高中数学“题组教学”的研究和实践-高中数学课题-装订成书材料

目录

一、研究背景及意义.............2

1、研究背景.........................................2

2、研究意义.........................................2

二、课题概念的界定..................................3

三、课题研究的内容................................4

四、课题研究的方法.................................5

五、课题实施的主要活动..............................5

1、剖析高考题组，把握方向...............................5

2、理论学习，初设题组...................................5

3、课堂实践，修改题组...................................6

4、专家指导，汇编成案...................................6

六、课题实施过程中的课例

课例1...................................................................................................7

课例2...................................................................................................13

课例3...................................................................................................22

课例4...................................................................................................30

课例5...................................................................................................38

七、课题实施的效果评价............................45

八、成果展示.....................................45

九、参考文献.....................................45

十、附件.....................................46

高中数学“题组教学”的研究和实践

XXXX中学XXX（执笔）

二、研究背景及意义

1、研究背景

高中阶段教育是学生个性形成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和

培养创新人才具有特殊意义。应该注重培养学生自主学习、自强自立和适应社会

的能力。由此可见学生自主学习、自主发展是当前教育发展的必然要求，也是未

来人才必备的基本素养。学生的学习不仅仅是储存知识，形成某种技能的过程，

更要重视身心发展，重视思维方法、学习策略和方法的探索，学习能力的形成和

提高，更注重创造性潜能的开发幢。因此，学生学习的目的不只是获取知识，更

在于对自身学习素养的培养。《普通高中数学课程标准》对数学课程的教学内

容、教学方式、教学评估、教育价值观等多方面都提出了许多新的要求。高中数

学课程标准指出，数学的学习要使不同的学生在数学上得到不同的发展，同时要

注重培养学生的自主学习能力和合作交流能力。高中数学课程应针对不同的学生

设置不同形式的自主学习让学生充分体发展他们的逻辑思维能力。由此可见，高

中学生的学习方式发生了根本性的变化，这就要求我们一线教师改变观念，在教

学中体现学生的主体性。

然而进入高中后，学生学习数学过程中由于各种原因出现了两极分化，就

我校2012年高中数学毕业考试将近13%的同学成绩在20分以下，数字令人

触目惊心。面对如此严重的两极分化现象，我们一线教师该采用什么方法进行有

效的课堂教学，在高中数学课堂上提高效率，在课堂中既有一定的题量，又能充

分展示不同层次的学生的思维，进行分层教学，把课堂主体地位归还于学生，减

轻学生的课后负担？这是我们必须要思考和解决的问题。

2、研究意义

1、教师作业的现状

从数学教学现状来看，教学中普遍存在注重具体的知识传授，而忽视知识

的系统把握，影响学生对数学学科的把握。传统教学方法的束缚，在教学上较多

的是采用输式，讲得过多过滥，缺乏数学知识的结构性，数学知识把握的肤浅

性导致学生数学知识学习迁移能力低下，更无探究性学习能力，不能适应学生创

新精神的培养。在学科知识不断增长的条件下，教师为了让学生掌握越来越多的

知识，教学中忽视了数学的思维方法的培养，偏重于解题的数量，造成了对作业

的厌倦，学生“做完就忘”的结果。改变从解题出发，引导学生从数学的知识结

构出发教学，发展思维能力，增强学习迁移能力，是数学教学改革的一种有价

值的选择。数学中题目“多”是接触过这门学科的人都有体会的，数学教科书

内的题目大小几千题；从广义来看，生活实际与生产实际向数学这门学科提出的

问题也是一种题目；公式、定理在没有被推导或证明前，也是题目。教学中如

何处理这些变幻无穷的题目，是每个数学教师都会碰到的问题。教师往往采用先

讲后练，即在讲好知识和方法后，才让学生动手做几道题。由于学生学习处于被

动的地位，教师讲什么听什么，呈无精打采的景象。

2、减轻学生过重学业负担

当前的学生学业负担过重一直是一个顽疾。为了获得高分，让学生在试题

上“见多识广”，对试题面熟，是司空见惯的现象。这种做法其实就是“题海战

术”。把他们认为好的有用的题都塞给学生做；课堂上自己又不压缩讲解时间，

大量的题都让学生课外去完成,造成学生课外负担十分沉重，抄袭现象屡见不鲜;

