高中数学必修四同步练习第一章 三角函数

第一章三角函数

§1.1任意角和弧度制

班级姓名学号得分

一、选择题

1.若a是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是()

(A)90°-«(B)90°+«(C)3600-a(D)180。十a

2.终边与坐标轴重合的角a的集合是()

(A){a|a=Zr-360°,%£Z}(B){a|a=^180°+90°,k^Z}

(C){a|a=M80°,k^Z}(D){a|a=t90°,k^Z}

3.若角a、/?的终边关于歹轴对称，则a、£的关系一定是(其中E£Z)()

(A)a+fi=7T(B)a-[i=y(C)a-0=Qk+1)TT(D)a+fi=(2k+1)乃

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()

(A)y(B)与(C)；3(D)2

5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是()

(A)g(B)—g(C)J(D)-^

3Joo

*6.已知集合/=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C=｛小于90。的角｝,下列四个命题：

①4=B=C②4uC③CuZ④其中正确的命题个数为()

(A)0个(B)2个(C)3个(D)4个

二.填空题

7.终边落在x轴负半轴的角a的集合为,终边在一、三象限的角平分线上的角夕的集合

是.

8.*mad化为角度应为-------.

9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的

______倍.

*10.若角a是第三象限角，则2角的终边在_________,2a角的终边在_________.

2----------------

三.解答题

11.试写出所有终边在直线y=-gx上的角的集合，并指出上述集合中介于-180°和180°之间的角.

12.已知0。＜。＜360。，且。角的7倍角的终边和6角终边重合，求6.

13.一知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面

积是多少？

*14.如下图，圆周上点/依逆时针方向做匀速圆周运动.已知4点1分钟转过6（0＜。＜兀）角，2分

钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求。.

§1.2.1.任意角的三角函数

班级姓名学号得分

一.选择题

1.函数尸应回+—+配的值域是()

sinx|cosx|tanx

(A){-1,1}(B){-1,1,3}(C){-1,3}(D){1,3}

2.已知角3的终边上有一点P(-4“,3a)(WO)，则2sin升cos©的值是(

(A)j(B)-j(C)(或(D)不确定

3.设/是第三象限角，且卜ing|=-sing,则弓是()

(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角

4.sin2cos3tan4的值()

(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定

5.在△A8C中，若cos/cos庆osC〈0,则是()

(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角或钝角三角形

♦A

6.已知|cosO|=cosO,|tan®|=-tan。,则5的终边在()

(A)第二、四象限(B)第一、三象限

(C)第一、三象限或x轴上(D)第二、四象限或x轴上

二.填空题

7.若sin力cos9>0,则9是第象限的角；

、231313

8.求值：sin(--力)+cos—?rtan47r-cos—Tt=;

9.角。(0<*2%)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则e的值为:

*10.设M=sin火cos4则角0是第象限角.

三.解答题

11.求函数尸lg(2cosx+l)+Jsinx的定义域

13

sin330°tan（-----乃）

12.求：-----------的值.

cos（一~cos690°

13.已知：P(-2,y)是角6终边上一点，且sin%-#,求cos©的值.

14.如果角(0(),利用三角函数线,求证:

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

班级姓名学号得分

一、选择题

.已知且为第二象限角，那么的值等于

1sina=],atana()

4433

(A)|(B)-y(C)!(D)-)

2.已知sinacosa=—，且工工，则cos«—sina的值为()

842

(A)*(B)|(C)-日(D)土等

3.设是第二象限角，则史吧.J-4--1=

()

cosavsina

(A)1(B)tan2a(C)-tan%(D)-1

4.若tan0=—，"以二匹则sinOcos。的值为()

32

3333

(A)±—(B)—(C)捻①)上去

10ioVioVI0

尸一13sina-cosa1"在口

5.已知一：----------=一Iniltana的值是()

2sma+3cosa5

QQQ

(A)±1(B)|(Q-|(D)无法确定

*2

6.若a是三角形的一个内角，且sina+cosa=±,则三角形为(

3

(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形

二.填空题

7.已知sin0—cos0=—JPJsin30—cos30=_________;

2

8.已知tana=2,贝ij2sin%—3sinacosa—2cos%=________;

9.化简/匕£吧+Jlz*(a为第四象限角)=_________;

V1-cosav1+cosa

*7T1TTjr

10.已知cos(a+—)=-,0<a<—，则sin(a+—)=________.

