高中数学人教版（A版）选择性必修 第三册(2019)-新课标数学资料 公开课教案课件教学设计资料

8.1成对数据的统计相关性（2课时）

一、内容和内容解析

1.内容

本节课选自人教版《普通高中数学教科书数学》选择性必修第三

册P93页"成对数据的统计相关性”，通过研究成对样本数据，按照

“先定性，后定量”的逻辑顺序，研究两个变量之间的统计相关性。

2.内容解析

在必修课程中，学习了关于单个变量的观察数据的直观表示和统

计特征的刻画等知识与方法，但是在现实中，还需要了解两个或两个

以上变量之间的关系.通过成对样本数据研究两个变量之间的相关关

系按照先直观描述后定量刻画的原则.先学习通过散点图的分布规律

直观推断两个变量的相关关系，借助散点图判断两个变量是否具有相

关性，若具有相关性时，观察一个变量的值增加，另一个变量的相应

值是增加的还是减少的，即能够分辨两个变量之间是正相关还是负相

关，再观察当散点散落在一条直线附近时两个变量成线性相关.最后

通过样本相关系数定量得刻画两个变量相关相关性的程度.通过详细

呈现样本相关系数的构建过程，能够使学生更好的理解样本相关系数

的统计含义.主要蕴含了统计中以样本估计总体的思想.

通过必修中的学习，学生已具备了对单变量的统计描述、统计推

断能力，已经初步建立了用样本估计总体的思想，同时具有一定的数

据分析能力，能读懂一些简单的统计图表，为后面学习如何通过成对

样数据的散点图得到两变量之间的相关性奠定了基础.学生已经学习

了函数、三角函数和向量，熟悉一元线性函数的图像、三角函数的夹

角以及向量的数量积，为后续将样本相关系数改成n维向量的数量积

的学习做了知识的铺垫.最后，学生已完成一定难度的信息技术的课

程，具有一定的编程的能力，经过老师的示范和指导，能够理解并快

速上手一些简单的统计软件的操作.

3.教学重点

理解成对样本数据的相关关系概念，了解相关关系与因果关系的

不同.通过散点图对成对样本数据的进行定性分析.理解样本相关系

数的相关概念，了解样本相关系数的统计含义.

二、目标与目标解析

1.目标

(1)理解相关关系的统计含义，了解相关关系与因果关系的不

同，会通过散点图比较多组成对数据的相关关系.

(2)结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关

系数与标准化数据向量夹角的关系，能够利用样本相关系数判断两个

变量的相关关系的程度.

(3)结合实例，会通过散点图和相关系数分析多组成对样本数

据的相关性情况.

2.目标解析

达成目标(1)的标志：能例举身边的具体事例分析两变量之间

的相关关系，并且根据实例说出相关关系的现实含义.通过对比相关

关系与因果关系，分辨出相关关系不是因果关系，有相关关系不一定

有因果关系.能通过观察成对数据的散点图，正确判断两个变量之间

的是否存在相关关系、如有相关性的话，是线性相关还是非线性，是

正相关还是负相关.

达成目标（2）的标志：能通过具体的实例，了解样本相关系数

的构建过程，能够正确阐述样本相关系数的构造思路以及样本相关系

数的公式，理解中心化和标准化的数据处理的意义.能够将向量的数

量积计算从二维推广到〃维，掌握将“标准化”的成对数据拆成两个

“维向量，将样本相关系数厂改写成两个“维的数量积，从而通过运算

得到r=cos。，能根据「的数值对两个变量的相关性程度进行判断.

达成目标（3）的标志：结合实例，先进行软件绘图散点图，通过

散点图先进行定性的两变量的相关性分析.对于样本量比较少的成对

样本数据，能正确利用样本相关系数公式对多组成对样本数据进行计

算，获得样本相关系数，对于样本量比较大的成对样本数据能够运用

统计软件进行样本相关系数的计算.最后结合散点图和样本相关系数

对两变量的相关性做出分析.

