高中数学习题大全之不等式

即叫用

【例1】若0<a<b5a+b=l»则在下列四个选项中，较大的是（

A--B-a2+b2C-2abD-b

2

【例2】将师，，2,按从大到小的顺序排列应该是•

【例3】若％=出一2，x=2-百，贝口，y满足（）

\•x>yB・x2yC•x<yD・x=y

【例4】若工<工<0，则下列不等式中，

ab

Q）a+b<ab②|。|>|万|③a<b®—+—>2

ab

正确的不等式有:♦（写出所有正确不等式的序号）

【例5】已知G/ER，那么是“a?〉/”的（

A•充分非必要条件B-必要非充分条件

C•充分必要条件D­既非充分又非必要条件

【例6】若〃<。<0，则下列不等式中正确的是（)

A-->-B•\a\>\b\C--+->2D,a+b>ab

ab1111ab

【例7】比较下列代数式的大小：

（1）/+3%与%一2；

（2）f+i与犬+%2.

【例8】比较下列代数式的大小：

⑴x4-x3y与xy3-y";

⑵y/x-^/y与l]x-y（其中移>0，且x>y）

（3）Gy，与xR（其中尤>0,y>0,xwy）・

【例9】a、b、c、d均为正实数，且a>b，将2、—、"十°与"十”按从小到大的

aba+cb+d

顺序进行排列-

【例101比较大小：log”@、log*与log6。（其中Q2>b>Q>l）

b

【例11】已知。、b、c、d均为实数，且仍>0，则下列各式恒成立的是（

ab

.,,7cabRab

A-bc<adB,bc>adC,—>—D,—<—

cdcd

【例12]当〃>Z?>c时，下列不等式恒成立的是（

A-ab>acBea\c\>b\c\C,\ab\>\bc\D♦（a-b）\c-b\>0

c/7

【例13】已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0»------->0（其中Q、b、c、"均为实

ab

数）・用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，

可组成的正确命题的个数是（）

A-0B-1C-2D-3

【例14］（1）已知•a>b,—>—‘求证：a>0,b<0,

ab

（2）若a>b>0，c>d>0，求证：@<£♦

ab

【例15】设aeR,则a>l是,<1的（）

a

A•充分但不必要条件B-必要但不充分条件

C•充要条件D•既不充分也不必要条件

【例16］如果。<0">0，那么，下列不等式中正确的是（）

A--<-B-G<4bC-a2<b2D•\a\>\b\

ab

【例17】设凡bcR，若a-|b|>0，则下列不等式中正确的是()

A-b-a>0B-a3+b3<0C,a2-b2<0D-b+a>0

【例18］若工<工<0，则下列结论不正确的是()

ab

A,a2<b2B-ab<b2C,—+—>2D•\a\+\b\>\a+b\

ab

【例19］若a<b<0，则下列结论中正确的命题是（）

A，和看均不能成立

B,—二〉工和^~^>工均不能成立

a-baIa\\b\

C,不等式---->—和j>（b-\］均不能成立

a-ba\bJ\aJ

D■不等式均不能成立

【例201，则下列结论中不正确的是()

ab

A-logab>loghaB•|logaZ?+log^|>2

2

C•(logba)<1D-\\ogab\+\\ogha\>\\ogab+\ogha\

【例21】设a,bwR»且Z?(a+5+l)<0»b(^a+b-l^<0»贝U(

A-tz>1B-a<-lC--l<a<lD­\a\>l

【例22】判断下列各命题的真假，并说明理由-

(1)^ac2>be2»贝(2)若，贝”工〈工.

ab

(3)^a>b,c>d»贝iJ〃一c>Z?-d.(4)^tz>Z?,meN+»贝1Ja">6".

【例23］已知一!<“<0，试将下列各数按大小顺序排列：A=l+a?>B=l-a2，C=」一，

21+«

D=^—■

1-a

【例24】实数a、b>c满足条件：①a<b,c<d；②(6z-c)(Z?-c)>0；

③v0，贝U有()

A•a<c<d<bB•c<a<b<d

C<a<c<b<d

【例25】已知实数〃、人满足等式

①0<Z?<a②a<b<0(§)0<a<b@b<a<0⑤a=b

其中不可能成立的关系式有()

A・1个B・2个C・3个D・4个

【例26】设/(%)=1+log》3»g(x)=21ogx2，其中%>0且•试比较/(%)与g(x)的大

小.

