变量与函数教学设计

14.1.2变量与函数教学设计

教学目标

（一）知识与能力

i.通过回顾与思考，探究认识变量中的自变量与函数.

2.体会生活中蕴涵的函数关系，会确定函数关系式及自变量取值范围.

（-）过程与方法

3.经历回顾思考过程，理解反映变量之间关系的实例，提高归纳总结概括

能力，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

4.通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会

函数的不同表达方式.

（三）情感态度与价值观

5.培养学生参与数学活动的积极性和良好的学习态度，形成合作探究意

识及独立思考的习惯.

6.让学生体会到数学来源于生活，服务于生活，增强学生学习数学的热

情.

教学重点

理解函数概念，会确定函数关系式及自变量的取值范围.

教学难点

函数概念的归纳与理解.

教学方法

回顾思考一探究交流一归纳总结.

教具准备

ppt课件.

教学过程

活动一

教师活动：运用课件设置问题情境，引导学生进行自主探究，回顾上节

课所研究的问题，完成学案自主探究问题1和2.

自主探窕：

1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行使时间为，

小时，行驶里程S与行驶时间f之间的关系式是S=,当/=1时,S=;

当f=2时，s=；当，=5时，s=.

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧

伸长0.5cm,设重物质量为/“kg,受力后的弹簧长度为/cm,用含有加的式子

表示I为,当=1时，/=；当〃，=2时，/=；当m=10

时，1=.

学生活动：独立完成以上两题后学生自己订正.

师生互动：教师引领，师生共同归纳总结这两个问题中变量的共同特点，

完成学案探究收获：

在上面两个问题中，每个问题都有一个变量，当其中一个变量取定一个

值时，另一个变量就.

教师活动：教师要规范学生的语言描述，强调两个变量是一一对应的。

在此基础上，

运用课件出示观察思考，引导学生认识生活中用图和表格描述的变化问题.

观察思考：

1.下面是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y

表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，对于X的每一个确定的值，

2.下面的我国世博会入园人数统计表中，月份与入园人数可以记作两个

变量x与夕，对于表中每一个确定的月份(x),都对应着一个确定的入园人数

(j)吗？

2010中国世博会入园人数统计表

月份(X)入园人数(y)

5月803万

6月1309万

7月1378万

8月1245万

9月1024万

学生活动：学生先自主探究，分组讨论，自己经历操作、分析、推理、

确认等一系列过程，寻找以上问题的共同特点.

师生活动：教师适时引导，对学生的观察、推广、辨析等结果进行适时

评价，在此基础上，让学生结合课本97页内容，完成知识驿站，明确函数概念：

在一个变化过程中，如果有两个变量x与口并且对于x的每一个确定的

值，J都

有与其相对应,那么我们就说x是号是x的,

如果

当X=4时夕=从那么叫做当自变量的值为4时的函数值.

教师活动：引导学生掌握函数概念的关键，辨析函数与函数值的区别，

强调两个变量之间的一一对应关系。

设计意图：函数概念本身是抽象的，学习过程也是比较枯燥的，为了提

高学生学习兴趣，特别将课本中的人口数统计表换成世博会入园人数统计表。这

个环节中，学生既有独立思考机会，又有分组讨论和互相补充的时间，可以培养

学生的自主学习和合作意识，同时将数与形有机结合，让学生初步体会“数形结

合”的数学思想及数学与现实生活之间的联系.

活动二

教师活动：运用课件出示尝试应用3个问题，要求学生运用探究得到的

知识，完成下面题目：

1.下列式子中，y是x的函数的是,y不是x的函数的是.

(1)y=-x-3(2)y=±4x(3)y=—!—(4)y=y/x-l

x+l

2.下列图象反映了j，与x的对应关系，其中y不是x的函数的是().

（B）（C）（D）

3.某体育爱好者统计了我国历届奥运会金牌数，绘制了金牌数y（枚）与

届数*（届）的关系图，根据图象，回答

下列问题：W做）

29X（届）

（1）根据图象填表:

届数X23242526272829

（届）（1984年）（1988年）（1992年）（1996年）（2000年）（2004年）（2008年）

金牌数7

（枚）

（2）当x取23到29之间的一个确定值时，相应的金牌数确定吗？

（3）金牌数y是届数x的函数吗？

学生活动：先试着独立完成，遇到困难可以采用小组讨论的方式解决。

师生互动：教师参与讨论，引导学生正确寻找答案.在订正问题答案时，

教师要求学生解释确立答案的理由，从中关注学生能否正确应用函数概念，辨析

用图像描述的变化问题是否存在函数关系.引导学生进一步领会函数意义.并结

合第三题，对学生进行爱国主义教育，激励学生好好学习.