反过来，教师批发作业负担也十分繁重。如何从这“题海战”泥潭中走出来正是

我们教师在探索的。

“题组教学法”不仅遵循素质教育“以人为本”的基本理念，还着眼于改

造传统的教育教学理论。通过对教改经验的整理和提炼，发展理论，使理论更加

符合实际。因此，我们研究现行班级授课制下，如何解决教学要求整齐划一与学

生实际学习可能的差异性之间的矛盾，具有一定的意义。

二、课题概念的界定

所谓题组法就是针对某一节课的学习目标，根据学生的认知规律，合理有效

地选用一组数学问题组织教学。即把一组题（通常包含4到5个小题）一下子就全部

展现在学生面前，留给学生充足时间，让他们快者快学、慢者慢学。“题组教学

法”符合高中学生的年龄特点，有利于贯彻因材施教的教学原则，能够调动学生

的积极性，使学生的主体地位得到完全的确立，能够提高学生解题能力，培养学

生的创新意识和实践能力。

“题组教学法”的主要特征在于：一是将所要解决的问题改编成题目，以若

干个题目为一组，作为一个教学单元；二是对每一组题，都运用“出示题组、探

究展示、讨论辨析、点评小结”这四个步骤进行处理。

在具体教学时，通常以题组中的问题为依托，引导学生对题目进行分析、讨

论、研究和解答.让学生积极主动去探索研究，在解答问题的过程中巩固所学的

知识，并训练与提高其智力和能力。

三、课题研究的内容

1、“题组教学”理论学习：

“题组教学法”的出现与发展，符合了教育对象认知思维的客观规律，符合

数学解题研究的实证方向。所谓“题组教学法”是指在课堂教学中，为了达到某

一方面的目的，根据学生的认知规，合理有效地选用一组数学问题组织教学。并

且在这些问题的解决过程中，除了解决单个的数学问题外，通过几个问题的前后

联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对

问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的。

这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系，

它们的解决能启示一种客观规律，能引导与启发学生掌握这种规律。

课题组教师在学习“数学题组教学”理论后，结合我校学生特点，总结适合

我校学生的数学题组设计策略并进行实践教学。

2、数学高考题中“题组”的研究及分析：

高考题考的往往不是单一的知识点，往往是知识点之间的相互联系。为了

考察学生的综合能力，数学高考往往运用题组的形式进行。课题组针对数学高考

题中的几个“题组”进行研究和分析让学生体会题组的重要性，并且通过题组训

练，让学生构建各模块内容知识点之间的相互联系，形成一个新的知识网络。这

样做可以培养学生对知识的深层次的把握，对知识的掌握形成网络化结构。

3、课堂实践中“题组”的设计及应用：

本课题组教师及教研组其它成员围绕设计适合我校学生特点的“题组”不

断交流，针对不同数学课程内容设计不同的题组，并进行课堂实践，根据学生的

生成资源，对题组进行修改，再实践，并总结。其目的就是为了设计适合我校不

同层次学生的题组，让每个学生都能参与进来。主要流程如下：

根据学生

选定课题设计题组

再次实践

4、效果评价:

学生的数学问题解决能力是数学课堂教学效果评价的标准之一。数学问题

解决是学生在数学学习中思维活动最普遍、最重要的形式，问题解决能力是学生

智慧和创造性的集中体现。所谓数学问题解决，是一系列有目的指向的认知操作

过程，是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动或心理过程。对高中学生

而言，数学解题能力直接关系到其在考试中获得的分数多少，也就是其在目前数

学水平评价体系中的优劣。

5、课例汇编：

通过课堂实践，把教师的课堂实录汇编成册，供其它教研组成员参考和推广。

四、课题研究的方法

1、文献研究法。利用网络、图书馆查找跟本课题有关的资料和文献，为本课题研究提

供可靠的理论依据。

2、取样法：在各个年级段随机抽样一些班级进行教学实践。

3、行为研究法。在研究过程中将实践和反思有机结合，在实践中反思，反

思后进一步研究实践，行为跟进，不断完善提高。

4、问卷调查法：设计一些问卷调查表格，向教育专家、老师、学生、家长

等搞一些问卷调查。

5、分析法：对实践、累积的一些课例素材进行分析处理。

五、课题实施的主要活动（详细活动见课例）

1、剖析高考题组，把握方向

高考的主要目的是为高校选拔合格的新生，为了使高考选拔出来的新生进入

大学后能正常有效的学习。可见在高考中，所考察的主要是一些基础题，高考数

学的考查也是。高考数学所考查的题目往往是一些简单题，而且这些题目也是学

科中最为核心最为关键和最为基础的题目。那么我们平常应该对于数学领域中最

为基础的知识点设置合理的题组，让学生做到举一反三的运用，在此基础上再进

行拔高训练，注重能力的培养，才会使数学成绩有一个有效的提高。

2、理论学习，初设题组

要在数学课堂上设计合适的题组，教师首先要对本课时数学教学中的重

点难点以及题组设计的策略把握得当。在数学教学中，如何帮助学生突破难点，

这不仅是一个教学方法的问题，而且是一个关系到培养学生具有什么样的能力的

问题。利用题组教学，可以启发引导学生学会思考，突破难点，培养学生观察、

分析、归纳、联想能力，顺利解决数学学习上的困难。题组设计策略是实施题组

教学的基础。教师必须对每一课时的结构体系有完整的了解，并对教学目的有清

醒地认识。内容以本课时为主，兼顾跨章节相关知识点，包含的知识点体系完整。

找准新知识的生长点，整理知识结构，展示知识的发生过程，找出既紧扣教材知

识内容又突出能力培养的典型习题，组合成序列化题组，让学生利用已有的知识

结构来同化新知识，实现知识的迁移。

在理论指导下，教师对本课时的教学内容进行初步设计，对课堂的状况进

行初步预设。

3、课堂实践，修改题组

学生部是教师完成教学任务的服务者，而是学习的主人。课堂教学中，学

生的反应不可能完全符合教师的预设。我们要给学生留一定的空白，跟据学生的

生成及反应，修改题组，寻找适合本班不同层次学生的题组。

4、专家指导，汇编成案

在上课前，我组教师邀请校数学名师、本校学科教研组的骨干教师，组成

专业引领小组，执教者根据二次设计的方案再次进行说课，广泛听取专业引领小

组的意见和建议，并及时地调整。在各数学骨干教师的指导下，对修改的题组和

教案再次修改，整理记录，形成教案。

六、课题实施过程中的课例

课例1

直线与平面平行的判定

鲍照军

一、教学内容分析：

本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中

起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、

面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操

作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学

习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平

行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析：

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语

言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教

学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳

出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让

学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平

行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、

勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，

提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知一一观察一一操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平

行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语

言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维

能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习

的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间

观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（-）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面a有哪几种位置关系？并

