浙江省A9协作体2025届高三8月暑假返校联考 数学试题（含解析）

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。4．考试结束后，只需上交答题卷。第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，则（）A． B． C． D．2．设复数满足，则（）A． B． C． D．3．已知平面向量，若，则（）A． B． C．2 D．4．已知，则（）A． B． C． D．5．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．方程在的根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（）A． B． C． D．8．已知函数，且若，则（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分。9．已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（）A．若，则 B．若，则C． D．10．三次函数叙述正确的是（）A．函数可能只有一个极值点B．当时，函数的图象关于点中心对称C．当时，过点的切线可能有一条或者两条D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点11．数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意。已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程．如图，该曲线图象过点，则（）A．B．曲线经过点C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。12．双曲线的离心率为______．13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______．14．嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪．杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤。15．（本题满分13分）在中，角所对的边分别为，且，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求边上中线的长．16．（本题满分15分）已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当二面角余弦值大小为时，求的长．17．（本题满分15分）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当的面积是时，求．18．（本题满分17分）设函数．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若函数的极小值点为，证明：；（Ⅲ）若恒成立，证明：．19．（本题满分17分）设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个一数列．（Ⅰ）若数列为，写出所有的一数列；（Ⅱ）如果数列公差为，证明：；（Ⅲ）记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的一数列”的概率为，证明：．

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．答案：A．【解析】因为，所以，，故选A．2．答案：C．【解析】因为，所以，，故选C．3．答案：D．【解析】因为，所以，则，所以，故选D．4．答案：B．【解析】因为，所以，则，故选B5．答案：A．【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，则，即，故选A．6．答案：B．【解析】画出函数在同一坐标系内画出和图象，因为，所以与图象在区间上有三个不同的交点，即方程有三个不同的根．故选B．7．答案：C．【解析】设圆柱的底面半径为，高为，由，则，所以，因为，令，则，所以．故选C．8．答案：D．【解析】由逆推得，；；；；；．所以，．故选D．二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分。9．答案：AC．【解析】A选项：，故A正确；B选项：，故B错误；C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称，利用对称性知，故C正确；D选项：因为，所以，，故D错误．10．答案：BD．【解析】A选项：，令，即，当时，方程有两个不同根，有两个极值点；当时，无个极值点，故A错误；B选项：是奇函数，故B正确；C选项：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，即，整理得，所以，或，由于，则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；D选项：在点处的切线为，与曲线联立方程组化简得，，所以，，或，由于，则方程组有两个不同解，即有两个不同交点，故D正确．11．答案：ABD．【解析】因为，所以，，利用关系式得，…（*）A选项：因为曲线图象过点，所以此时，代入（*）得，所以，故A正确；B选项：因为，所以（*）化为，所以直角坐标系下的曲线方程为，代入点满足，故B正确；C选项：，设，则，令，得或，则有极值，由对称性，所以，，故C错误；D选项：方法1：由两边平方整理得，，令，则（*），由判别式，得．令，由于方程（*）在有解，（1）当对称轴，即或时，由得，所以；（2）当对称轴，即时，由，得，所以，综上，．方法2：，所以．故D正确．三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。12．答案：．【解析】．13．答案：．【解析】曲线在处的切线为，设切点，由，得．14．答案：．【解析】甲乙打卡相同景点的概率为，所以甲、乙打卡不相同景点的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤。15．（本题满分13分）（Ⅰ）证明：因为，由正弦定理得，，所以，分因为，由余弦定理，，代入得，，化简得，所以，即证；（Ⅱ）方法1．因为，所以，故．方法2．因为，所以，所以，在中，由余弦定理，故．方法3．因为，所以，由是边上中线知，，可得．16．（本题满分15分）（Ⅰ）因为平面平面，所以，又，所以平面，所以，又为的中点，所以，所以平面，因为平面，所以；（Ⅱ）建系如图，设，取平面的法向量，设平面的法向量，因为，由，则，取由，得，解得，或，故或17．（本题满分15分）（Ⅰ）；（Ⅱ）设直线的方程为，联立，得，则，，又直线，则到直线的距离为若，则，所以的面积，化简整理得，，无解；若，则，由的面积，整理得，，解得或．综上，或．18．（本题满分17分）（Ⅰ），，当时，，当时，，所以在单调递增，在上单调递减，所以，的最大值为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递增，又由零点定理可得必然存在唯一的，使得，且当时，，当时，，所以，函数的极小值点满足．（Ⅲ）由，得，设，，①当时，必然存在使得，故不符合题意；②当时，在单调递减，单调递增，则，即，所以，令，则，所以上单调递增，上单调递减，所以，，即，．19．（本题满分17分）（1）2，3，1，4；3，2，4，1（2）对于项的数列一个—数列，因为对于，均有，所以，，所以，不是所有项中的最