设计意图：让学生在经过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列

过程后，进一步掌握辨析不同的变化问题中是否存在函数关系的办法，更加深刻

理解函数意义，同时初步体会函数的三种表达形式.

活动三

教师活动：利用课件出示拓展提高问题.

1.指出下列函数关系式中自变量X的取值范围：

(1)j=2x-1(2)j,=—(3)y=Vx-1

x

2.一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的剩余油

量供单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.IL/km.

(1)写出表示夕与x的函数解析式.

(2)指出自变量x的取值范围.

(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？

学生活动：学生先试着独立完成，遇到困难后进行小组讨论.第一题由

学生口答，并归纳要注意的地方。第二题一生板演，规范解题步骤。学生有不同

意见可以去黑板板演。

师生互动：在集体订正时，要求学生从不同的角度说明是如何确定自变

量的取值范围的，教师还要引导学生归纳总结：如何确定函数解析式和实际问题

中自变量的取值范围.

设计意图：让学生掌握确立函数自变量的取值范围方法，明确需要注意

的地方，体会函数与现实生活的联系，同时将数学新旧知识进行融会贯通.

活动四

教师活动：出示成果展示题目，检测学生的学习情况.

一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度〃(cm)随燃

烧的时间t(小时)变化.

(1)指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式，确定自变量的取值

范围.

(2)若剩下的蜡烛长度为10cm,则蜡烛燃烧了多少小时？

学生活动：学生独立完成本题，一生板演解题过程，集体订正.

设计意图：通过解决实际问题，掌握确立函数解析式、确定自变量取值

范围的一般方法，加深学生对函数概念的理解，体会函数意义。

活动五

总结反思：你这节课有什么收获？

设计意图：让学生充分发表自己的意见，然后相互补充，让学生说一说

本节课我有哪些收获，培养学生的归纳总结能力.

活动六

补偿提高

2.下列关系式中，y不是x的函数的是().

(A)[y]=x(B)y=x2(C)j=Vx(D)y=|-

3.某中学的校办工厂现在年产值是15万元,计划今后每年再增加2万元，

年产值y(万元)与年数x的函数关系式是,其中自变量的取值范围是

4.寻找生活中蕴涵的函数关系事例，编一道数学题，指出其中的自变量与

函数，确定函数解析式及自变量的取值范围.

设计意图：教师根据时间情况灵活处理.前三题作为补偿提高的形式出

现，第四题是一道应用题，目的是让学生进一步体会数学与实际的联系.

板书设计

14.1.2函数

函数解析式自变量函数函数

值

s=60rt=2

=120

/=10+05〃

=10.5

14.1.2变量与函数

学情分析

初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力,

记忆能力和想象能力也随着迅速发展。我班的学生求知欲很强，思维

活跃，有较好的接受能力，学生能够较为有条理的思考.但是，他们

也是非常好动的，注意力容易分散，爱发表见解的同时不是很善于倾

听，特别希望得到老师的关注或表扬，所以在教学中应抓住这些特点，

一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终

集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发

挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了《变量与函数》第一

课时的内容，能从实际问题中概况出两个量之间的对应关系，对变量

常量已经有了初步的认识。学生在生活中也具有对两个量之间存在依

存关系的体验，如气温随着时间或者海拔高度的变化而变化等，这为

顺利完成本节课的教学任务打下了基础。但他们毕竟初次接触函数这

样抽象的概念，特别是难以概括出“当一个变量确定一个值时另一个

变量有唯一确定的对应值”这一核心。由于其抽象程度较高，造成对

函数概念的理解产生一定的困难。本节课所教授的内容与学生的生活

之际和以前学习的知识都有较为密切的联系，所以在教授过程中大可

以利用这一特点，让学生体会生活中有关是实例，通过这些例子，促

进学生积极思考，主动探究，并能从中提出问题、分析问题和解决

问题洞时还培养了学生的团队合作精神，提高探索、研究和应用的

能力，使学生真正成为数学学习的主人.