J

【例27】若Q=log23Z?=log32»c=log12»d=log2-，则〃力,c,d的大小关系是([

一53

A•a<b<c<dB,d<b<c<aC,d<c<b<aD,c<d<a<b

【例28]>-<-<0，贝4下列不等式①a+b<"②③④？+呸>2中，正确

abab

的不等式有（）

A・1个B・2个C・3个D・4个

[例29]设〃、b>c、d、m、〃均为正实数，P=y/ab，Q=y/ma+nc-.——F—，

ymn

那么（）

A•尸B-PWQ

C-P<QD•P、。间大小关系不确定，而与小、〃的大小有关

【例30】设〃、匕为非零实数，造a<b，则下列各式成立的是（）

A-a2<b2B-ab2<a2bC•」<，-D--<-

ababab

【例31】设。"，。是互不相等的正数，则下列等式中不但成主的是（）

A,\a-b\^]a-c\+\b-c\B-a2+—

C,|a—b\H——--22D・，a+3-，〃+lWJa+2-/

a-b

【例32]-a,b>0^a^b"是的()

2

A,充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C•充要条件D•既不充分也不必要条件

【例33】，匕，0，且a+b=2，贝U()

A-ab^-B.ab^-C-a2+b2^2D-a2+b2W3

22

【例34]若直线2十2=1通过点Af(cosa,sin。)，贝U()

ab

A•42+/W1B-a2+b2

C--4+4^iD--4+4^i

a2b2crb2

【例35】设实数。、匕满足Ova<b，且Q+b=l，则下列四数中最大的是（）

A--B-a2+b2C-labD-a

2

【例36】正实数〃、b、c满足a+d=b+c»<|Z?-c|»贝U(

A,ad=bcB-ad<beC,ad>beD-4d与be大小不定

【例37］已知，则，3。）与的大小关系是

【例38】已知实数犬、y、z满足条件x+y+z=0，xyz>0，设T=—+—+>，则（

xyz

A-T>0B-T=0C•T<0D•以上都可能

【例39]若，以下不等式恒成立的是(

a+lb+\

A.”>b^B・Q丁>优防

C•〃+l]g.>&]g6D•^-^-\ga<y[b\ga

【例40]若0v4v4，。v4v2，且4+%="i+29，贝U下列代数式中值最大的是

()

A,+a2b2B,axa2+bxb2C,axb2+a2b{D•—

【例41】已知函数f（x）=|lgx|，若0<〃<b，且/（a）="力，贝股+2〃的取值围是（）

A.(2应，+oo)B•[2忆+oo)C・(3,+00)D-[3,+oo)

|lgx\,0<x<10,

【例42】已知函数/（x）=<若〃，b»c互不相等，且/(〃)=/(»=/(c)

—x+6,x>10

12

则abc的取值围是

A-(1,10)B-(5,6)C­(11,12)D・(20,24)

【例43］若一l<a<2，-2<b<\>贝的取值围是

【例44】已知①一lWa+bWl；②，求：3。一6的取值围•

【例45］已知一3<。<一2<6<-1，求。+瓦。一61一2°,“6,9各自的取值围•

b

【例46】已知集合。=｛（玉,X2）1%>0，无2>°，％+%2="（其中女为正常数）.

⑴设"=兀逮2'求M的取值围；

⑵求证：当上》1时不等式（工一

对任意（%,9）£。恒成

Ui

立；

⑶求使不等式对任意（石，％2）£。恒成立的产的

围.

Fl

4

【例47】若%>0，贝"y=%+—的最小值是.

x

【例48】设a>Z?>c>0»贝U2/+J-+-------10〃。+25,的最小值是(

aba(a-b)

