高中数学应用题复习答案

导I中应用题专题复习

例1.建筑一个容积为48米3,深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为。元，池底每平方米的

造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。

解：容积=底面积X高=48n底面积X3=48n底面另一边长：m=

x

1616

池壁造价=池壁面积X〃=2(3x+3m)xq=6(x+—)a=6(x+—)a

xx

池底造价=底面积X2a=16x2。=32a

16

/.y=6(x+一)«+32a(x>0)

x

例2.有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2,问怎样利用木料,

才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计.

解：如图设X,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=6-7x

6—7x

窗框的高为3x,宽为------

3

6-7%6

即窗框的面积y=3x-1—=-7X2+6X(0<X<_)

配方：y=-7(x-?y+%0<x<2)

77

336

当x一米时，即上框架高为一米、下框架为一米、宽为1米时,光线通过窗框面积最大.

777

3.利润问题：(1)利润=收入-成本(2)利润=单位利润X销售量

例3.将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天

销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？

分析：(1)每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价=10-8=2

(2)以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元(即可看成涨了x次)时，则每出售一个商

品的利润=2+x元,销售量为100-10x个

每个商品的利润y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360

即当x=4时，y有最大宿360

/.当每个商品的单价为14元时，利润最大.

4.与增长率相关的问题：

K要点1增长率为正：原产量X(l+增长的百分率产1x年

增长率为负：原产量X(1-增长的百分率产乜羊

例5.一种产品的年产量原来是。件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p0/0.写出年产量随

经过年数变化的函数关系式.

解：设经过x年后，年产量为y,贝y="(l+p%)x

例9.画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正号/说2个正方形的对

角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：/\

(1)第10个正方形的面积/\

(2)这10个正方形的面积的和/1\>

解：(1)设｛为｝表示各正方形的面积/_\/

G=22=4,。2=(2&)2,。3=42=8/

.•.｛%｝是公比为2的等比数列\lz\/

第10个正方形的面积=4x29=2048(厘米2)

a（\-q）4（i-210）

（2）这10个正方形的面积和S10=_!________=------------=4092（厘米2）

]-g1-2

例10.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下.当它第10次着地时，共

经过了多少米？

解：设球落下的高度依次为0,公,…,00.

“1=100,42=50,43=25，｛飙｝是公比为1的等比数列

2

100[1-（

A。。

则球第10次落下时落下的路程为50=----------p—

1--

2

本球共经过的路程为S=2S,o-100七300（米）

解析几何中的应用题

例16.抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米.当水面下降1米时，水面的宽是多少？

解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2=-2py

依题意知：x=2时，y=-2代入方程得p二l

即抛物线方程为x2=-y,当水面下降1米时，y=-3nx=B

...水面宽为2x=26P3.5（米）

例17.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球

的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，

远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫

星的轨道方程.

解：如图建立坐标系

Va-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810

a+c=|OB|+|OF2|=IF2BI=6371+2384=8755

:.a=7782.5,c=972.5n按=772IS

x2y2

即卫星的轨道方程是：步苏齐+声=1

例18.在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆

炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.

解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t+3秒后听到爆炸声,显设为M

则|MA|=340t,|MB|=340（t+3）=340t+1020

两式相减:|MA|-|MB|=1020（|AB|=1400>1020）

炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线

以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）

A（-700,0）,B（700,0）=c=700

且2a=1020na=510n"=229900

2

X2y

炮弹爆炸的轨迹方程是:-------------------------1(x>0)

260100229900

例19.如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区.P往灾区有两条

道路PA、PB,且PA=110公里，PB=150公里，AB=50公里.为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在

灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近.求出该界线的方程.

解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况:

（1）沿PA线路（2）沿PB线路（3）沿PA、PB线路都相同

故分界线以第（3）种情况划分：即

|PA|+|MA|=|PB|+|MB|=>110+|MA|=150+|MB|

|MAHMB|=40,即知分界线是以A、B为焦点的双曲线

AB=50=2c=50nc=25,2a=40n“=20=>〃=225

若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系

第2页共9页2

X2V2

则分界线方程是：木限去=1(在矩形内的一段)

注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.

练习：

1某森林出现火灾，火势正以每分钟100m?的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火

灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳

务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，

而烧毁一平方米森林损失费为60元.

