新教材同步备课2024春高中数学微专题强化练3二面角的常见求法新人教A版必修第二册

微专题强化练(三)二面角的常见求法一、选择题1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A-BD-P的大小为(A．30°B．45°C．60°D．75°2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则二面角A-B1D1-B的余弦值为()A．63 B．C．64 D．3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为()A．62 B．C．1 D．24．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，则这个二面角的大小是()A．30° B．60°C．90° D．120°5．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝217cm，则这个二面角的度数为(A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空题6．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是．7．已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB＝60°.若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为．8．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，则二面角F-BC三、解答题9．如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小．10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值．微专题强化练(三)二面角的常见求法1．A[作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的大小．∵AO＝AB·∴tan∠AOP＝APAO故二面角A-BD-P的大小为30°.]2．A[如图，取B1D1中点E，O为底面ABCD中心，易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．又因正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝2，所以AE＝62.又OE＝BB1＝1，所以cos∠AEO＝OEAE＝63，即二面角A-B1D1-B的余弦值为63．D[设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在等边△ABC中，AE＝32a，所以tan∠A1EA＝AA1AE＝a32a＝24．C[因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝22AC，即BD′＝DC＝22AC且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因为∠B′AC＝60°，AB′＝AC，连接B′C(图略)，则△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°.故选C5．B[如图，过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，得AE＝BD＝8cm，AC＝6cm，∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，∴AB⊥平面ACE，∴AB⊥CE，又∵DE∥AB，∴DE⊥CE，∴CE2＝CD2－ED2＝52，由余弦定理，得cos∠CAE＝AE2+AC2-CE即这个二面角的度数为60°.]6．60°[如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.]7．63[如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角．设OP＝2a，则在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a.在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝2a·sin60°＝62a.在Rt△PEF中，sin∠PFE＝PEPF＝a62a＝638．77[连接OO′，过点F作FM⊥OB，垂足为点M，则有FM∥OO′又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2-过点M作MN⊥BC，垂足为点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin45°＝62从而FN＝422，可得cos∠FNM＝7所以二面角F-BC-A的余弦值为77.9．解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∵BD⊂α，∴AE⊥BD，又AE∩AF＝A，∴BD⊥平面AEF，∴BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角．依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin∠AFE＝AEAF∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.10．解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF.∵AB＝BC，∴AC⊥BE.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF.(2)如图，连接ED，∵BE⊥AC，BE⊥CC1，CC1∩AC＝C，∴BE⊥平面ACC1A1，∴△BCD在平面ACD