统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业13直线与圆文

课时作业13直线与圆A基础达标1．[2024·河南省五市高三二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为()A．2ax＋by－1＝0B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0D．2ax＋2by－3＝02．[2024·安徽省合肥市高三二模]在平面直角坐标系xOy中，对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x2－x1＝y2－y1，则称点A和点B互为等差点．已知点Q是圆x2＋y2＝4上一点，若直线x＝2eq\r(2)上存在点Q的等差点P，则|OP|的取值范围为()A．[2eq\r(2)，4eq\r(2)]B．[eq\r(10)，2eq\r(10)]C．[2eq\r(2)，2eq\r(10)]D．[2eq\r(2)，8]3．[2024·宁夏银川一中、昆明一中高三联考]已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹()A.是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形4．[2024·宁夏回族自治区银川一中高三二模]直线kx＋y－1＋4k＝0(k∈R)与圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定5．[2024·江西省鹰潭市高三二模]已知直线l：y＝kx－k＋2和圆M：x2＋y2－2x＝0满意对直线l上随意一点P，在圆M上存在点Q，使得eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝0，则实数k的取值范围是()A．{k|k≥eq\r(3)}B．{k|－eq\r(3)≤k≤eq\r(3)}C．{k|k≥2eq\r(3)}D．{k|－2eq\r(3)≤k≤2eq\r(3)}6．[2024·甘肃省高三二模]已知A1，A2是双曲线x2－y2＝2的左、右顶点，P为双曲线上除A1，A2以外的随意一点，若坐标原点O到直线PA1，PA2的距离分别为d1，d2，则d1·d2的取值范围为()A．(0，1)B．(0，1]C．(0，eq\r(2))D．(0，eq\r(2)]7．[2024·广东江门]已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))的取值范围是()A．[eq\r(3)－1，2eq\r(3)＋1]B．[eq\r(2)－1，3eq\r(2)＋1]C．[eq\r(2)－1，2eq\r(2)＋1]D．[eq\r(2)－1，3eq\r(3)＋1]8．[2024·江西省重点中学协作体高三联考]费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.依据以上性质，则F(x，y)＝eq\r(（x－2\r(3)）2＋y2)＋eq\r(（x＋1－\r(3)）2＋（y－1＋\r(3)）2)＋eq\r(x2＋（y－2）2)的最小值为()A．4B．2＋2eq\r(3)C．3＋2eq\r(3)D．4＋2eq\r(3)9．[2024·黑龙江省齐齐哈尔市高三二模]在平面直角坐标系xOy中，角α，β的终边与单位圆的交点分别为A，B，若直线AB的倾斜角为eq\f(π,6)，则cos(α＋β)＝________．10．[2024·江西省赣州市高三二模]曲线f(x)＝ex＋sinx在点(0，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．11．[2024·安徽省九师联盟二模]已知函数f(x)＝logax＋x2－1(a>0且a≠1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，则a＝________．12．[2024·江西省九江十校高三联考]已知⊙O：x2＋y2＝4，⊙C与一条坐标轴相切，圆心在直线x－y＋7＝0上．若⊙C与⊙O相切，则⊙C的一个方程为________________．B素养提升13.[2024·安徽省合肥市高三检测]已知AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点．若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是________．14．[2024·东北三省四市高三一模]在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3，2).现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq\f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是()A．[eq\r(13)，3eq\r(5)]B．[4－eq\r(13)，7]C．[4－eq\r(13)，3eq\r(5)]D．[eq\r(13)，7]课时作业13直线与圆1．解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，因为圆C1的圆心为（0，0），半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1（0，0）到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(|a2＋b2|,\r(4（a2＋b2）))＝eq\f(\r(3),2)，解得a2＋b2＝3，所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故选D.答案：D2．