(1)设派x名消防队员前去救火，用「分钟将火扑灭，试建立f与x的函数关系式；

(2)问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)

与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+J(k为正的常数)，假定车身长为4m,当车速为

2

60(km/h)时，车距为2.66个车身长。

(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

3电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费

(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(MN平行CD)

(1)若通话时间为两小时，按方案A,B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？

5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直

径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。

已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元

(1)设半圆的半径OA=r(米)，试建立塑胶跑道

面积S与r的函数关系S(r)

(2)由于条件限制re[30,40],问当「取何值时,运动场

造价最低？(精确到元)

10某厂家拟在2008年举行促销活动，系调查测算，该产品的年销售蛹圈年促

销费用机万元(机20"弱足x=3-------(%为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1

m+1

万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每

件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的L5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包

括促销费用).

(1)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用，〃万元的函数；

(2)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

13某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B

产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元).

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式;

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资,

才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

16某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促

k

销费用加（机20）万元满足x=3-------（%为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万

m+l

件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件

产品的销售价格定为每件产品年平均成本的L5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括

促销费用）.

（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后,

按以下方案获得相应金额的奖券:

消费金额（元）的

[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)......

范围

获得奖券的金

3060100130......

额（元）

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的商品，则消费

金额为320元，获得的优惠额为：400X0.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率

购买商品得到的优惠额

商品的标价

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

1

（2）对于标价在［500,800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于一的优惠

3

率？

18如图所示，将一矩形花坛ABCO扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM匕D在AN上,

且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）

当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；（3）若

AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积。

19已知某自单厂需要岸期购买盒品配砂该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1.8元/千克，

每次购买配料需支彳撞9236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），

无论重量多少，均按！9元恁支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量,

以每天0.03元/千克文仗

森汴用于配料的保管费用户是多少元？

（1）当9天购买一次配料时,

（2）设该厂金1购,二次配料,嬴该台空这X天中用于配料的总费用J（元）关于X的函数关系式,

并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

20假设A型进口车关税税率在2003年是100%,在2008年是25%,在2003年A型进口车每辆价格为64万

元（其中含32万元关税税款）

（1）己知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低

的影响，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%,B型车价格要逐年等额降低，问每年至

少下降多少万元？

（2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年

按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）中

所述降价后的B型车一辆？（参考数据：1.016*1.093）

参考答案

5x10010

1解:(1),t=5分

50x—100x-2

(2)总损失为y,则尸灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费y=

125tx+100x+60(500+1001).....................................9分

=125-x--^-+100x+30000+60000

x—2x—2

_cLex-2+2_____,C八八八八6000

=11250,--------h100(z冗一2+2)+30000H------

x—2x-2

=31450+100(x-2)+......11分

x—2

>31450+27100x62500=36450.....................................13分

62500

当且仅当100(尤—2)=------，即x=27时，y有最小值36450...........14分

x-2

2.66/-1/

2.⑴因为当u=60时，d=2.66/,所以左二='=0.0006,……4分

6()2/602

Ad=0.0024^+2...........................................6分

⑵设每小时通过的车辆为Q,则。=吧二即。=1000P=1000……12分

"4。。。24八6―00024岸

V

,?0.0024v+9，2卜.0024yx9=0,24

VVV

.八？100012500止口小止八八八~6口口八育口曰上/土12500

・.Q&=，当且仅当0.0024□三,即P=50时，0取最大值.

0.243v3

答：当v=50(km/h)时，大桥每小时通过的车辆最多......16分卜

3设通话x分钟时，方案A,B的通话费分别为fAM,fBW

(1)当x=120时九(x)=116元力(x)=168元

若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费

A

98()<x<500A

九(x)=|3

,J/x)—<3

jA'x+8060<x11>x+18500Vx

110110

当x>500时力(x+1)-%(x)=0.3

方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元

⑶当x>500时力(x)>fB(x)

04x460A(x)<AW

880

60VxW500由f(x)>/(x)得x>___

“"3

综合：通话时间在C880,^)内方案B较优惠。

3

5解：⑴盟胶跑道面积r,

s=「2110000-"2

「(r-8)J+8xx2•4分

2r

80000c/100、

+8加-6440<r<___)------6分

r航

(2)设运动场造价为y

…，80000°.、”/s…800000-s八

y-150x(+8加一64m+30x(1000Q_=___-8加+64m---------10分

rr

=300000.120a22°+8m)-76807r---------------12分

r

-：rG[30,40],函数y是r的减函数

.•.当r=40,运动场造价最低为636510元-----14分

6(1)依题意，y=100(1——)-100(1+_%)；

1050

又售价不能低于成本价，所以100(1-±)-8020.