三.解答题

4-2m

]1.若sinx=-------,cosx=/,乃），求tanx

w+5----------加+5

sin2xsinx+cosx

12.化简:

sinx-cosxtan2x-1

13.求证：tar?。一sin20=tan20-sin20.

*

14.已知:sino=m（|训Wl）,求cosa和tana的值.

§1.3三角函数的诱导公式

班级_______姓名一_________学号_____得分_______

一.选择题

4

1.已知sin(7r+a)=M，且a是第四象限角，则cos(a—2兀)的值是()

333(D)g

(A)--(B)-(Qi-

2.若cosl(X)o=2则tan(-80。)的值为()

(A)-牛^(B)71+^2

(D)-

KKkk

3.在△Z8C中，若最大角的正弦值是立，

则△/时必是()

2

(A)等边三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形

4.已知角a终边上有一点尸(344a)(存0),则sin(450%)的值是()

3

(A)-1(B)-1(c>|(D>4|

5.设4B,C是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是()

小、.4+8.C

(A)cos(4+3尸cos。(B)sin(/+B)=sinC(C)tan(^4-S)=tanC(D)sin-------=sin—

22

6.下列三角函数：①sin(〃?r+士乃)②cos(2wrT)@sin(2/?;zH--)(4)COS[(2/7+1)^--—]

3636

⑤sin[(2〃+l)7r-工](〃&Z)其中函数值与siny的值相同的是()

(A)①②(B)①③④(C)②③⑤(D)①③⑤

二.填空题

_tan(-l50°)-cos(-570°)-cos(-l140°)_

tan(-210°)-sin(-690°)

8.sin2(——x)+sin2(—+x)=_________.

36

9化简Vl-2sinl00cosl0°

’COS100-A/1-COS2170°

10.已知火x尸。sin(7rx+a)+6cos(7rx+”),其中a、0、a、b均为非零常数，且列命题:

/2006)=-—,则7(2007)=,

三.解答题

九

tan(4-a)•s•irr2(a+,)•cos(24-a)

11.化简

cos3(-a-万)•tan(a-2万)

12.设的尸管萼曙嗯吟竽，求储）的值•

2+2cos（乃+。）+cos（2»—。）3

13.已知cosa=-,cos(a+^)=l求cos(2a+S)的值.

14.是否存在角a、4，,y）,££（0,兀），使等式sin（3;r-a）=V^cos（m/）,Gcos（-a尸

-&cos（7r+夕）同时成立？若存在，求出a、夕的值;若不存在，请说明理由.

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质

班级姓名学号得分

一、选择题

1.下列说法只不正确的是()

(A)正弦函数、余弦函数的定义域是R,值域是［-1,1］；

(B)余弦函数当且仅当％=244上62)时，取得最大值1；

(C)余弦函数在［2版+£,2^y］(左GZ)上都是减函数；

(D)余弦函数在［2版-阳2版］(%62)上都是减函数

2.函数/(x)=sinrTsirLr|的值域为()

(A){0}(B)［-1,1］(C)［0,1］(D)[-2,0]

3.若ksi〃46°,b=cos46°,c=cos36°,则a、6、c的大小关系是()

(A)c>a>h(B)a>h>c(C)a>c>b(D)b>c>a

4.对于函数产sin(Tbx),下面说法中正确的是

()

(A)函数是周期为江的奇函数(B)函数是周期为江的偶函数

(C)函数是周期为2%的奇函数(D)函数是周期为2万的偶函数

5.函数尸28w(0姿2万)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是

()

(A)4(B)8(C)27r(D)4乃

*6.为了使函数尸sins(。>0)在区间［0,1］是至少出现50次最大值，则的最小值是()

1071QQ

(A)987r(B)手TT(C)于7T(D)100万

填空题

7.函数值sinl,sin2,sin3,sin4的大小顺序是

8.函数y=cos(sinx)的奇偶性是.

