新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题24计数原理概率随机变量及其分布选填压轴题学生版

专题24计数原理、概率、随机变量及其分布（选填压轴题）①排列、组合1．（2024·浙江·高二期中）现有天平及重量为1，2，4，8的砝码各一个，每一步，我们选取随意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至全部砝码全放到天平两边，但在放的过程中、发觉天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（

）种．A．105 B．72 C．60 D．482．（2024·浙江省杭州其次中学高二期中）现有天平及重量为1，2，4，8的砝码各一个，每一步，我们选取随意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至全部砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发觉天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的方法共有（

）种A．105 B．72 C．60 D．483．（2024·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了平安起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照看孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最终面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最终面．则不同的排法种数共有(

)A．144种 B．216种 C．288种 D．432种4．（2024·安徽·合肥一中模拟预料（理））某校有5名高校生准备前往观看冰球，速滑，花滑三场竞赛，每场竞赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球竞赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．725．（2024·重庆·高二阶段练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中随意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（

）A． B． C． D．6．（2024·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（

）.A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种7．（2024·北京市第五中学高二期中）定义“有增有减”数列如下：，满意，且，满意.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有A．64个 B．57个 C．56个 D．54个8．（2024·河南·安阳一中高三阶段练习（理））《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲解并描述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的依次提出了如下要求：重点任务必需排在前三位，且任务、必需排在一起，则这六项任务的不同支配方案共有A．240种 B．188种 C．156种 D．120种9．（2024·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为A．610 B．630 C．950 D．128010．（2024·上海市青浦高级中学模拟预料）如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点动身，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．假如要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有______种．11．（2024·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）现支配甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必需当化学科代表，则不同的选法共有_____种12．（2024·全国·高三专题练习（理））从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后依次排列（即按先后依次，但大小写可以交换位置，如或都可以），这样的状况有__________种．（用数字作答）13．（2024·全国·高三专题练习（理））新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻），小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.14．（2024·江西抚州·高二期末（理））在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．15．（2024·全国·高二课时练习）在一个如图所示的6个区域栽种欣赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．16．（2024·全国·高三专题练习（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担当辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担当一辩手，女生乙不适合担当四辩手．现要求：假如男生甲入选，则女生乙必需入选．那么不同的组队形式有_________种．②二项式定理1．（2024·江苏常州·高三阶段练习）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．22．（2024·全国·高三专题练习）宏大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又依据泰勒绽开式可以得到，依据以上两式可求得（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·模拟预料（理））已知的绽开式中各项系数和为4，则的系数为（

）A．16 B．8 C．0 D．4．（2024·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．5．（2024·广东省阳山县阳山中学高二期末）的绽开式中的系数为（

）A． B． C．120 D．2006．（2024·全国·高二课时练习）已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（

）A． B． C．2024 D．7．（2024·上海·高三专题练习）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2024·全国·高二课时练习）设是常数，对于，都有，则（

）A． B． C． D．9．（2024·江苏·海安县试验中学高二期中）已知，则A． B．0 C．14 D．10．（2024·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）在的绽开式中，x2项的系数为（

）A．30 B．45 C．60 D．9011．（2024·全国·高三专题练习（文））如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为__________.12．（2024·江苏·金陵中学高二阶段练习）设，1，2，…，2024）是常数，对于，都有，则=________.13．（2024·全国·高三专题练习）(1)若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若的绽开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为__________．(4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：①；②；③，时，的面积为；④当时，为钝角三角形．其中正确的是__________填写全部正确结论的编号14．（2024·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高二期中）已知等差数列，对随意都有成立，则数列的前项和__________．15．（2024·全国·高三专题练习（文））杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多美丽的性质，比如从第0行起先每一个数均等于其“脚下”两个数之和．假如，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②；③；④．第0行

第1行

第2行

第3行

……

……第n行

……

16．（2024·广东·广州南洋英文学校高二期中）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列，若数列的前n项和为，则_____________.17．（2024·全国·高二课时练习）已知当|时，有，依据以上信息，若对随意都有则______．③概率综合1．（2024·全国·高三专题练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（

）A．点P落在三棱锥内部的概率为B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为C．若点P在平面ACD上，且满意，则点P的轨迹长度为D．若点P在平面ACD上，且满意，则线段PB长度为定值于一个古典概型的样本空间和事务A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（

）A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥 D．A与C相互独立3．（2024·浙江·高三开学考试）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在随意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·重庆市万州其次高级中学高二阶段练习）如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时动身，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是（