三、教学问题诊断分析

1.问题诊断

首先，在相关关系的认识中，学生容易把相关关系错误理解成一

种因果关系，即一个变量的变化是由另一个变量的变化导致的.其实,

相关关系只是表明两个变量在取值上表现出某种规律性，并不意味着

两个变量之间存在相互影响.

其次，学生以往学习的数学知识，都是从定义出发使用演绎推理

的方法证明结论.演绎推理是从一般到特殊的推理，只要前提正确、推

理形式正确，得到的结论必然正确，具有确定性.而统计是从样本数据

出发，是从部分到总体、特殊到一般的推理，即使前提正确并不意味

着得到的结论一定正确，统计推断具有不确定性.学生难以理解统计

学科此特性.

再次，学生对样本相关系数的理解容易只停留在公式层面，而不

能理解样本相关系数的统计含义.

最后，在以往的学习中由于比较强调数学运算，导致学生还未形

成借助信息技术来解决实际问题的思维和能力.

2.教学难点

(1)相关关系与因果关系的区别

(2)了解统计的不完全归纳的不确定性与数学的演绎推理的确

定性的不同

(3)样本相关系数的构建过程

(4)借助计算机进行数据分析和数据计算

四、教学支持条件分析

为了帮助学生更好的体会统计学是依靠数据说话的学科特性，教

师另外又准备了几个实例,这几个实例的两变量之间的相关关系的正

负性与学生凭借经验做出的预判是相反的，可利用信息技术软件(如

R语言、Excel等)快捷地发现凭借经验判断相关关系的不足之处.进

而自然的引出为了客观、理性地研究变量之间的相关关系，需要借助

数据说话，显示出通过数据研究相关关系的必要性.同时通过这几个实

例,辨析了相关关系与因果关系的不同.整个过程突出了统计通过数据

研究问题的学科特点同时给学生渗透了理性思维和科学精神.

五、教学过程设计

5.1第一课时（变量的相关关系）

环节1:统计眼光，看待生活

教师先通过几个生活中常见的例子进入课堂，例如，根据学生以

往的学习情况，统计学能帮学生分析是否能考上清华或浙大；抖音会

通过分析用户的浏览习惯分析出用户的喜好，再推送用户感兴趣的小

视频；淘宝会通过用户的搜索的关键字和浏览路径，以及停留的时长

等用户习惯，精准定位用户的需求，给用户推送想要买的商品；负责

疫情管控的政府决策者可以运用统计学来判断疫情的情况，做出是否

需要加大疫情管控力度的决策等.