9.函数/(x)=Ig(2sinx+l)+，2cosx-l的定义域是

10.关于x的方程cos^x+sinx-anO有实数解，贝！J实数a的最小值是

三.解答题

11.用“五点法”画出函数尸;sinx+2,xe[0,2句的简图.

12.已知函数尸危）的定义域是[。,1],求函数群品）的定义域.

13.已知函数y（x）=sin（2r+9）为奇函数，求°的值.

14.已知y=a-bcos3x的最大值为g,最小值为-；，求实数。与6的值.

§1.4.2正切函数的性质和图象

班级姓名学号得分

一、选择题

1.函数尸tan(2x+X)的周期是()

6

(A)兀⑻2兀(C)](D)?

2.已知a=tanl，b=tan2,Ean3,则。、b、c的大小关系是()

(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<c<a(D)b<a<c

3.在下列函数中，同时满足(1)在(0,')上递增；(2)以2万为周期；(3)是奇函数的是()

(A)y=\tanx\(B)尸cosx(C)y=tan—X(D)y=­tanx

4.函数月gtan］的定义域是()

7T

(A){x\k7v<x<k7r+—,左£Z}(B){x\4k7t<x<4k7r+,kGZ}

4

(C){X|2ATT<XV2府■+〃,Zr£Z}(D)第一、三象限

5.已知函数产tancwx在(-'()内是单调减函数，则a>的取值范围是()

(A)0<w<1(B)-l<co<0(C)«>1(D)(o<-1

6.如果a、夕右《㈤且tana〈taiM，那么必有()

(A)a<P(B)a>p©a邛若(D)a+吟

二.填空题

7.函数产2tan(。-%)的定义域是，周期是

8.函数尸tanl-Ztanx+B的最小值是:

9.函数y=tan('+?)的递增区间是;

*10.下列关于函数严tan2x的叙述：①直线产a(aGR)与曲线相邻两支交于4B两点,则线段AB

长为乃;②直线尸%/5,伏©Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是(今,0M%GZ),正确的命题

序号为.

三.解答题

11.不通过求值，比较下列各式的大小

/一、./7乃、t./乃、

（1）tan（q）与tan（-半）⑵tan（二-）与tan（—）

610

tanx4-1

12.求函数尸E的值域.

13.求下列函数y=Jtang+g的周期和单调区间

14.已知a、/?£（工,兀）,且tan（7r+a）vtan（2/）,求证：a+p<—.

222

§1.5函数产4sin(cox+(p)的图象

班级姓名学号得分

一、选择题

1.为了得到函数产cos(x+。)，XGR的图象，只需把余弦曲线尸COSX上的所有的点()

(A)向左平移。个单位长度(B)向右平移(个单位长度

(C)向左平移;个单位长度(D)向右平移;个单位长度

2.函数y=5sin(2x+。)的图象关于歹轴对称，则为()

(A)2^-(*eZ)(B)2Z/TT(%£Z)(C)to+-(*ez)(D)n(k^Z)

62

3.函数尸2sin®x+(p),|(p[v]的图象如图所示，贝ij

/八10n_10冗

(A)3=—,(p=-zx(B)CD=—,(p=--

7TTT

(C)co=2,(p=—(D)(o=2,(p=——

66

4.函数y=cosx的图象向左平移生个单位，横坐标缩小到原来的;，纵坐标扩大到原来的3倍，所

得的函数图象解析式为()