完成下表：（多媒体幻灯片演示）

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示

为e

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你

认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

［设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节

课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。］

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的

具体事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面

平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

［学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现

的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。］

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台

桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在

桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则

大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师

（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、

后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

［设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平

行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，

学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。］

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起

了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条

线②平面内一条直线③这两条直线平行

（2）如果平面外的直线a与平面e内的一条直线b平行，那么直线a与平面a

平行吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，

则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行n线面平行

aa

符号表示：bcza>=>a\\a

a\\b

温馨提示：

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（）

（2）若直线a与平面a内无数条直线平行，则a与a的位置关系是（）

A、a||aa<zaC、a||a或aueD、a^a

［学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设

（1）中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这

时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备

好的羊毛针与泡沫板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果

有的学生空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行

演示。］

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？

若存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、

泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

［设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，

更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。］

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD

的中点，求证：EF||平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA

中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关

系的所有情况。（共6组线面平行）

变式二：在变式一的图中如作PQEF,使P点在线段AE上、Q点在线段

FC上，连结PH、QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一

的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四

边形，说明理由。

［设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时

巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。］

例2：如图，在正方体ABCD—AIBICIDI中，E、F分别是棱BC与CiDi中

点，求雷E甲|平面BDDiBi

分析：根据判定定理必须在平面BDDBi内找（作）一条线与EF平行，联想

到中点问题找中点解决的方法，可以取BD或BiDi中点而证之。

思路一：取BD中点G连DiG、EG,可证DiGEF为平行四边形。

思路二：取DiBi中点H连HB、HF,可证HFEB为平行四边形。

［知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化

为我平行四边形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。平行问题找

中点解决是个好途径好方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻

辑思维能力的重要思想方法］

4、练一练：

练习1：见课本6页练习1、2

练习2：将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，设M、N分别为

AC、BF中点，求证：MN||平面BCE。

变式：若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN,试问结论仍成

立吗？试证之。

［设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通

过练习2及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、

解决问题的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。］

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则

该直线与这个平面平行。

acta

2、定理的符号表示：bcza>=>a||a

a\\b

简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点

利用平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的第

一节课，也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习

对发展学生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。

本节课的设计遵循“直观感知一一操作确认一一思辩论证”的认识过程，注

重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度

认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识

和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与

推理能力。

本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，

加强各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，

动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达，对例题的讲解与

分析也注意指导学生三种语言的表达。

本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感

知在先,学自己身边的数学,感知生活中包涵的数学现象与数学原理,

体验数学即生活的道理，比如让学生举生活中能感知线面平行的例

子，学生会举出日光灯与天花板，电线杆与墙面，转动的门等等，同

时老师的举例也很贴进生活，如老师直立时与四周墙面平行，而向前、

向后倾斜则只与左右墙面平行,而向左、右倾斜则与前后黑板面平行。

然后引导学生从中抽象概括出定理。

本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节，能从

易到难，由浅入深地强化对定理的认识，特别是对“证一证”中采用一题多解，

一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在复习引入，定理的探

求以及定理的运用等过程中，都有效地使用了多媒体。

专家点评：

本节课教师利用教室现有实物，如日光灯管、地面、教师个人、

门等做教具，让学生认识和理解直线和平面平行的理由和条件。学生

在应用观察、猜想等手段探索研究判定定理时，能获得视觉上的愉悦,

增强探求的好奇心。学生经过思维活动，从中找出一类事物的本质属

性，最后通过概括得出新的数学概念。创设的问题情景有效，能遵循

认识规律，从感性到理性，从具体到抽象。

本节课的设计符合新课程立几中“直观感知——操作确认——思

辩论证”的教学理念。整体设计中规中矩，自然流畅。教师对问题、

例题的设计都别具匠心，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫

和引导，既巩固已有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生

的主体地位。

本节课蕴涵着化归思想，设计中注重对学生进行思想方法的训

练，通过一题多解、一题多变，渗透了联系与转化的思想，使学生学

会思考、掌握方法,有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

课例2

对数函数及其性质（1）

杭城锋

一、教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（1）》（人教A版）第

二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习

对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个

重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似

之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求

也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决

函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但

新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正

因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于

形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又

以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，

这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制

要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，

针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其

次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合

作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标

1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数

函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的

单调性与特殊点；

3.通过比较［对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数

函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点

重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响.

六、教学过程设计

教学流程：背景材料f引出课题一函数图象f函数性质一问题解决一归纳

小结

（一）熟悉背景、引入课题

1.让学生看材料：

材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊

世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还

可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿

尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境,

这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，

是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以

活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境

使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图4—1

（如图4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复

活”了）

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上

面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p,利用

"log.尸

573%

估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对

应关系，

生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数;

如图4-2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4

个....，

如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个……，

不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数，即y=log2x；

图11-14触窗裂21程示意图

1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，

从而得出对数函数的定义：函数y=log“x（a>0,且4H1）叫做对数函数，其

中x是自变量，函数的定义域是（0,+°°）.