问题1：必修中都学习了哪些统计知识？

教师通过这个问题，帮助学生快速回忆和梳理必修中学习过得统

计知识，主要包括抽取数据的基本途径、随机抽样、统计图表、用样

本估计总体四大知识单元。

追问1：在你心中，统计是什么？

教师带领着学生自由发挥，让大家谈谈各自心目中对统计的理解,

最后给出统计学专业的学术定义，即统计是收集、处理、分析、解释

数据并且从数据中心得到结论的科学。带领学生体会数据对于统计的

重要性。

设计意图：通过贴近生活有趣的例子，帮助学生体会统计是无处

不在的，调动学生学习统计的积极性。通过教师的提问，学生能快速

回忆起必修中统计涉及的知识内容，解决学生因时间间隔太久，遗忘

统计知识点问题，为接下来的统计学习做好铺垫。教师引导学生谈谈

自己对统计的理解，有助于教师了解学情，引导学生体会统计是基于

数据的学科，统计的根基在于数据。

环节2：多变量问题，从成对数据开始

问题2:8班总分是否比其他班优秀？8班成绩优秀与班主任管

理水平、分班前学生自身水平、常规表现、上课睡觉人数、交作业情

况、跑操状况这些因素中的哪些因素有关？

教师通过第一个问题，引导学生发现，要研究8班是否比其他班

优秀只需要知道各班的总分成绩的数据，即研究单一变量——各班的

总分成绩，可以用必修中的统计知识解决，教师从而引出必修中统计

学知识的特点：都是针对单一变量。而第二个问题，不仅需要知道8

班的成绩这个变量的数据，还需要知道其他6个变量的数据，因此研

究的是多个变量的问题。从而引出生活中更多涉及的是多个变量之间

的问题，现在从最简单的双变量开始，对应的是成对样本数据，为第

八章的学习起了头。

设计意图：

通过两个问题，让学生体会单变量问题和多变量问题，发现必修

中的统计知识只使用单变莱尼，进而自然的开启了成对样本数据的相

关性研究。

问题3两个变量的关系有哪些，你能举个例子吗？

学生思考回答两个变量的相关关系有函数关系，师生共同回忆函

数关系的严格定义，学生发现函数定义是个对应的、确定的关系。

追问1结合生活中4个实例，思考y随x变化如何变化？x是决

定y的唯一因素吗，如果不是还有哪些影响因素？x确定的时候y的

值确定吗，即x和y之间是函数关系吗？

学生按照这个思路，分析课本中4个生活的事例，体会到生活中

两变量关系除了函数关系，还有一种关系不确定的关系，教师自然的

引入相关关系的定义.

追问2辨析相关关系是函数关系吗？相关关系是因果关系吗？

根据统计的学科特性，教师应用了“夏天时，冷饮的销量和溺水

率会同步增高或减少"，帮助学生体会相关关系不是因果关系。再通

过更离谱的例子，即尼古拉斯凯奇主演的电影和美国泳池溺水人数,

学生会发现尼古拉斯凯奇和美国泳池溺水人数有很强的相关性，但是

这个用因果关系是解释不通，带领学生体会相关关系与因果关系的不

同.

e

u-N

omhK

pjo

o-to

doCs

USga

E-e

IE

SM

♦NicholasCageSwimmingpooldrownings

追问3凭借个人的经验对两变量之间的关系做出判断可靠吗？

如果不可靠，判断两个变量的相关系的依据是什么？

教师依旧通过大量的实例帮助学生体会不能凭借个人的经验对

两个变量之间的相关性做出判断，因为依靠经验做出判断非常有局限

性，如果这个人在这个领域很有经验，可能做出判断是正确的，如果

这个人在这个领域没有经验甚至是毫不了解的时候，则很难做出正确

的判断，根据统计是立足于数据的学科，学生会轻易得到要依赖数据

进行分析才是王道。

设计意图：帮助回忆函数关系，让学生体会函数关系是确定性的

关系。紧接着让学生分析4个生活事例，发现生活中两个变量可能有

关系但是不能明确到由其中一个决定另一个，即相关关系，且相关关

系更常见。从而自然引出相关关系的定义。根据统计学的特性，通过

大量的例子，生动形象得帮助学生理解相关关系既不是函数关系也不

是因果，帮助学生体会两个变量的相关关系不能凭借经验进行判断,

应该依靠数据，增强了学生统计的素养。

环节3：绘散点图，看相关性

问题4表1中是一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，观察

此样本数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎么样的关系

吗？

追问1表1中的数据是什么类型呢？为了更加直观地描述上述成

对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，结合必修中学习的统计知

识,有没有更好的呈现样本数据的方法？

表1

编号1234567

年龄/岁23273941454959

脂肪含9.517.821.225.927.526.328.2

量%

编号891011121314

年龄/岁53545657586061

脂肪含29.30.231.430.833.535.234.6

量%6

追问2绘制散点图，除了人工外，还有更好的方法吗？你知道哪

些软件可以绘制散点图的吗？

追问3从图2的散点图中，你能发现数据有什么特征？你能读

出两变量之间的什么信息吗？请你讲一讲.

追问4如果成对样本数据中有一个样本数据为P点所示位置，

这个点是与其他的样本点有什么不同呢？为什么会产生这样的点？

图2

师生活动：对于人体的脂肪含量和年龄之间关系的实例，师生结

合其样本数据，通过观察数据发现人体的脂肪含量随着年龄的增长而

增大，两者是有相关关系的。师生共同观察数据，发现此样本的成对

数据是数值型数据，为了更加直观地描述成对样本数据中脂肪含量与

年龄之间的关系，教师引导学生思考用统计图形展示成对样本数据.