(A)>»=3cos(—x+—)(B)>»=3cos(2x+—)(C)j^=3cos(2x+—)(D)y=-cos(—AH-—)

2333326

5.已知函数产Zsin(cox+9)(4>0⑷>0)在同一周期内，当％=限时,％批=2;当尸卷时，，用山=・2.那么函

数的解析式为()

(A)y=2sin(2x+—)(B)y=2sin(-)(C)y=2sin(2x+—)(D)y=2sin(2x-—)

326'63

*6.把函数外)的图象沿着直线x+尸0的方向向右下方平移2血个单位，得到函数产sin3x的图象，

则()

(A)7(x)=sin(3x+6)+2(B)/(x)=sin(3x-6)-2(C)/(x)=sin(3x+2)+2(D)/x尸sin(3x-2)-2

二.填空题

7.函数y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为;

8.函数产cos(与x+?)的最小正周期是;

9.函数y=2sin(2x+工)(x£[・阳0])的单调递减区间是______________;

6

*10.函数j『sin2x的图象向右平移03>0)个单位，得到的图象恰好关于直线尸立对称，则9的最

6

小值是.

三.解答题

11.写出函数尸4sin2x(xeR)的图像可以由函数片co.通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序

不同的变换)

12.已知函数log0.5(2sinx-l),

(1)写出它的值域.

(2)写出函数的单调区间.

(3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数，写出它的最小正周期.

13.已知函数产2sin(gx+5)周期不大于1,求正整数人的最小值.

14.J知M2,拉)是函数产为sin0x+8)(4>0g>0)的图象的最高点，N到相邻最低点的图象曲线

与x轴交于4、B,其中8点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.

§1.6三角函数模型的简单应用

班级姓名学号得分

一、选择题

1.已知//，。是△力8C的三个内角，且sinJ>si曲sinC,则()

(A)A>B>C(B)A<B<C(C)A+B>£(D)B+C>-

22

2.在平面直角坐标系中，已知两点4(cos80°,sin80°)/(cos20°,sin20°),贝岫目的值是()

(A)g(D)l

(B)T(C)T

3.02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小/

正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为仇大正方形的/〉

面积为1,小正方形的面积是，，则sin%-cos?。的值是()一/

(A)1(B)二(C)2_(D)-±

252525

A

4.0、C、8三点在地面同一直线上QC=d从C、。两点测得/点的仰角

分别是。、P(公力)，则/点离地面的高度等于

(A)atanatan夕(B)atanatanP(C)atana(口)

tan«-tan1+tanatan/tancr-tan1+tanatanpC

5.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲

速是乙速的两倍，乙绕池一周为止，若以6表示乙在某时刻旋转角的弧度数，/表示甲、乙两人的直

6.电流强度/(安培)随时间t(秒)变化的函数/=4sin(W+9)的图象如图

所示，则当片二-秒忖的电流强度(

120

(A)0(B)10(C)-10(D)5

二.填空题

7.三角形的内角x满足2cos2x+l=0则角x=;

8.一个扇形的弧长和面积的数值都是5,则这个扇形中心角的度数是:

9.设产友)是某港口水的深度六米)关于时间4小时)的函数,其中0WA24.下表是该港口某一天从0

时至24时记录的时间/与水深y的关系:

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.9X.912.1

经长期观察，函数月⑺的图象可以近似地看成函数/比+Zsin(c〃+9)的图象.则一个能近似表

示表中数据间对应关系的函数是.

10.直径为10c，”的轮子有一长为6cm的弦，P是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则

经过5秒钟后点P经过的弧长是.

三.解答题

11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是

在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4

元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售

价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品小件，且当月能售完，请

估计哪个月盈利最大？并说明理由.

12.•个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点

离地血2米，求风车翼片的一个端点离地面距离〃(米)与时间

《分钟)之间的函数关系式.