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：

y=21og2x,y-log51都不是对数函数.②对数函数对底数的限制：（a〉O,

且a。1）.

3.根据对数函数定义填空；

例1（1）函数y=logax"的定义域是（其中a>0,aWl）

（2）函数y=loga（4-x）的定义域是（其中a>0,a#l）

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理

解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避

免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

［设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函

数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手因此，新课

引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让

学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模

型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点］

（二）尝试画图、形成感知

1.确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方

法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按a>l和0<a<l分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y=log2xy=log|X

2

(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y=log3xy=log!x

3

步骤二：观察对数函数y=log2X、y=log.,x与y=log।x、y=log[X的图象特

23

征，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算器或计算机，选取底数。3>0,且QH1)的若干个不同的值,

在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有

哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较

2.学生探究成果

(1)如图4一3、4一4较为熟练地用描点法画出下列对数函数y=k)g2X、

y=log।x、y=log3x、y=log〕x的图象

(2)如图4—5学生选取底数a=l/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推

荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生

自己动手，加上'几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了

底数。是如何影响函数〉=log”x(a>0,月.aw1)图象的变化。

(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y=loga

x(a>l)、y=logax(0<a<l)的图象代表对数函数的两种情形。(图4—6)

y=logax(0<a<l)

(4)学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y

轴正负方向无限延伸；②都过(1、0)点；③当a>l时，图象沿x轴正向逐

步上升；当0<a<l时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不

对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数

函数的图象区别；如图4一7

图4—7

3.拓展探究：(y=人、y=log3尤与y=log,x

23

的图象有委样的郡尔关系?

(2)对薮函数y=1品a?x(a>l),当a值增大，图象的上升“程

图1-53

度”怎样？

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感

性认识就比较全面。

［设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，

这样处理学生虽然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的：这样处理

也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。

因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的

形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究

步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强

学生的直观感受］

(三)理性认识、发现性质

1.确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函

数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数

的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象

特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性

质

2.学生探究成果

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

函

y=logax(a>l)y=logax(0<a<l)

数

X

y

图像

orL_J

x.____rJ____X

定义域

R+R+

值R

域R

单调性在（0,+oc）上是增函数在（0,+oc）上是减函数

过定点(1,0)B|Jx=l,y=0(1,0)即x=l,y=0

0<x<l时，y<00<x<l时,y>0

取值范围x>l时，y>0x>l时，y<0

［设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质

属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回

顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对

数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到

这些性质必然水到渠成］

（四）探究问题、变式训练

问题：（幻灯）（教材p79例8）比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log,3.4,log8.5（2）log1.8,log2.7

44V.OV.O

（3）loga5.1,loga5.9（a>0,且aWl）

独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2o运用怎样的函数性质？

小组交流：（1）y=log2X是增函数（2）y=bg：3是减函数

（3）y=logax,分a>1和0<a<1分类讨论

变式训练：1.比较下列各题中两个值的大小：

⑴kg/log108（2）log056log054

（3）log0,0.5log0,0.6（4）log,50.6log^O.4

2.已知下列不等式，比较正数m,n的大小:

(1)logm<log.n(2)lognm>lognn

jav«ju.J

(3)logam<logan(0<a<l)(4)logam>logan(a>l)

［设计意图：1。这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层

面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模

型，渗透函数的观点(数形结合)解决问题的思想方法；2。旧教材在图象与性

质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还

是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然

栗预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引

导］

(五)归纳小结、巩固新知

1.议一议：(1)怎样的函数称为对数函数？

(2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？

(3)对数函数有怎样的性质？

2.看一看：对数函数的图象特征和相关性质

对数函数的图象特征对数函数的相关性质

a>10<a<1a>10<a<l

函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+°°)

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R

函数图象都过定点(1,0)咽=0

自左向右看，自左向右看，

增函数减函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

第一象限的图第一象限的图

象纵坐标都大象纵坐标都大X>1,logaX>00<x<l,logrtx>0

于0于0

第二象限的图第二象限的图

象纵坐标都小象纵坐标都小0<x<l,log”x<0x>IJogqx<0

于0于0

(六)作业布置、课后自评

1.必做题：教材P.2习题2.2(A组)第7、8、9、12题.

