统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程理

第2讲基本初等函数、函数与方程考点一基本初等函数的图象与性质——对比学习，类比应用1．指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝________；(2)(am)n＝________；(3)loga(MN)＝________；(4)logaMN(5)logaMn＝________；(6)alog(7)logaN＝________．注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种状况，当a>1时，两函数在定义域内都为________，当0<a<1时，两函数在定义域内都为________．例1(1)[2024·陕西师范高校附属中学模拟]已知a＝log23，b＝log34，c＝eq\f(3,2)，则()A．c<b<aB．b<c<aC．c<a<bD．a<c<b(2)[2024·江西省重点中学协作体联考]草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调整免疫功能，增加机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津、健脾养胃等功效，受到众人的宠爱．依据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满意函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,4)≈1.59)()A．30.24元/千克B．33.84元/千克C．38.16元/千克D．42.64元/千克(3)[2024·陕西省渭南市高三检测]已知函数f(x)满意：①定义域为R，②f(x＋1)为偶函数，③f(x＋2)为奇函数，④对随意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则f(－eq\f(7,3))，f(eq\f(2,3))，f(eq\f(11,3))的大小关系是()A．f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(2,3))<f(eq\f(11,3))B．f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(11,3))<f(eq\f(2,3))C．f(eq\f(11,3))<f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(2,3))D．f(eq\f(11,3))<f(eq\f(2,3))<f(－eq\f(7,3))归纳总结基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要留意分a>1和0<a<1两种状况探讨：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数；(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的探讨往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后依据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行推断；(3)对于幂函数y＝xα的性质要留意α>0和α<0两种状况的不同．对点训练1.[2024·内蒙古赤峰市八校高三联考]纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则(1614)和纳皮尔算筹(1617)，而最大的贡献是对数的独创，著有《奇异的对数定律说明书》，并且独创了对数表，可以利用对数表查询出随意对数值．现将物体放在空气中冷却，假如物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．3.048分钟B．4.048分钟C．5.048分钟D．6.048分钟2．[2024·陕西省咸阳市高三下学期五模]已知a＝log2eq\f(1,3)，b＝2eq\s\up6(\f(1,3))，c＝(eq\f(1,3))2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．a<c<bC．b<c<aD．c<b<a3．[2024·北京卷]已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，则对随意实数x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)考点二函数的零点——“零点”“实根”相互转化1．函数的零点及其方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵起伏的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．角度1确定函数零点的个数或其存在范围例2(1)[2024·陕西省咸阳市高三检测]函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1（x≤0）,x－2＋lnx（x>0）))的零点个数为__________．(2)[2024·河南省高三上学期考试]已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．归纳总结1．推断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程推断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行推断；(3)画出函数图象，通过视察图象与x轴在给定区间上是否有交点来推断．2．推断函数零点个数的方法(1)干脆求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必需结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能干脆求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．角度2依据函数的零点求参数的取值或范围例3函数f(x)＝2x－3x－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数aA．(7，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪D．(－1，7)归纳总结利用函数零点的状况求参数的范围的3种方法对点训练1.[2024·安徽安庆一中高三期末]函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为()A．13，12B．12．[2024·黑龙江哈师大附中三模]已知有且只有一个实数x满意x3－ax－1＝0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，－33C．(－∞，2]D．(－∞，33考点三函数模型的应用——提取信息，合理建模应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用例4[2024·河南省驻马店市高考三模]水雾喷头布置的基本原则是：疼惜对象的水雾喷头数量应依据设计喷雾强度、疼惜面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q(单位：L/min)计算公式为q＝Keq\r(10P)和疼惜对象的水雾喷头数量N计算公式为N＝eq\f(S·W,q)计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力(单位：MPa)，K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商供应)，S为疼惜对象的疼惜面积，W为疼惜对象的设计喷雾强度(单位：L/min·m2).