高三高考数学一轮课时练习：求平面的法向量

2025届高三高考数学一轮课时练习：求平面的法向量一、单选题1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（

）A． B．C． D．2．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（

）A． B． C． D．3．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．4．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（

）

A． B．C． D．5．如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（

）

①②③④A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④6．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（

）A． B．C． D．7．若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（

）A． B．C． D．8．已知，则下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．9．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（）A． B．C． D．10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（

）

A． B． C． D．二、多选题11．类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（

）A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B．若平面的方程为，则是平面的法向量C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面12．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为13．已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（

）A． B． C． D．14．（多选）平面α经过三点，则平面α的法向量可以是（

）A． B．C． D．三、填空题15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为.

16．在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为．17．已知四边形是直角梯形，，平面，，，则平面的一个法向量为18．在直三棱柱中，，，平面的一个法向量为，则棱的长为．四、解答题19．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.

20．在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量.21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.22．如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．答案：1．C【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解.【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为，则，所以，令，得，.所以．故选：C.2．D【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.【详解】由知，设平面的一个法向量为，所以，取，解得，选项D符合，另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.故选：D3．A【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.【详解】由已知，设平面的一个法向量为，取，解得，选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A.4．C【分析】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量.【详解】由题意可得，，，所以，设平面ABE的法向量为，由，得到，取，则，所以平面ABE的一个法向量为，所以是平面ABE的法向量.

故选：C.5．B【分析】利用平面向量的法向量的定义求解.【详解】依题意，，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，，所以，令，则，，所以，令，则，，所以，令，则，，所以，故选：B.6．C【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为，则有，即，令，得，所以，故A,B错误，令，得，则此时法向量为，故D错误.故选：C.7．D【分析】根据平面法向量的性质判断即可.【详解】因为，所以，所以也为平面的法向量，其它选项中的向量都不合题意，故选：D．8．C【分析】利用平面法向量的求法求解即可.【详解】因为，所以，设平面的一个单位法向量为，则，可得，经检验，仅符合题意．故选：C．9．C【分析】设平面的法向量为，根据得到之间的等量关系，分别令与即可求解.【详解】设平面的法向量为,则,令，可得，故为平面的一个法向量.令，可得，故为平面的一个法向量.故选:C.10．B【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【详解】根据题意，设，则，，，则，，设平面的一个法向量为，则有，令，可得，则.故选：B．11．ABD【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析方程对应的一个法向量，然后根据法向量与之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断.【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为，即为，故A正确；对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确；对于C：，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；对于D：设，其等价于，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD.12．AC【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案.【详解】由题意，，，，，.对于A、B项，可知，∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，可得，则C正确；对于D项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，得，故D不正确.故选：AC.13．BC【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.【详解】设平面的法向量为，因为向量，所以，取，得，取，得.故选：BC.14．AC【分析】根据平面的法向量求法计算即可.【详解】由题意可得，设平面α的法向量，则，得，取，则，得是平面α的一个法向量，即A正确；C项的也是平面α的一个法向量，即C正确；B、D选项中，向量均与不共线，故可以作平面α的法向量的是A，C.故选：AC15．（答案不唯一）【分析】根据题意，设，可得,,的坐标，由此可得向量,的坐标，由此可得关于,,的方程组，利用特殊值求出,,的值，即可得答案．【详解】根据题意，设，则,,，则,，设平面的一个法向量为,,，则有，令，可得，则，故答案为：（答案不唯一）16．（答案不唯一）【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可.【详解】根据题意可得：，设，与平面垂直，则，可得，当时，则，的坐标为．故答案为：（答案不唯一）17．（答案不唯一）【分析】根据题设建空间直角坐标系，应用向量法求平面的一个法向量即可.【详解】由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，则，设平面SCD的一个法向量为，则，令，故是平面SCD的一个法向量．

故答案为：（答案不唯一）18．2【分析】建立空间直角坐标系，设出，从而由结合得到答案.【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可知，，，所以，，因为，所以根据法向量的定义可得，，解得，且，所以.故答案为：.19．（答案不唯一）.【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案.【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点，所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以.综上可知，直线两两垂直，所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：

由题意，在正和正中，，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，化简得，令，则，即所以平面的一个法向量为（答案不唯一）.20．（答案不唯一）【分析】根据坐标系写出点的坐标，然后写出平面内两个不共线的向量坐标，根据法向量与平面内向量数量积为0列方程组求解可得.【详解】如图，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则，得，设为平面的一个法向量，则，取，得，所以平面的一个法向量为.21．（不唯一）【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可.【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A为坐标原点，AB