14.1.2变量与函数

效果分析

函数概念本身是抽象的，学习过程也是比较枯燥的，而利用课件

演示世界的运动变化现象让学生初步体会到学习函数的必要，然后再

让学生自己完成学案自主探究前两题，既能检查学生的学习情况，发

现学生存在问题，也能够引发学生的思考.题目不难，学生独立完成，

用时也不多，为函数概念的学习做好铺垫.此后的观察思考题目我有

意识的进行了调整，特别将课本中的人口数统计表换成世博会入园人

数统计表。在具体处理时我先让学生进行小组讨论，然后再根据情况

进行引导.这个环节中，学生既有独立思考机会，又有分组讨论和互

相补充的时间，培养了学生的自主学习和合作意识，同时将数与形有

机结合，让学生初步体会“数形结合”的数学思想及数学与现实生活

之间的联系.

在明确函数的概念之后，学生运用探究得到的知识，解决“尝试

应用”部分的题目，从解析式和图像两方面进一步加深对函数概念的

理解——对于自变量的每一个确定的值，另一个变量有唯一确定的对

应值.还要反复加深对函数概念的理解，第一题和第三题学生能较容

易得出正确答案，但是第二题图象问题是学生感觉比较困难的，学生

无法判断出正确结果，在处理时我让部分掌握比较好的学生详细的讲

解，同时利用多媒体课件展示两个变量之间的对应关系，再引导学生

归纳总结，让学生系统的认识函数概念，明确确定函数关系的关键,

初步体会函数的三种表示方法，即解析式法、图像法、列表法.

“拓展提高”中的第一题是训练学生求函数解析式中自变量的取

值范围。“自变量的取值应使函数解析式有意义”这一点学生比较容

易解决，我在学生解决之后还结合具体题目引导学生归纳函数的解析

式有意义的不同情况：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实

数；②函数解析式中自变量在分母中（分式）时，自变量的取值应使

分母不等于0;③函数的解析式中自变量出现在被开方数中（二次根

式）时，自变量的取值应使被开方数大于或等于0.在此基础上再

要求学生完成拓展提高的第二题，从而让学生体会如何解决蕴含函数

关系的实际问题.在本环节中，通过列函数解析式、确定自变量的取

值范围、求函数值等问题，让学生掌握解决具体函数问题的办法，为

后面的学习积累感性认识.

“综合运用”题目是前面例题的延伸，目的是在训练新学知识的

同时，也将前面所学的不等式、方程等内容联系起来，以新代旧，达

到了让学生将数学知识系统化的效果.

最后让学生自己总结本节课我们学习了哪些知识，你是如何学得

新知识的，你又有什么收获.启发学生的思考、归纳总结所学知识,

培养学生的归纳总结与自我反思能力，让学生更加明确本节课的知识

点.

总之，我根据学生的认知基础，创设一定条件下的现实情景，使

学生从中感受到变量与函数的存在和意义，体会变量与函数之间的相

互依存关系和变化规律，符合学生的认知规律。在具体操作中，以教

师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究新知。让学生领悟

到现实生活中存在的多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题，分析

问题和解决问题，并培养学生合作意识，探究和应用的能力，取得了

良好的教学效果。

14.1.2变量与函数

教材分析

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，而数量

关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界是运动变化的，函

数正是研究运动变化的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间

的对应关系，在当今数学的各个领域都扮演者极为重要的角色。

《变量与函数》是人教版八年级下册第十四章《一次函数》的

第二课时，主要知识是理解函数概念和确立函数自变量的取值范

围.函数概念的出现是客观实际的需要，它是以变化对应的思想为基

础的数学概念，也是中学数学的核心概念，学习函数概念不能只注重

背记定义，更要关注它的实质，要使学生理解函数是反应运动变化与

联系对应的内涵，知道在变量之间存在单值对应关系的本质。同时函

数的学习对学生思维能力的发展具有重要意义，它要求学生进行数形

结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换；因此，函数

概念的学习是初中阶段数学学习的一个重要内容。

本节课内容首先从实际问题入手，引导学生用一个变量表示另一

个变量，学会区别它们，并归纳总结出这些问题中变量间的共同特点,

再用心电图、表格等问题对变量之间的对应关系进行补充和强化，同

时也为后面的函数的表示法埋下伏笔，在此基础上明确函数概念.函

数概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解

它对于初学者有一定难度，这也是本章的难点.