A-2B•4C・2君D-5

4i

【例49】若A,B,。为△ABC的三个角，贝U—+-------的最小值为

AB+C---------------

【例50】设Q>0,8>0,〃+。+或=24»则（）

A-a+b有最大值8B-。+匕有最小值8

C,仍有最大值8D,有最小值8

【例51】已知：。、beR+（其中R+表示正实数），

a2+加2(/+Q。+6)2

求证：仔e

a+b3(。+b)i~~r

-+-

ab

【例52】ij.a,b,c>0,求证：a3+b3+c33abc,当且仅当。=b=c时等号成立,

进一步证明：J"+"、W痴——|——-’当且仅当。=6=。时

V331+1+1

abc

各等号成立•

【例53］经过长期观测得到：在交通繁忙的时段，某公路段汽车的车流量y（千辆/小

时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：

920v/八、

y=-；---------------（v>0）•

v2+3v+1600

⑴在该时段，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精

确到0.1千辆/小时）

⑵若要求在该时段车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么围？

【例54】某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万

元，年维修费第一年是02万元，以后逐年递增0.2万元♦问这种汽车使用多少

年报废最合算？（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）

【例55］如图，要设计一矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中

阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之

间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能

使矩形广告面积最小？

【例56］如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀

箱•污水从A孔流入，经沉淀后从3孔流出•设箱体长度为a米，高度为方

米•已知流出的水中,杂质的质量分数与a,b的乘积仍成反比•现有制箱材料

60平方米，问当。力各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最

小（A,8孔的面积忽略不计）

【例57】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cM，画面的宽与高的比为力>1<1），画

面的上下各留8aw的空白，左右各留5所的空白，问怎样确定画面的高与宽的

"23~

尺寸，能使宣传画所用纸面积最小？如果j,-，那么力为何值时，能使

宣传画所用纸面积最小？

【例58】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位：加）

的矩形•上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问分别为

多少（精确到0.01m）时用料最省？

【例59】某村计划建造一个室面积为800nv的矩形蔬菜温室♦在温室，沿左♦右两侧与

后侧墙各保留1加宽的通道，沿前侧墙保留3根宽的空地♦当矩形温室的边长

各为多少时？蔬菜的种植面积最大•最大种植面积是多少？

【例60】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定

污物质量

义为：1-恤建:、黄一.、)为0-8'要求清洗完后的清洁度为。§9•有两种

物体质量(含万物)

方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗•该物体初次清洗

后受残留水等因素影响，其质量变为a(lWoW3)•设用x单位质量的水初次清

%+0.8

洗后的清洁度是，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

x+1

，其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度•

y+a

⑴分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较

少；

⑵若采用方案乙，当。=1.4时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用

水量最小？

【例61］按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为。元，如果他卖出该

yn

产品的单价为根元，则他的满意度为-----；如果他买进该产品的单价为“元，

m+a

则他的满意度为'•如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为

n+a

九和丹，则他对这两种交易的综合满意度为扬瓦•

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种

产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，

甲买进A与卖出5的综合满意度为幅，乙卖出A与买进3的综合满意度为/i乙；

,、3

⑴求偏和〃乙关于%、mB的表达式；当%=二外时，求证：愠=电；

3

⑵设帆二二帆§，当初A、啊分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最

大的综合满意度为多少？

⑶记⑵中最大的综合满意度为力，试问能否适当选取％、%的值，使得偏2%

和心同时成立，但等号不同时成立？试说明理由-

4

【例62］若x>0，则2+3%+—的最小值是-

x

【例63】设〃、Z?GR，贝Ua+b=3，贝"2"+2”的最小值是

【例64］若〃、Z?eR+»且a+b=l，则。。的最大值是•

【例65】已知不等式(x+y)29对任意正实数％,y恒成立，则正实数〃的最小值

为（）

A,8B,6C,4D,2

【例661当％=___时,函数y=必(2一有最值,其值是

【例67】正数。、〃满足@=9‘贝+’的最小值是_______,

bb

【例68］若尤、y^R*且％+4y=l，则九的最大值是,

【例69】设，x2+^—=\，则x"l+y2的最大值为•

【例70】已知x>0,y〉0'x+y=\?贝U［1+!［［1+工］的最小值为

【例71］设〃>b>0，那么"+—1—的最小值为（）

b（a-b）

A-2B-3C-4D-5

【例72】设£+y2=1,则0-孙）（1+孙）的最大值是最小值

23

【例73］已知一+—=2（x〉0,y〉o），贝1J召的最小值是,

%y

【例74】已知％2+,2=〃,疗+〃2=匕,其中羽y,乙九>。,且。Wb，求如+肛;的最大值♦

【例75］a>0,b>0,a+b=4,求［Q+工［+［/?+：）的最小值.