10

所以y=/(》)=20(10-九)(50+8x),定义域为[0,2].

(2)20(10-x)(50+8x)>10260,化简得：8x2-30x+13<0

131

解得24%《二\所以出取值范围也工<2.

42

10解(1)由题意可知当加=0时，x=l(万件).•.1=3—%即％=2

..................2分

-,_8+16%,—.

.♦.x=3-一—每件产品的销售价格为1・5x(兀)

m+1X.............................5分

2008年的利润y=x[L5x8+16x]一(8+16x+m)=4+8x-根=4+8(3___—)-m

xm+l

=T16+(m+1)]+29(机>0)

〃2+1.................................................8分

1A__

(2)•・・根20时，----+(〃2+1)22=8

7%+1

.,.了4-8+29=21,当且仅当」自一=m+1=m=3(万元)时,)\侬=21(万元)

加+1.......12分

答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元

.......14分

11(I)因为30=atan。所以A43D的面积为tanHOe(0,1^..................................(2分)

设正方形BEFG的边长为I，则由f=艺,得，=-an-,

,DBaatan^

“tan。a2tan20

解得/=-----不则=------.................................................(6分)

l+tan<9(1+tand

“，1八1八crtan20,S、(1+tan

所以S-_a_2tan。-S-d2tan。-,则y---=-1.......................(9分)

'222(1+tanOfS,2tan。

1111

(H)因为tan氏(0,+oo),所以y=(tan外+2)-1=(tan8)>1..................(13分)

2tan。2tan0

当且仅当tana1时取等号，此时BE4.所以当BE长为“时，y有最小值i..........................(15分)

13(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元

由题设f(x)=k\x,g(x)=

1155

由图知f(l)=，故k产又g(4)=,；.&=

446224

从而/(幻=_小20)，8(%)=三五(龙之0)-------------------------------------------7分

44

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元

y=/(x)+g(10-X)_J10-x(0<x<10)

44

令"JlO—x则y=10—厂+」=_J("Wy+竺(0wr<io)

444216

当"乙时,〉=Q，此时x=3.75

2-ma*16

65

答：当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为—万元—15分

16

16(1)由题意可知，当m=0时，x=1,，1=3-攵即女=2,

28+16x

・・.x=3-——，每件产品的销售价格为l.5x---------元.

777+1,X

8+16光

2009年的利润y=x[1.5x---------]一(8+16x+机)

X

216

=4+8%一机=4+8(3---------)-m=-[-------F(m+1)]+29(加>0).......8分

m+1m+1

(2):机20时，-^-+(/«+!)>2跖=8.

m+1

y4-8+29=21,当且仅当"_=m+1,即〃?=3时，ymax=2L......................15分

777+1

答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.

17(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客的消费金额为：

1000x0.8=800(元)

获得奖券的金额为130元，得到的优惠率是

1000x0.2+130-o/

---------------------=33/O

1000

(2)设商品的标价为x元，则500800,顾客消费金额(元)

满足40040.8方〈640.当400<0.&<:<500.0寸，获得奖券的金额为60元；

当50040.8x4640时，获得奖券的金额为100元，由已知得

(0.2x+60、lf0.2x+1001

--------->---------->-

⑴《x3或⑵《x-3

[400<0.8x<500;[500<0.8x<640.

不等式(1)无解；不等式(2)的解为6254x4750,因此，当顾客购买标价在[625,750]元内的

1

商品，可得到不小于§的优惠率。

18(1)设AN=x米，(x〉2),则加=尤一2

..ND_AN

'~DC~~AM

x-2x

3r

・•・AM=2分

x-2

3x

------>x>32

x-2

3x2—32x+64>0...4分

/.(3x-8)(x-8)>0

.•.或x>8...5分

。3x23(X-2)2+12(x-2)+12八

(2)SAMPN==3--—―--……7分

x-2x-2

=3(-2)+12=3—2)+'+12

x—2x—2

>2^6+12=24

此时x=4...10分

12

(3)VSAMPN=3(x-2)+---+12(x26)

I?12

令x-2=，«»4),/⑺=3r「+i2...11分