解析：由题意设P（2eq\r(2)，t），Q（x，y），由题意知y－t＝x－2eq\r(2)，则t＝y－x＋2eq\r(2)，由于点Q是圆x2＋y2＝4上一点，故令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))，θ∈[0，2π），则t＝2sinθ－2cosθ＋2eq\r(2)＝2eq\r(2)sin（θ－eq\f(π,4)）＋2eq\r(2)，由于θ－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(7π,4)），故t∈[0，4eq\r(2)]，则t2∈[0，32]，故|OP|＝eq\r(（2\r(2)）2＋t2)＝eq\r(8＋t2)∈[2eq\r(2)，2eq\r(10)]，故选C.答案：C3．解析：设定圆圆心为O，半径为r，连接OH，设直径为BD，连接AD，CD，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BD为直径，∴BC⊥CD，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又BH⊂平面ABC，∴CD⊥BH，又BH⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，∴BH⊥平面ACD，DH⊂平面ACD，∴BH⊥DH，在Rt△BDH中，OH＝OB＝OD＝r，则点H的轨迹是以O为圆心，r为半径的圆．故选A.答案：A4．解析：由直线kx＋y－1＋4k＝0得k（x＋4）＋y－1＝0，令x＋4＝0，y－1＝0，得x＝－4，y＝1，故直线kx＋y－1＋4k＝0（k∈R）恒过点（－4，1），又（－4＋1）2＋（1＋2）2＝18<25，即点（－4，1）在圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25内，故直线kx＋y－1＋4k＝0（k∈R）与圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25的位置关系为相交．故选C.答案：C5．解析：圆M的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，圆心为M（1，0），半径为1，因为对直线l上随意一点P，在圆M上存在点Q，使得eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝0，所以直线l与圆M相切或相离，则eq\f(|k－k＋2|,\r(1＋k2))≥1，解得－eq\r(3)≤k≤eq\r(3).故选B.答案：B6．解析：由题意可知A1（－eq\r(2)，0），A2（eq\r(2)，0），设P（x，y），则kPA1·kPA2＝eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝eq\f(y2,x2－2)＝1，设kPA1＝k（k≠0，且k≠±1），则kPA2＝eq\f(1,k)，故直线PA1的方程为kx－y＋eq\r(2)k＝0，直线PA2的方程为x－ky－eq\r(2)＝0，原点到两直线的距离分别为d1＝eq\f(\r(2)|k|,\r(1＋k2))，d2＝eq\f(\r(2),\r(1＋k2))，所以d1·d2＝eq\f(2|k|,1＋k2)≤eq\f(2|k|,2|k|)＝1，当且仅当k＝±1时，“＝”成立，但此时两直线平行，这是不行能的，等号不能成立，所以0<d1·d2<1.故选A.答案：A7．解析：依题意，直线l1：m（x－3）－n（y－1）＝0恒过定点A（3，1），直线l2：n（x－1）＋m（y－3）＝0恒过定点B（1，3），明显直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2的交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2，圆心N（2，2），半径r2＝eq\r(2)，而圆C的圆心C（0，0），半径r1＝1，如图：|NC|＝2eq\r(2)>r1＋r2，两圆外离，由圆的几何性质得：|PM|min＝|NC|－r1－r2＝eq\r(2)－1，|PM|max＝|NC|＋r1＋r2＝3eq\r(2)＋1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))的取值范围是[eq\r(2)－1，3eq\r(2)＋1].故选B.答案：B8．解析：由题意得：F（x，y）的几何意义为点E到点A（2eq\r(3)，0），B（eq\r(3)－1，1－eq\r(3)），C（0，2）的距离之和的最小值，因为|AB|＝eq\r(（\r(3)＋1）2＋（\r(3)－1）2)＝2eq\r(2)，|CB|＝eq\r(（\r(3)－1）2＋（－\r(3)－1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(4＋12)＝4，所以|AB|2＋|CB|2＝|AC|2，故△ABC为等腰直角三角形，取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，故|BD|＝eq\f(1,2)|AC|＝2，|AE|＝|CE|，因为eq\f(|CO|,|AO|)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以∠CAO＝30°，故∠AEC＝120°，则∠BEC＝∠AEB＝120°，故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即F（x，y）取得最小值，因为|AD|＝|CD|＝eq\f(1,2)|AC|＝2，所以|AE|＝eq\f(|AD|,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)，同理得：|CE|＝eq\f(4\r(3),3)，|DE|＝eq\f(2\r(3),3)，|BE|＝|BD|－|DE|＝2－eq\f(2\r(3),3)，故F（x，y）的最小值为|AE|＋|CE|＋|BE|＝eq\f(4\r(3),3)＋eq\f(4\r(3),3)＋2－eq\f(2\r(3),3)＝2＋2eq\r(3).