【例76】设尤，y9z为正实数,满足x—2y+3z=0，则匕的最小值是

xz

【例77】已知I、ywR+，且2x+5y=20，当％=，y=时，个有最大值

为・

【例78］若。、Z?eR+»且a+b=l，贝寸。匕的最大值是，此时a=

b=•

【例79］求函数y的最小值•

Vx2+9

【例80】将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块

（梯形的周长）2

是梯形，记s=则S的最小值是

梯形的面积

【例81】设实数无，y满足3W孙2^8，4W±W9，则力的最大值是

yy

1

【例82】求函数y=6+的最小值•

yfx+3

【例83】求函数/（尤）=炉+尤+1+1+±的最小值・

XX

4

【例84】已知x23，求丁=%+—的最小值,

x

Y2-L5

【例85］求函数y=/-------的最小值,

W+4

【例86】函数f(x)=9x+9X-2(3X+3一、)的最小值为()

A-1B・2C--3D・-2

4

【例87]⑴求函数y=一的最小值，并求出取得最小值时的犬值-

X+1

⑵求片铝的最大值.

【例88]⑴求函数y”+彳+1(x>-lXa>0)的最小值•

X+1

3

(2)求函数y=l—2%——的取值围-

x

【例89]⑴求函数y=f(2-尤2)的最大值.

f+4

⑵求y=—/的最小值•

2+1

X2+10

(3)求函数y=----的最值•

觉+9

【例90](1)已知％<*，求函数y=l—4xd的最小值•

45-4x

3

(2)求函数y=l—2x——的取值围-

x

⑶求函数y=£(2-炉)的最大值•

【例91]⑴已知a,b是正常数'a于b»x,yG(0,+oo)，求证：—+—+,指出

xyx+y

等号成立的条件；

291

(2)利用⑴的结论求函数/(%)=—H------(XG(0,—))的最小值，指出取最小值时

xl-2x2

%的值•

1313

【例92】分别求^(x)=x2-3x+—+——2(x>0)和f(x)=x2+3x+—+——2(X>0)的最小

XXXX

值.

【例93］求函数y=---------的最小值•

x+1

【例94】函数"％）=、的最大值为（

A'iB4C-TDT

【例95】设函数，（无）=2尤+工一1（尤＜0），则/（x）（）

X

A,有最大值B,有最小值C•是增函数D,是减函数

【例96】设S=V+,2-2（%+,），其中％，y满足log2%+log2y=1，贝US的最小值

为________

设。>0,6>0，若有是3"与3"的等比中项，则工+、的最小值为（）

【例97】

ab

A,8B,4C,1D,—

4

3

【例98】已知：x>0，求4/+—的最小值•

x

149

【例99】已知：x,y,z>O,x+y+z=l'求一+一+一的最小值•

xyz

【例100】已知〃、b、cwR+且〃+Z?+c=l，求，4a+l+，4Z?+l+，4c+l的最大值•

【例101]求y=|1+—1+--—|的最小值(0<〃

Vsina八COS6Z)\2

【例102]若〃>0）〉0，且a+b=2，求。2+6的最小值.

【例103】已女□〃>(),/?>0‘a+b=l，求证：a+—+p+—<2•

2A2

【例104】已知给定正数〃，力和未知数％，y，且x〉0，y>0'满足Q+8=10，

nh

—+—=1，x+y的最小值为18，求〃,分的值•

xy

【例105】若a,6eR+，^.ab=l+a+b，分别求a+方守口的最小值•

若。是1+26与1-2匕的等比中项，则t的最大值为（

【例106】

小2例

%?+y?—2%—2y+1，0

【例107】设。为坐标原点，A（l,l），若点B满足1WXW2

IWyW2

则。4・03的最小值为（）

A♦应B-2C•3D-2+0

x21

【例108】已知变量％,y满足<户2贝Ux+y的最小值为（

x-yW0

A,2B3C-4D•5

<x-y-l^0,

【例109】不等式组O'—2y-6W0所表示的平面区域的面积等于

【例110】设变量％,y满足约束条件，“+'[3，则目标函数z=y+2%的最小值为

[x-

)

