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第6讲函数的图象1.[命题点2角度1/全国卷Ⅰ]函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π A B C D解析易知函数f(x)的定义域为R.因为f(-x)=sin(-x)-xcos(-x)+(-x)2=-sinx因为f(1)=sin1+1cos1+1,且sin1>cos1,所以f(1)>1,解除B,C.故选2.[命题点2角度1]从某个商标中抽象出一个如图所示的图象,其对应的函数解析式可能是(C)A.f(x)=sin6xB.f(x)=cos6C.f(x)=cos6D.f(x)=sin6解析因为函数图象关于y轴对称,所以此函数为偶函数.四个选项中的函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).对于A,f(-x)=sin(-6x)2f(x),f(x)是偶函数,当x>0时,令f(x)=0,则sin6x=0,得x=kπ6(k∈N*),则当x>0时,函数的第一个零点为x=π6,当0<x<π6时,sin6x>0,2-x-2x<0,f(x)<0对于B,f(-x)=cos(-6x)2-x-2x=cos6x-(2x对于C,f(-x)=cos(-6x)|2-x-2x|=cos6xf(x)=0,则cos6x=0,得x=π12+kπ6(k∈N),所以当x>0时,函数的第一个零点为x=π12,当0<x<π12时,cos6x>0,|2x-2-x|>0,f(x对于D,f(-x)=sin(-6x)|2-x-2x|=-sin6x|23.[命题点2角度2/2024北京市育英学校模拟]点P从点A动身,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,A,P两点间的距离y关于点P所走的路程x的函数图象如图所示,那么点P所走的图形是(C) A B C D解析视察题图,可以发觉两个显著特点:①点P所走的路程为图形周长的一半时,A,P两点间的距离y最大;②y关于x的函数图象是曲线.设点M是点P所走的路程为图形周长的一半时所对应的点,如图所示,在图1和图4中,易知|AM|<|AP|max,均不符合特点①,所以解除选项A,D.在图2中,当点P在线段AB上运动时,y=x,其图象是一条线段,不符合特点②,因此解除选项B.故选C.4.[命题点3角度3/2024山东省德州市模拟]已知函数f(x)=2x-1+1,x≤2,|log2(x-2)|,x>2,若关于x的方程[f(x)]2-(aA.∅ B.[-1,0)C.(-2,0) D.(-2,-1)解析作出函数f(x)的大致图象如图,由函数图象可知,要使关于x的方程[f(x)]2-(a+3)f(x)-a=0有6个不同的实数根,设f(x)=t,则关于t的方程t2-(a+3)t-a=0在(1,3]有两个不同的实数根,因此Δ=[-(a+3)]5.[命题点3/多选]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2|x-1|A.函数f(x)在(-6,-5)上单调递增B.函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点C.若关于x的方程[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根,则这4个实数根之和为8D.记函数f(x)在[2k-1,2k](k∈N*)上的最大值为ak,则数列{ak}的前7项和为127解析若2<x≤4,则0<x-2≤2,f(x)=12f(x-2)=12(2|x-3|-1),若4<x≤6,则2<x-2≤4,f(x)=12f(x-2)=14(2|x-5|作出f(x)的部分图象如图所示.对于A,由图可知,f(x)在区间(5,6)上单调递增,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在区间(-6,-5)上单调递增,故A正确.对于B,由图可知,f(x)在(0,+∞)上的图象与直线y=x有1个交点,结合f(x)为定义在R上的奇函数可知,f(x)在(-∞,0)上的图象与直线y=x有1个交点,且f(0)=0,所以f(x)的图象与直线y=x有3个不同的交点,故B错误.对于C,由[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0(a∈R),得[f(x)-1][f(x)-a]=0,因为原方程恰有4个不相等的实数根,且方程f(x)-1=0有唯一实数根x1=2,所以方程f(x)-a=0应有3个不同的实数根(从小到大依次记为x2,x3,x4),结合图象及f(x)为奇函数可知,a=12或a=-12.当a=12时,x2+x3=2,x4=4,此时4个实数根的和为8;当a=-12时,x2=-4,x3+x4=-2,此时4个实数根的和为-4对于D,函数f(x)在[1,2]上的最大值为f(
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