故选B.答案：B9．解析：由题意得，点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），所以直线AB的斜率kAB＝eq\f(sinα－sinβ,cosα－cosβ)＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，所以eq\r(3)sinα－cosα＝eq\r(3)sinβ－cosβ，即sin（α－eq\f(π,6)）＝sin（β－eq\f(π,6)），所以α－eq\f(π,6)＝β－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z或者α－eq\f(π,6)＋β－eq\f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，当α－eq\f(π,6)＝β－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z时，可得α＝β＋2kπ，k∈Z，此时A，B点重合，不合题意，当α－eq\f(π,6)＋β－eq\f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z时，即α＋β＝eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，可得cos（α＋β）＝coseq\f(4π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)10．解析：f′（x）＝ex＋cosx，故f′（0）＝e0＋cos0＝2，故f（x）＝ex＋sinx在点（0，1）处的切线方程为y－1＝2x，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝－eq\f(1,2)，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)11．解析：因为f（x）＝logax＋x2－1（a>0且a≠1），则f′（x）＝eq\f(1,xlna)＋2x，因为直线x＋3y－2＝0的斜率为－eq\f(1,3)，又因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，所以f′（1）＝eq\f(1,lna)＋2＝3，解得a＝e.答案：e12．解析：由已知可得，⊙O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径R＝2，所以点O（0，0）到直线x－y＋7＝0的距离d＝eq\f(7,\r(2))＝eq\f(7\r(2),2)>2，所以，直线与圆相离，所以⊙C的圆心在⊙O的外面．当⊙C与x轴相切时，设⊙C的圆心C（a，a＋7），则⊙C的半径r1＝|a＋7|.因为⊙C与⊙O相切，且C在⊙O的外面，所以两圆外切．所以|OC|＝R＋r1，即eq\r(a2＋（a＋7）2)＝2＋|a＋7|，整理可得，a2＝4＋4|a＋7|.若a≤－7，整理可得a2＋4a＋24＝0无解，所以a>－7，所以a2－4a－32＝0，解得a＝－4或a＝8，所以⊙C方程为（x＋4）2＋（y－3）2＝9或（x－8）2＋（y－15）2＝225；当⊙C与y轴相切时，设圆心C（a，a＋7），则⊙C的半径r2＝|a|.由两圆外切可得，|OC|＝R＋r2，即eq\r(a2＋（a＋7）2)＝2＋|a|，整理可得a2＋14a＋49＝4＋4|a|，则a<0，所以有a2＋18a＋45＝0，解得a＝－3或a＝－15，所以⊙C方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝9或（x＋15）2＋（y＋8）2＝225.答案：（x＋4）2＋（y－3）2＝9（答案不唯一）13．解析：设M（x，y），因为圆C的圆心为C（2，m），所以|CM|2＝（x－2）2＋（y－m）2，|OM|2＝x2＋y2，所以CM2＋OM2＝（x－2）2＋（y－m）2＋x2＋y2＝2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2，又因为CM2＋OM2＝3，则2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2＝3，所以x2－2x＋2＋y2－my＋eq\f(m2,2)＝eq\f(3,2)，即x2－2x＋y2－my＝eq\f(3,2)－2－eq\f(m2,2)，即（x－1）2＋（y－eq\f(m,2)）2＝eq\f(2－m2,4)≥0，2－m2≥0⇒－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)，当m＝eq\r(2)时，M表示点（1，eq\f(\r(2),2)），圆C：（x－2）2＋（y－eq\r(2)）2＝3，因为M为线段AB的中点，所以M在圆内，即（1－2）2＋（eq\f(\r(2),2)－eq\r(2)）2＝eq\f(3,2)<3，满意题意；当m＝－eq\r(2)时，M表示点（1，－eq\f(\r(2),2)），圆C：（x－2）2＋（y＋eq\r(2)）2＝3，则（1－2）2＋（－eq\f(\r(2),2)＋eq\r(2)）2＝eq\f(3,2)<3，满意题意；当－eq\r(2)<m<eq\r(2)时，M在以（1，eq\f(m,2)）为圆心，eq\f(\r(2－m2),2)为半径的圆T上，且（1－2）2＋（eq\f(m,2)－m）2＝1＋eq\f(m2,4)<1＋eq\f(2,4)＝eq\f(3,2)<3，所以圆T的圆心在圆C的内部，且圆T的半径eq\f(\r(2－m2),2)≤eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，即小于圆C的半径，故圆T与圆C必相交，满意M在圆C内，故－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)，所以实数m的取值范围是[－eq\r(2)，eq\r(2)].答案