用横坐标表示年龄，纵坐标表示脂肪含量，成对样本数据都可用直角

坐标系中的点表示出来,从而引出了散点图.观察发现,这些散点大致

落在一条从左下角到额直线附近,师生得出随着年龄的增加，脂肪含

量有呈现增高的趋势.在此基础上，教师从整体角度给出了两个变量正

相关和负相关的定义似及线性相关的定义.最后教师展示用统计软件

R软件绘制散点图，让学生体会统计软件处理数据的便捷性和必要性.

最后探讨奇异值，概括出散点图能发现奇异值的特点.

设计意图：结合教科书探究栏中的“人体的脂肪含量和年龄”案

例，通过数据发现人体的脂肪含量随着年龄的增大而增大.通过教师

的提问，引发学生思考数据类型，培养学生对数据的敏感度，使学生

知道对于不同的数据类型要使用不同的统计方法.针对成对数值型的

数据，掌握用散点图这一统计图形对数据进行直观化表示，并从中初

步了解数据的特征或蕴含的规律，体会散点图的优势.在学生描述完

成对样本数据的特征以及其规律后，顺着学生的逻辑更好、更自然地

引出了两变量正相关、负相关、线性相关的定义，使得学生能更深层

地理解散点图的的成对数据的相关关系的统计含义.最后突出了散点

图较表格能更容易发现奇异值的特点.

问题5观察图3中的散点图，分析两变量之间的相关性。

图3

1212-12

io••・•・・10-

••••10

8-•8-•■•8•・•・•••・

6-/6-e*.*

6••••

4-

;4­•••

2-•2,2.•

■

，・，，，।，.

°02468101214.f002468101214.r

02468101214.r

(1)(2)(3)

师生活动：师生共同分析3张散点图，发现（1）中的散点落在

某条曲线附近，而不是直线附近，说明搞两个变量具有相关性但不是

线性的。（2）中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有一定的

相关性。（3）中的散点杂乱无章毫无规律，因此两变量没有相关性。

设计意图：前面学生通过图1已经知道了数据成线性相关时的散

点图的特性。现通过3张具体的散点图，让学生进一步加深对散点图

的理解，更深入的了解散点图所包含的样本数据的统计相关性，同时

让学生了解非线性相关的散点图的样子，以及线性不相关的散点图又

是如何的。通过展示各类散点图，生动形象地引入了非线性相关概念。

环节4：归纳小结，凝练所学

问题6回顾一下两变量的相关关系，我们主要都学习了什么呢？

师生活动：先让学生自己总结，再进行互动交流，最后教师进行

总结，强调本课的重点和难点.

设计意图：回顾两变量之间的关系除了函数关系还有相关关系，

回顾相关关系的概念，辨别相关关系不同于函数关系和因果关系。相

关关系中分为正相关、负相关，线性相关和非线性相关。最后，利用

相关关系的知识点能通过成对数据的散点图读懂两个变量的相关性。

通过知识点梳理总结，能够加强学生的统计思维和统计素养，帮助学生

抓住成对数据的相关关系的重难点，为下节课的样本相关系数奠定了

基础.

5.2第二课时（样本相关系数）

环节1：定性不够，定量来凑

上节课学习了两个样本的相关性，并且学习了通过成对样本数据

的散点图分析两个变量之间的相关性。

问题1回忆一下，你能从散点图中读出两变量之间相关关系的

哪些信息呢？

追问2现有两个样本总体，你能分析两个总体中哪个总体的两

个变量之间的相关性更强呢？强多少？能通过散点图判断两变量之

间相关程度的强弱吗？

追问3能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行

分析那样，对成对数据的相关程度也引入一个适当的“数字特征”？

师生活动：师生共同回顾上节课两变量之间的相关关系内容，可

以发现成对数据的散点图虽然非常直观，但是对两变量的相关关系的

分析只能局限在定性的分析.结合具体的例子，学生更好得体会到这

个问题，如果想进行定量的分析，即需要对两个总体的两变量之间相

关关系程度的大小进行判断，散点图就做不到，为这节课做好铺垫.