13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试I可答下列问题:

(1)证明棒长£(0)=，

5sin<95cos6

(2)当时,作出上述函数的图象(可用计算器或计算机);

(3)由(2)中的图象求乙(阴的最小值;

(4)解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

数学必修（4）同步练习参考答案

§1.1任意角和弧度制

一、CDDCBA

二、7.{x|x=Q360°+1800,4GZ},{x|x="80°+45°#GZ};8.-345°;9.

10.第二或第四象限，第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上

三、11.{a\a=k-360°+120°a=^360°+300°,k^Z]-60°120°

12.由7(9=＞/360°,得0=卜60。(A6Z).,.0=60°,120°,180°,240°,300°

13.V/=20—2r,S=glr=g(20-2r),尸一J+10r=-(r-5)2+25

当半径r=5cm时，扇形的面积最大为25cnf,此时，。='=空心至=2(rad)

尸5

14.A点2分钟转过2仇目兀＜2。＜,兀』4分钟后回到原位，・・・14%2E,

夕=竺?,且二＜。＜之九,/.O=—Ttgic-7C

72477

§1.2.1任意角的三角函数

一、CCDBCD

二、7.一、三；8.0；9.巴或3兀；10,二、四

44

977,

三、ll.[2to,2^,+^)(*GZ)

12「述

3

13...飞沁柒-。，.•.角。终边与单位圆的交点(cos。，sin。)=(±今^,-手)

又；P(-2,y)是角6终边上一点，.\cos0＜O,.,.cos6＞=-175.

14.略.

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

一、BCDBBA

二、7.—;8.0;9.--—;10.逑

16sina3

11.--

12

12严式=sin?”_(sinx+cosx)cos2x_sin2x(sinx+cosx)-(sinx+cosx)-cos2x

sinx-cosxsin2A:-cos2xsin2x-cos2x

=sinx+cosx

13.左边=tan%—sin20=s^n—sin20=sin2^-。=sin2^-‘也"=sin%tan2和右边

cos20cos20cos~6

14.(1)当〃尸0时:a二kn,k^Z,cos^=±1,tan^=0

(2)当|加|二1时，a=k*土,k^Z,cos^=0,tan〃=0不存在

2

(3)当0<///<1时,若a在第一或第四象限,贝ljcos。=J1-m2,tana=--m=；

Vl-w2

若a在第二或第三象限,则cos。=-J1-第,tana

A/1-W2

§1.3三角函数的诱导公式

BBCCBC

7坐8」

二、10ii

三、11.1

1C772cos36+1-cos?9+cos6-3(cos。一1)(2cos20+cos0+2)

12.f(0)=-----------：-------------=COS0-1

2+2cos~6+cos。2cos23+cos0+2

717C1

..AT)=C0ST-1=-T

八332

13.Vcos(a+fJ)=1，二.a+p=2kit,kRZ.：•cos(2a+在尸cos(a+a+丑尸cos(r^a)=-cosa=--.

B

14.由已知条件得：sina=V2sin夕①，百cosa=->/2cos/?@,两式推出sina=±—,因为

所以V或小回代②,注意到蚱(。种均解出片,于是存在啜，片或

a=--,p=-,使两等式同时成立。

46

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质

一、CDADDB

二、7.sin2>sin1>sin3>sin4;8.偶函数；9.2k7r~—<a<2k7c+—,(k^Z);10.-1.

63

三、11.略

12.解sin2x<-,即得：kiv--<a<k7r+—(%£Z)

42266

13.9=左乃(左£Z)

«+1*1=|

14.解::最大值为a+向，最小值为a-\b\：.-/.«=—,Z»=±1

2

§1.4.2正切函数的性质和图象

一、CCACBA.

二、7.(2桁-?,2也+事)伏GZ),2兀；8.2;9.(2版-早，2E+q)/eZ);10.

三、11.(1)>(2)<

12.{ri昨R且羽1};

.7T4、、_

tan(—I—)N0kTT£—+—<k7T+一、kGZ

23232

13.T=-=2n;由V可得1

(0