A-1B-2C-3D-4

y^o,

■lx-y-l^O

设变量工，y满足9无一2，—6w°,则该不等式组所表示的平面区域的面积

【例111】

■，z=x+y的最大值为•

x+y-3W0

【例112】目标函数z=2x+y在约束条件,2x-y20下取得的最大值是

y20

|y<%+4

【例113】下面四个点中，在平面区域1的点是（）

A•(0,0)B-(0,2)C-(-3,2)D-(-2,0)

yW—|x|+1

【例114】已知平面区域。=<(%,y)<y20>,y)向区域

y20

XW1

。随机投一点P，点P落在区域M的概率为（

A4B4c4D-t

x+y20

【例115】若xy满足约束条件,x-y+3N0，贝Uz=2/的最大值

为_____________

yWx

【例116】已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x,y）在所给平

xWa

面区域,则z=2x+y的最大值为•

【例117】设兀，yGR，且满足尤-y+2=0，贝UJf+y'的最小值为；若光,,

又满足y>4-x，则上的取值围是

X

【例118】关于工的不等式必—2QX+Q>0的解集为R”是的(

A•充分非必要条件B♦必要非充分条件

C•充分必要条件D,既非充分又非必要条件

x+yW1

【例119】已知不等式组<x-y2-1表示的平面区域为M，若直线,=丘-3左与平面

y20

区域M有公共点，则上的取值围是()

A---,0B•|-oo,-C•(0,-D-I-oo,--

L3」(3」(3「I3」

'0(xW2

【例120】已知不等式组1x+y-2N0所表示的平面区域的面积为4,则上的值为

kx-y+220

()

A-1B--3C・L或一3D・0

(3-W7

【例⑵】已知函数/(x)=,若数列｛%｝满足4=/(〃)(〃£N*)，且

ax~6,x>7

{an}是递增数列>则实数°的取值围是（）

无2+y~—2x-2y+120

【例122】设。为坐标原点，A（l,l），若点3满足

lWyW2

则。108的最小值为（）

A•应B-2C•3D-2+72

X21

【例123】已知变量x,y满足,yW2，则x+y的最小值为（

X—yW0

A-2B•3C-4D-5

0,

<x-y-1^0,

【例124】不等式组1以―2y-6W0所表示的平面区域的面积等于

【例125】设变量％,y满足约束条件，则目标函数z=y+2x的最小值为

[x-y三

()

A,1B,2C,3D•4

【例126】a，b，c是三角形的三边，m>0.求证：--——|——-—>—-—

a+mb+mc+m

【例127]已知〃>Z?>c»求证一-——I——-—>—-—

a-bb-ca-c

ii4

【例128]已知〃»求证：-----1-------N-------

a—bb-ca—c

【例129】已知a〉0'Z?>0'且a+b=l•求证：ftz+—+•

【例130]若a、b、ceR+,且a+Z?+c=l,求证：（工一N8•

【例131】设〃,6,ceR+，求证：(a+Z?+c)d+—一)N4-

ab+c

/A2〃

【例132】已知Q,"c$R+»求证：----1----1---Na+b+c•

bca

【例133】已知x,y,z£R+，且x+y+z=l，求证：6+6+册0超,

【例134】若半径为1的圆接AA8C的面积是L，三边长分别为。"，c，求证：

4

(l)abc=l；(2)s/a+\[b+4c—+—+—•

abc

【例135】已知。、b、。是互不相等的正数，

求证:a(b2+c2)+匕(a?+/)+。(4+人2)>6abe•

【例136】已知。也c是一个三角形的三边之长，

上、.^a+b+c〜a+b+c~a+Z?+c八、c

求证：q--------------1)(-----------1)(--------------1)^8•

b+c—ac+a—ba+b—c

【例137】若。、b、ceR+>3-a+b+c=\>求证：I-T8-

【例138】(1)已知a,A,c£R5求证：a2+b2+c2ab+be+ca

(2)若a>0,Z?>0'且a+Z?=l,求证：—+—4•

ab

【例139]设了»y，z均为正数，求证：-^x2+xy+y2++yz+z2>vz2+zx+x2.

【例140】已知a，b，0均为正数，求证：J/+尸+/日+°2+Jc2+/Nj5(a+6+c).

【例141】已知锐角AABC的三边长分别为a，b，c，且。边上的高为〃，求证：

6+cN+4/

【例142】设〃、b、c是正实数，且满足abc=l证明

+小T++一

【例143】证明下列不等式：

⑴若％,ZE，a,b,CG（为正实数），则

y,RR+R+

b+c2c+a2a+b?、

----xH--------yH--------z2（xy+yz+zx）•

abc

⑵若九，y，zGR+（R+为正实数），且x+y+z=xyz»则

「上+士名2性+」+』.

%yzI%»

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【例144】设a+〃〉0，求证•logj((2+Z?)—log1(a+1)+—log1(b+1)•

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