水雾喷头的布置应使水雾干脆喷射和完全覆盖疼惜对象，如不能满意要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，疼惜对象的疼惜面积S为14m2，疼惜对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，疼惜对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据：eq\r(3.5)≈1.87)()A．4个B．5个C．6个D．7个归纳总结解决函数实际应用题的两个关键点(1)细致读题，缜密审题，精确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要找寻它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．对点训练[2024·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满意L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6第2讲基本初等函数、函数与方程考点一1．（1）am＋n（2）amn（3）logaM＋logaN（4）logaM－logaN（5）nlogaM（6）N（7）eq\f(logbN,logba)2．增函数减函数[例1]解析：（1）因为32>23，则3>2eq\s\up6(\f(3,2))，故log23>log22eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(3,2)，所以a>c；因为42<33，则4<3eq\s\up6(\f(3,2))，故log34<log33eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(3,2)，所以b<c；则有b<c<a.故选B.（2）由题可知eq\f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq\r(3,2)，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝e2a·ea＋b＝24e2a＝24·eq\r(3,4)≈38.16.（3）∵f（x＋1）在R上为偶函数，∴f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x）关于x＝1对称．∵f（x＋2）在R上为奇函数，∴f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，∴f（x）关于（2，0）对称，且f（2）＝0，∵f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x）＝f（－x＋2）（将上式中的x换成x－1）①又∵f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，∴f（－x＋2）＝－f（x＋2）②∴由①②得：f（x）＝－f（x＋2）③∴由③得：f（x＋2）＝－f（x＋4）④（将③中的x换成x＋2）∴由③④得：f（x）＝f（x＋4），∴f（x）的一个周期为T＝4，且f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，又∵对随意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有（x1－x2）（f（x1）－f（x2））>0，∴f（x）在[0，1]上单调递增．∴f（x）在一个周期内的草图为：∴f（－eq\f(7,3)）＝f（－eq\f(7,3)＋4）＝f（eq\f(5,3)）＝f（2－eq\f(5,3)）＝f（eq\f(1,3)），f（eq\f(11,3)）＝f（eq\f(11,3)－4）＝f（－eq\f(1,3)），∴如图所示：f（－eq\f(1,3)）<f（eq\f(1,3)）<f（eq\f(2,3)），即f（eq\f(11,3)）<f（－eq\f(7,3)）<f（eq\f(2,3)），故选C.答案：（1）B（2）C（3）C对点训练1．解析：依题意，T1＝70，T0＝－10，T＝10，代入公式得：t＝4[log3（T1－T0）－log3（T－T0）]＝4（log380－log320）＝4log3eq\f(80,20)＝4log34＝eq\f(4lg4,lg3)＝eq\f(8lg2,lg3)≈eq\f(8×0.301,0.477)≈5.048（分钟），故选C.答案：C2．解析：因为a＝log2eq\f(1,3)<0，b＝2eq\s\up6(\f(1,3))>1，0<c＝（eq\f(1,3)）2<1，所以a<c<b，故选B.答案：B3．解析：由f（x）＝eq\f(1,1＋2x)，得f（－x）＝eq\f(1,1＋2－x)＝eq\f(1,1＋\f(1,2x))＝eq\f(1,\f(2x＋1,2x))＝eq\f(2x,1＋2x)，所以f（－x）＋f（x）＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1.故选C.答案：C考点二[例2]解析：（1）当x≤0时，x2－1＝0，解得：x＝－1，当x>0时，f（x）＝x－2＋lnx单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln1＝－1<0，f（2）＝2－2＋ln2>0，f（1）f（2）<0，所以在区间（1，2）内必有一个零点，所以零点个数为2个．（2）由对数函数的性质，可得f（x）为单调递增函数，且函数f（x）在（2，3）上有且仅有一个零点，所以f（2）·f（3）<0，即a·（a＋1）<0，解得－1<a<0，所以实数a的取值范围是（－1，0）.答案：（1）2（2）（－1，0）[例3]解析：∵y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在（0，＋∞）上是增函数，∴f（x）＝2x－eq\f(3,x)－a在（0，＋∞）上是增函数，∵y＝f（x）的一个零点在区间（1，3）内，∴只需f（1）·f（3）<0即可，即（－1－a）·（7－a）<0，解得－1<a<7.故选D.答案：D对点训练1．解析：f（x）＝x＋log2x为（0，＋∞）上的递增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)＋log2eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－log23<eq\f(1,3)－log22＝－eq\f(2,3)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋log2eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2,3)＋log2eq\f(2,3)＝eq\f(5,3)－log23＝eq\f(1,3)（5－3log23）＝eq\f(1,3)（log232－log227）>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(3,4)＋log2eq\f(3,4)＝－eq\f(5,4)＋log23＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋4log23))＝eq\f(1,4)（－log232＋log281）>0，则函数f（x）＝x＋log2x的零点所在的区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，故选B.答案：B2．解析：x＝0明显不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0，因此只有一个实数x满意x3－ax－1＝0等价于方程a＝x2－eq\f(1,x)只有一个实数根．令f（x）＝x2－eq\f(1,x)，∴f′（x）＝2x＋eq\f(1,x2)，令f′（x0）＝2x0＋eq\f(1,x02)＝0⇒x0＝eq\f(1,－\r(3,2))，故可知：当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\