设计意图：通过回顾旧知加深学生对两变量的相关关系的理解,

增强学生的统计素养.跟着教师的提问，学生发现散点图对两变量之

间的关系只能进行定性的判断和分析，但不能进行定量的判断，具有

局限性，进而让学生体会到了学习一个具有定量分析功能的统计量的

必要性.

环节2：先中心化，初构统计量

对于变量X和变量y,经过随机抽样获得的成对数据为

（X],y）,（马，丁2），（工3，为），…，（X"，"）.其中%,%2，…，X"和X，必，…，%的均值分别为元和父

以课本表8.1-1中人体脂肪与年龄这组成对数据为例对数据进行中心

化.

问题1数据的中心在哪里？成对样本数据各个分量减去各自对

应的均值后，数据中心发生了什么变化？

追问1观察“中心化”后的人体脂肪与年龄这组成对数据的散点

图，有何特征？为何会呈现这样的特征趋势？

统计学家利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后

呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字

特征Lxy.

追问2观察4的表达式蕴含了什么逻辑？如何通过4对两个

变量的相关性进行判断？

师生活动：教师引导学生对人体脂肪含量与年龄这组成对数据进

行中心化处理，即成对

数据（玉,M）,（程％）,“3,%），…，（x",笫）减去各自的均值，将数据的中心移到零点，得到平

移后的成对数据（西-五,y-歹）,（乙-元月-2，…，（x,-X,y„-9）并绘制散点留学生观察散点

图可以发现中心化以后的数据大多数分布在第一象限、第三象限，这

是形的角度，从数据的角度描述这件事，即散点的横、纵坐标同号通

过类比归纳学生可以得到，变量x与y负相关时，中心化后的大多数散

点会在二、四象限，（玉-£）和（y7虏号.教师通过引导学生结合中心化后

数据的特性，构建一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的统计

量%,其中

4-刃+（电8此9）+…+@-砌券-阳

师生一起探究％是如何表示两变量的相关关系以及相关关系的强弱,

可以发现一般情形下

4•V,>0表明成对数据正相关，4<0表明成对数据负相关.

追问3%可以作为描述非线性相关的成对样本数据相关性强弱

的数字特征吗？请说明理由.

师生活动：教师通过例举二次函数上的样本点作为例子，发现

%>o

表明成对数据正相关，4,<o表明成对数据负相关这个判断标准在此时失效了。使

学生体会到%不能作为非线性相关的相关性强度度量得数字特征。

追问44除了适用范围，还有其他局限性吗？

师生活动：为了帮助学生更好的理解4V会受量纲影响这件事，对

例3中身高和臂展这同一组成对样本数据，教师改变样本数据的度量

单位，学生观察发现%的值会发生变化，即两变量间相关关系程度也

发生了变化，得出变量的度量单位会影响&这个统计量，因此用统

计量具有瑕疵，需要进一步改进.同时带领学生观察此时的臂展数据

的量级在1上下，而身高数据的量级在160上下，因此4.的数据的

大小主要受数值较大的变量影响，这也是不合理的，因此度量两变量

的相关性强弱的数字特征需要消除量纲，把两个变量都压缩在同一个

范围内，变成无量纲的两个变量.

设计意图：教师通过提问的方式，对数据进行“中心化”的操作

是超越学生认知范围的，因此此处设计以教师引导为主.中心化又叫

零均值化，实质就是平移，使平移后所有数据的中心是（0。），且中心

化以后的成对样本数据的正负相关性与中心化后的横、纵坐标同、异

号之间的关系，利用这个特性构造出了一个统计量%.统计量的4的

正负性与成对数据相关关系的正负性相同.再通过具体的例子让学生

体会/只能用来度量线性相关的强弱.再通过改变成对数据中变量的

度量单位使得表示同一组样本成对数据相关关系的《会出现不同的

值，继而自然的引导学生思考统计量4的设计缺陷，为下面的成对数

据标准化做好铺垫洞时让学生体会构建样本相关系数过程的合理性.

