福建省宁德市福鼎市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023~2024学年度第二学期八年级期中质量检测数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1.“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意；故选D．2.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是要注意不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意；B．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意；C．因为，所以，原变形正确，故此选项符合题意；D．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：C．3.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；B、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；C、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；D、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；故选：C．4.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意；B、，属于因式分解，故B符合题意；C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；D、，属于整式乘法，故D不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键．5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集，根据定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可．【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为：；故选A．6.如图，中，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．7.下列数是不等式的一个解的是（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．【详解】解：，，，，是不等式的一个解，故选：A．8.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，若，则的长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是根据平移的性质求出，再利用正方形的性质，在等腰直角三角形中利用勾股定理求出结果．【详解】解：由平移可知，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．9.如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长是（）A.2.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键．由题意得，由勾股定理得，，由垂直平分线的性质可得，根据的周长是，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵是的垂直平分线，∴，∴的周长是，故选：B．10.若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．【详解】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为：点在直线的下方，点在直线的上方，点在直线的下方，可能在一次函数图象上的是．故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题，故答案为：真．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．12.在平面直角坐标系中，将点向上平移______个单位后得到点【答案】2【解析】【分析】根据点的平移规律“上加下减，右加左减”即可进行解答．【详解】解：点向上平移2个单位后得到点，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，解题的关键是掌握点的平移规律“上加下减，左加右减”．13.如图，在中，是的平分线，于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：过点作于点，∵是的平分线，，∴，∴的面积为,故答案为：．14.已知点在第二象限，则a的取值范围_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得：，故答案为：．15.如图是某超市购物车侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离是_____．【答案】48【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可．【详解】解：连接，过作于，，，，，是直角三角形，的面积，，解得：，即点到的距离为，故答案为：48．16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是_____．①点B的坐标是；②始终是等边三角形；③在点M运动过程中，的大小可能是；④连接，当时，的长是．【答案】①②④【解析】【分析】如图，作于，则，，由勾股定理得，，则B的坐标是，进而可判断①的正误；由旋转的性质可知，，可证是等边三角形，进而可判断②的正误；证明，则，进而可判断③的正误；如图，连接，作轴于，作轴于，则，，，，则，，由勾股定理得，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，，进而可判断④的正误．【详解】解：如图，作于，∵为等边三角形，，∴，，由勾股定理得，，∴B坐标是，①正确，故符合要求；由旋转的性质可知，，∴是等边三角形，②正确，故符合要求；∵、是等边三角形，∴，∴，即，∵，∴，∴，③错误，故不符合要求；如图，连接，作轴于，作轴于，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，∴，④正确，故符合要求；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，共52分）17.因式分解：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是直接提公因式即可分解．【详解】解：18.解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.【解析】【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．试题解析：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，合并同类项，得：x＞1，将不等式解集表示在数轴上如图：19.如图，在中，是的中点，，垂足分别是、，且求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等角对等边即可得证．【详解】解：是的中点，，，，和都是直角三角形，在和中，，，，．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，证明得到是解题的关键．20.为创建全国文明城市，某单位要同时购买A型和B型分类垃圾桶共10个，据市场调查，A型40元/个，B型50元/个，若总费用不超过420元，问该单位至少需要购买A型分类垃圾桶多少个？【答案】8个【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设购买A型分类垃圾桶个，则购买B型分类垃圾桶个，利用总价单价数量，结合总价不超过420元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】解：设购买A型分类垃圾桶个，则购买B型分类垃圾桶个，根据题意得：，解得：，的最小值为8，至少要购买A型分类垃圾桶8个．21.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．（1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的；（2）如图，若与关于某点P成中心对称，且点B的对应点是点，①对称中心P的坐标是_________；②画出．【答案】（1）见解析（2）①；②见解析【解析】【分析】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是：（1）将三个顶点分别向左平移5个单位，再向下平移1个单位，再首尾顺次连接即可得；（2）①连接，找到线段的中点即可对称中心；②根据对称中心的位置找到对应点，再依次连接．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】①如图，点P即为所求，坐标为；②如图，即为所求．22.如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．）请从以下两个问题中任选一题作答．A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由．B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由．【答案】画图见解析，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理：A题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求；B题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求．【详解】解：A题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求；理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴都是等腰三角形；B题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求；同理可得，∴都是等腰三角形．23.阅读理解：材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，．材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．（1）_______，_______；（2）如果，求满足条件的所有整数x；（3）若线性数的值为1，求x的值．【答案】（1）3，（2），，（3）【解析】【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键（1）由题意知，，，计算求解即可；（2）由，可得，计算求解，然后作答即可；（3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：由题意知，，，故答案：3，；【小问2详解】解：∵，∴，解得，，∴满足条件的所有整数x为，，；小问3详解】解：由题意知，，∴，∴，由题意知，表示不大于a的最大整数，∴，∴，解得，．24.如图1，已知和都是等腰直角三角形，，保持不动，将绕点A按顺时针方向旋转，连接交于点G．（1）求证：；（2）如图2，