本课时是在前一课时学习了《变量》的基础上，继续对变量间关

系进行考察研究，本节课内容也是学习正比例函数、一次函数、反比

例函数、二次函数的基础，学好本节知识为过渡到学习本章正比例函

数、一次函数起着铺垫作用，因此，本节在本章中占据重要的地位.函

数是反映变量的一种特殊关系-------单值对应关系的数学模型，通

过函数应用举例，体现数学建模思想、变化与对应的思想，用运动变

化的眼光，以函数为工具，从多角度思考，借助图像、表格和式子等

进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数关系的合理性，

充分体现“数形结合”的数学思想方法，这是本课学习的特点.

14.1.2变量与函数

评测练习

自主探究：教材信息，我来提炼

1.汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行使时间为，

小时，行驶里程s与行驶时间，之间的关系式是s=,当，=1时,s=—；

当r=2时，s=；当，=5时，s=.

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸

长0.5cm,设重物质量为akg,受力后的弹簧长度为/cm,用含有m的式子表示

I为,当〃1=1时，I=；当=2时，/=；当m=10

时，1=.

探究收获：

在上面两个问题中，每个问题都有一个变量，当其中一个变量取定一个

值时，另一个变量就.

观察思考:

1.下面是体检时的心电图，其中图上点的横坐标X表示时间，纵坐标》表

示心脏某部位的生物电流，它们是两个变量，对于X的每一个确定的值，y都

有唯一确定的对应值吗？

0

2.下面的上海世博会入园人数统计表中，月份与入园人数可以记作两个变

量x与y,对于表中每一个确定的月份(x),都对应着一个确定的入园人数(j)

吗？

2010上海世博会入园人数统计表

月份(X)入园人数(y)

5月803万

6月1309万

7月1378万

8月1245万

9月1024万

知识驿站:

在一个变化过程中，如果有两个变量x与并且对于x的每一个确定的

值，丁都

有与其相对应,那么我们就说X是,夕是*的,

如果

当x=a时歹=方，那么叫做当自变量的值为4时的函数值.

尝试应用：我的信息，我来应用

1.下列式子中,y是x的函数的是，丁不是x的函数的是(填

序号).

(1)y=-x-3(2)尸土五(3)y=——(4)y=yjx-\

X+1

2.下列图象反映了y与x的对应关系，其中y不是x的函数的是().

y

（B）（C）（D）

3.某体育爱好者统计了我国历届奥运会

金牌数，绘制了金牌数少(枚)与届数》(届)

的关系图，根据图象，回答下列问题：

(2)根据图象填表:

届数X23242526272829

(届)（1984年）（1988年）（1992年）（1996年）（2000年）（2004年）（2008年）

金牌数y

(枚)

(2)当x取23到29之间的一个确定值时，相应的金牌数确定吗？

(3)金牌数y是届数x的函数吗？

拓展延伸：放飞思维，超越自我

1.指出下列函数关系式中自变量X的取值范围：

(1)y=2x-1；(2)y=—；(3)y=Jx-l.

x

2.一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的剩余油

量y（单位：L）随行驶里程单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.

（1）写出表示＞与x的函数解析式.

（2）指出自变量x的取值范围.

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？

成果展示：我的收获我展示

一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度〃（cm）随

燃烧的时间f（时）变化.

（1）指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式，确定自变量的取值

范围.

（2）若剩下的蜡烛长度为10cm,则蜡烛燃烧了多少小时？

总结反思：我的课堂我反思

本节课我有哪些收获？

补偿提高：我的能力我提高

2.下列关系式中，y不是x的函数的是().

(A)\y\=x(B)y=x2(C)y=4x(D)y=|

3.某中学的校办工厂现在年产值是15万元,计划今后每年再增加2万元,

年产值y(万元)与年数x的函数关系式是，其中自变量x的取值范围

是.

学以致用：我的知识我实践

寻找生活中蕴涵的函数关系事例，编一道数学题,指出其中的自变量与函数,

确定函数解析式及自变量的取值范围.

14.1.2变量与函数