环节3：再标准化，构建样本相关系数

问题1如何能够消除单位量级对统计量%的影响？

追问1能仿造/>,的构造逻辑，构建一个新的统计量吗？

追问2观察样本相关系数，•的书写表达式，有没有似曾相识的

感觉？

追问3样本相关系数厂的取值范围是？

追问4当|小1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？当

加=0时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？

追问5你能总结一下，如何通过样本相关系数厂判断成对样本数

据的相关性的强弱吗？

师生互动：教师介绍几种标准化的方法，最后引出对成对数据除

以各自的方差可以消除度量单位的影响.为了帮助学生理解，教师还

通过R软件示范了一下中心化标准化，学生从数据中体会标准化。仿

照/统计量构建的逻辑，构建出了样本相关系数，

应七一守点（—A

V/=1V/=）

类比4统计量学生容易得到样本相关系数—>0时，成对样本数

据正相关，样本相关系数r<0时，成对样本数据负相关.在运用样本相

关系数厂判断成对样本数据的相关性的强弱之前，需要知道样本相关

系数/•的取值范围.

教师通过提问，引导学生发现况+…+%%）的书写形式

n

很像向量的数量积。因此教师带领学生回忆空间向量数量积的坐标表

示，进而推广到〃维空间，可以类比

三维空间定义出祢向量不曲的数量积，其中。=（4，%,…石=（4也,…包），其中

。为一和潮夹角，则

a*h=。也+七4+…+凡/?”.

对于“标准化”处理后的成对数据（与总底网），…，（七”），教师引导学

生将第一分量构成一^"b”维向量£=（斗々,…毛）,第二分量构成一^"b”维

向量》=（必,必，•・・、"）.学生观察r的结构，可以得到歹忻|cos6.

nn1111

又因为恸=回=«,所以学生可以快速证明样本相关系数-cos"因为

8为向量x和y的夹角，由TMcos”l,学生探究得到变量x和变量），的样本

相关系数的取值范围.

结合教师的提问，学生思考得当卜1=1时，。=0或内心根据向量的知识^和炉

共线.由向量的共线性可知，存在实数4使得炉=/U；即上二£=丸上二三,i=l,2,3,

SyS，

…,〃・教师引导学生思考，得出成对样本数据(七,》)都落在了直线y-歹=2士亘

S,

上.即成对样本数据的两个分量之间存在一种线性关系.由此，学生得到样本相

关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性关系的程度:当M越接近

1时，两个向量越接近平行，成对样本数据的线性相关程度越强GI越接近。时，

两个向量越接近垂直，成对样本数据的线性相关程度越弱.

学生总结出两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行

分析，，•的符号反映了相关关系的正负性；卜I的大小反映了两个变量

线性关系的程度，即散点集中于一条直线的程度.学生结合本课堂所

有知识8.1-5的四幅图进行实操，分别对每组成对样本数据的相关关

系和相关关系强弱进行分析.

设计意图：为了消除度量单位的影响，对成对数据进行了“标准

化”的操作，即减去平均数除以方差.标准化又叫归一化，使有量纲的

数据全部变成在(0,1)内无量纲的数据,仿照4的构造，构造出样本

相关系数，引导学生阐述样本相关系数，•的正负性与成对样本数据相

关关系的正负的对应关系.

为了探究样本相关系数的大小与成对样本数据相关程度之间的

关系，教师首先引导学生探究样本相关系数的取值范围，通过观察样

本相关系数，•的书写结构发现很像向量的数量积作为切入点.回忆三

维向量数量积的坐标表示，并推广到“维向量数量积的坐标表示，再

引导学生将成对样本数据拆分成两个”维向量，将样本相关系数，.写

成〃维向量数量积的形式，通过多维向量的数量积，证明了样本相关

系数厂就是标准化数据夹角的余弦值，得到样本相关系数，•的取值范

围为[-1,1],自然而然的通过向量夹角来理解样本相关系数的统计含义,

探究样本相关系数