）A．甲从M必需经过到达N处的方法有9种B．甲､乙两人相遇的概率为C．甲乙两人在处相遇的概率为D．甲从M到达N处的方法有20种5．（2024·全国·高二期末）2024年高考结束后小明与小华两位同学支配去老年公寓参与志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（

）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事务A：小明经过F事务B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2024·河南·宝丰县第一高级中学模拟预料（理））奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸．若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（

）A．0.108 B．0.237 C．0.251 D．0.5267．（2024·全国·高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事务．下列结论正确的个数是（

）①事务与相互独立；②，，是两两互斥的事务；③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．28．（2024·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时动身，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（

）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必需经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为9．（2024·全国·高三专题练习（理））为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校支配甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担当冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个竞赛项目至少支配1人.则学生甲不会被支配到冰球竞赛项目做志愿者的概率为（

）A． B． C． D．10．（2024·福建省德化第一中学高二阶段练习）2024年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院支配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，其次批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满意的支配方案的概率为（

）A． B． C． D．11．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷嬉戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，视察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人接着掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲起先掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（

）A． B． C． D．12．（2024·全国·高三专题练习（理））某地一重点中学为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参与与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参与交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被支配到学校旁边路口执勤，2人被支配到医院旁边路口执勤，2人被支配到中心市场旁边路口执勤，假如支配去向是随机的，则甲、乙两人被支配到同一路口的概率是（

）A． B． C． D．13．（2024·全国·高一课时练习）关于圆周率π，数学发展史上出现过很多很有创意的求法，如闻名的浦丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最终再依据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（

）A． B． C． D．14．（2024·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排相互平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中心从入口处放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于遇到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又遇到下一排铁钉.如此接着下去，小球最终落入下方条状的格子内求小球落到第7个格子（从左起先）的概率是（

）A． B． C． D．15．（2024·全国·高一专题练习）如图来自某中学数学探讨性学习小组所探讨的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分(图中阴影部分)记为Ⅰ，大球内、小球外的部分(图中黑色部分)记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为，，则（

）A． B． C． D．16．（2024·全国·高二单元测试）现有一款闯关嬉戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次视察向上面的点数并做记录，假如这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．（1）干脆挑战第2关并过关的概率为；（2）连续挑战前两关并过关的概率为；（3）若干脆挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；（4）若干脆挑战第4关，则过关的概率是．17．（2024·全国·高三专题练习）某商场经销A，B两种生活消耗品，顾客每次必买且只买其中一种，经过统计分析发觉:顾客第一次购买时购买A的概率为.前一次购买A的顾客下一次购买A的概率为，前一次购买B的顾客下一次购买A的概率为那么某顾客第次来购买时购买A产品的概率为______18．（2024·全国·高二课时练习）有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.19．（2024·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.20．（2024·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从全部三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________21．（2024·重庆·高三阶段练习）验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证胜利后才能运用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络平安.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.④随机变量及其分布列1．（2024·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的随意依次排列，设随机变量满意：则（

）A． B．C． D．2．（2024·重庆·高三阶段练习）设随机变量（且），最大时，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.013．（2024·上海市七宝中学高二期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X全部可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．命题1：若，则随着n的增大而增大；命题2：若，随机变量Y全部可能的取值为1，2，…，m，且，则．则以下结论正确的是（

）A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误 D．两个命题都正确4．（2024·浙江·三模）设，随机变量的分布列是0p1P则当p在区间内增大时，（

）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小5．（2024·黑龙江·双鸭山一中高二期中）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的宠爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲起先随机地球传给其他两人中的随意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的随意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记起先传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（

）A． B．C．5 D．7．（2024·全国·高二期中）2024年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发觉的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确解除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的亲密接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的亲密接触者”，这种状况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）A． B． C． D．8．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为()A． B． C． D．9．（2024·浙江·高二期中）设，随机变量X的分布列是：X-112P则当最大时的a的值是A． B． C． D．10．（2024·全国·高二课时练习）现有4个人通过掷一枚质地匀整的骰子去参与篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（

）A． B． C． D．11．（2024·江苏泰州·高二期末）（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（

）A． B．C． D．12．（2024·全国·高二课时练习）我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事务发生的概率为，则事务发生的次数听从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事务首次发生时试验进行的次数，明显，我们称听从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事务和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（

）A． B．C． D．13．（2024·全国·益阳平高学校高二期末）下列说法中正确的是（

）①设随机变量X听从二项分布，则②已知随机变量X听从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事务“4个人去的景点互不相同”，事务“小赵独自去一个景点”，则；④；.A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③14．（2024·广东