布；

(2)求X>4的概率.

解(1)X的可能取值为3,4,5,6,从而有：

P(X=3)ci一i__

20

cjcj_3

P(X=4)

或20

；・】_

P(X=5)CC3

~cT正

p(x=6)=£h£l=l.

或2

故x的概率分布为

X3456

133

P

2020102

(2)P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)

10105

2.(2021•浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假

2

定该毕业生得到甲公司面试的概率为可，得到乙、丙两公司面试的概率均为P，且三个公司

是否让其面试是相互独立的.记I为该毕业生得到面试的公司个数.假设尸《=0)=*，那

么随机变量才的数学期望£0)=.

［审题视点］分别求出随机变量I取每一个值的概率，然后求其期望.

解析由条件P(X=0)=*

即解得修，

随机变量X的取值分别为0,1,2,3.

因此随机变量才的分布列为

X0123

1151

P

T23126

1515

El#=0X—+1X-+2X—+3X-=-

JL乙JJL乙Oo

答案3

3.（广东省江门市2021届高三数学理科3月质量检测试题）

12

甲、乙两人各进展3次射击，甲每次击中目标的概率为一，乙每次击中目标的概率一,

23

（I）记甲击中目标的次数为g,求&的概率分布及数学期望族;

（II）求甲恰.好比乙多击中目标2次的概率.

4.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数

学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.

解依题意随机变量X服从超几何分布，

「k「4-k

所以P（X=k）=士生」（k=0,1,2,3,4）.4分

小

厂()「41z-«l厂3

：.p(x=o)=qs±=」_,p(x=i)=q^=4

42104351

p(X=2)=-^-=-,P(X=3)=-^-=—,

*7421

P(X=4)=&^=-L,

9分

414

••.X的概率分布为

X01234

1481

P2

21035727

14分

5.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为年现有甲、乙两人从袋中

轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到

白球时即终止.每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取

球次数.

（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量才的分布列；（3）求甲取到白球的概率.

［审题视点］对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确.

r21

解（I）设袋中白球共有X个，根据条件不=7，

即x—6=0,

解得x=3,或x=-2（舍去）.

(2)才表示取球终止时所需要的次数,那么才的取值分别为：1,2,3,4,5.

e“/、A；3,、A；A；2

因此，P{X=1)夕(才=2)=《=彳,

,、A孤6.、A；A；3

P(X-3)—.3-Qi，尸(1-4)—.1—QH，

A735A735

X12345

GA：A；1

Ap<^v-5)--.32631

A?35P

77353535

那么随机变量X的分布列为：

(3)甲取到白球的概率为々/+缥+坐=,+£+_L__22

A7A7A?73535=35,

6.(2021•江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进展一项测试，以便确定工资级别.公

司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全一样，并且其中4杯为力饮料，另外4杯为6

饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯4饮料.假设4杯都选对，那么

月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元：否那么月工资定为2

100元.令I表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和6两种饮料没有鉴别能力.

(1)求小的分布列；

(2)求此员工月工资的期望.

解(DX的所有可能取值为：0,1,2,3,4,

C'C'T

P(X=i)=-^-(/=0,1,2,3,4),

8

P(Y=2800)=A/=3)=—,

35

53

P{Y=2100)=A^2)=—,

11653

500X—+2800X—+2100X—=2280,

所以此员工月工资的期望为2280元.

7.(2021•湖北理，17)袋中有20个大小一样的球，其中记上0号的有10个，记上n号

的有n个(n=l,2,3,4).现从袋中任取一球，J表示所取球的标号.

11)求彳的概率分布、期望和方差；

(2)假设好ag+13寸(；7)=1,口储)=1