2.选做题：教材P.3习题2.2(B组)第2题.

七、教学反思

从教这儿年年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时

也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始

终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的

创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手

段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图

形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，通过这

次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！

【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003

2.章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7

专家指导点评：

本文教学目标的设计定位准确，教学重点、难点明确。从两个实

际问题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初步感受

对数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学

生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认

识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究

的有效性。同时借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。

教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过

指数函数的图象与性质的基础上，通过类比，以旧引新，自然过渡到

本节的学习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的

图象与性质。在教学过程中，教师能引导学生确定探究问题、探究方

向和探究步骤，确保了探究的有效性；让学生动手画图、观察图象，

启发学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在这里，

教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的

主人，学会了学习，学到了“对比联系”、“数形结合”及“分类讨

论”的思想方法。

另外，教学情景的设置、教学例题的选用，以及信息技术来动态

演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。

课例3

任意角的三角函数（1）

叶晓秀

一、教学内容分析：

高一年《普通高中课程标准教科书•数学（必修4）》（人教版A版）第12

页1.2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通

过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的

三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期

现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要

求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在

解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发

生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担,

泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕

迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之

味。所以如何进行《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）的教学

设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角

形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准（实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关

注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一

点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广

泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以

及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的

现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容

处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决

好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符

号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数

学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，

体验“数学是过程的思想“，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机

械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和

处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能

力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在

直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通

过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意

角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；

3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义.

2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.

具体设计如下：

六、教学过程

第一部分一一情景引入

问题1：如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为

h„,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360

秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置0A出发（如图1所示），

过了30秒后，你离地面的高度人为多少？过了45秒呢？过了，秒呢？

【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此

选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知

识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在

直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数

的本质0

第二部分——复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运

动30秒后到达P点位置，由题意知ZAOP=30°,作PH垂

直地面交OA于M,又知MH=4，所以本问题转变成求PH

再次转变为求PMo

要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐

角的三角函数。

问题2：锐角a的正弦函数如何定义？

【学生自主探究】：学生很容易得到

\MP\\MP\.R.

sina=----=-----=>MAP4p\[-Asina=

\OP\R

IPH|=%+Rsina

=>h=h^+Rsina

所以学生很自然得到“过了30秒后,

你离地面的高度人为多少？”

4=%+Rsin30°

h2=hQ+Rsin45°

【教师总结】：在锐角的范围中，

h=%+Rsinf”

第三部分——引入新课

问题3：请问f的范围呢？随着时间的推移，你

离地面的高度人为多少？能不能猜想

h=h。+Rsinf。?

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天

我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点尸（与,“），能你用直角坐标系中角的终

边上的点的坐标来表示锐角。的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余

弦、正切）？

【学生自主探究】……盟哇

\OM\x\MP\y

cosa=-------=—P,tana=--------=—P

|OP|R\OM\xP

问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得

具体认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置

的改变而改变，只与角有关系。

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义

一样。

问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的

定义呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识

\MP\_y

得到sinaP

\0P\

学生定义好第二象限角后，让学生自己算

出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度〃？

通过摩天轮知道：

/?=〃o+Rsinl5O°=%=%+Hsin30°

由此得到：sin15O-l

【设计意图】：通过这个，让学生检验sina=叫」="在第二象限角是否

\OP\R

正确？

问题7：sina=日组在第三象限角或第四象限能成立吗？

\OP\

【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现

正、负符号的偏差。

(可以让学生取r=210,从而/?=%+Hsin210°,得至Usin210°=-；,发现

这与sina=M1不相符，实际上是sina=^^)

\OP\