成对数据的相关性教学设计

成对数据的相关性教学设计

课题成对数据的相关性单元第八单元学科数学年级高二

本节内容主要是成对数据的相关性，由常见的函数问题导入，探究成对数据间的关系，学习

教材

变量间的相关关系与样本的相关系数，并使用其解决一些实际问题.

分析

1、数学抽象利用生活中的实际问题，为了寻求成对数据间的关系，引入相关系数；

教学

2、逻辑推理通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；

目标

3、数学建模掌握成对数据的相关关系，计算样本的相关系数；

与核

4、数学运算能够正确判断相关关系，计算相关系数；

心素

5、数学分析通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让

养

学生认识到数【学知识的逻辑性和严密性.

重点掌握相关关系的判断，计算相关系数.

难点利用样本的相关关系，解决一些实际问题.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：1、将汽油均匀的速度倒入桶里，注入的

时间t与注入的油量y的函数关系是：

mt12345学生思考问设置问题情境，

246810

题，引出本节激发学生学习兴

y=2x

新课内容。趣，并引出本节

2、甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到

新课。

乙地，则他的速度V与时间t的函数图像大致是怎

样的？

v=150/t

3、小麦的产量y与施肥量x的关系如下：

施肥量X2030405060

产《y440460470480510

情景二：

在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，

科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机

样本数据，如表所示。表中每一个序号下的年龄

和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它

们构成了成对数据。

■号1234567

年“/岁23273941454950

■贴含■/%9.S17..21.225.927.526.328.2

JR号891011121314

年535456586061

匿防含■30.33.35.34.

29.630.231.4

/%8526

思考：根据以上数据，可以判断人体的脂肪含量

与年龄之间存在怎样的关系？

分析：为了更加直观的描述脂肪含量与年龄之间

的关系，用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，

则表中的每一个序号下的成对样本数据都可用直

角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图

所示的统计图。我们把这样的统计图叫做散点

图。

送

嘲

和

卷

sg

观察图，可以发现，这些散点大致落在一条从左

下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增

加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样，由

成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含

量变量和年龄变量之间存在着相关关系.

讲授新课新知讲解：

变量相关关系的分类：

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变

量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个

变量正相关;如果当一个变量的值增加时，另一个

变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量

负相关。

例如：

(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系

(正相关)

(2)粮食产量与施肥量之间的关系(正相关)

(3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系(正相学生根据情境

关)问题，探究变

量的相关关系

思考：两个变量正相关、负相关时，成对样本数与样本的相关

据的散点图有什么特点？系数利用情境问题，

探究变量的相关

关系与样本的相

8••

M••••关系数，培养学

»•

•生探索的精神.

»•

810y408%S%

散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域

40

•••・

•

10•

•

15*

•

府”90A1toM

散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域

变量相关关系的分类：

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相

关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个

变量线性相关。

如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那我

们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。

问题：如何引入一个恰当的“数字特征”，对成

对样本数据的相关程度进行定量分析？

根据散点图特征，初步构造统计量。

N/9

一般地，如果变量x和变量y正相关，那么均值平移

后的大多数点将分布在第一、三象限，对应的成

对数据同号居多；

■

••

•••

•*

••

*

如果变量X和变量y负相关，那么关于均值平移后

的大多数点将分布在第二、四象限，对应的成对

数据异号居多.

利用散点（xi--x,yi-'y）（i=l,2,...,n）的横纵坐标是

否同号，可以构造一个量

4=：［（±-，）（乂3）+（X「7）（>23）+-+（xj［）（%；）］

一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关；

Lxy<0表明成对样本数据负相关.

思考：你认为Lxy的大小一定能度量出成对样本

数据的相关程度吗？

因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不

宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小。

£卜「可（y「9）ixiyi-nxy

宓:T*（一）2座、酒

我们称r为变量x和变量y的样本相关系数。

样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特

征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对数据

的变化特征：

当r>0时，称成对数据正相关。

当r<0时，称成对数据负相关。

思考：样本相关系数r的大小与成对样本数据的相

关程度有什么内在联系呢？

我们先考察一下r的取值范围：

观察r的结构，联想到二维（平面）向量、三维（空

间）向量数量积的坐标表示，我们将向量的维数推

广到n维，n维向量a,b的数量积仍然定义为

a,b=|a||b|cos0,

其中0为向量a,b的夹角.类似于平面或空间向量

的坐标表示，对于向量

a=（a”a2，an）和b=（bi，bz，...»bn）,

我们有a•b=a1bi+a2b3+anbn

设标准化处理后的成对样本数据：

（芭，X），（/，％），…，（X"，K）

其第一分量为％=（X]…，怎）

其第二分量为y=（x，%，•••，、"）

11

r==—x•y=—|x|\y\cos0

nn

因为仅所以样本相关系数

r=cose由/Wcos。Wl,可知-iKrWl

思考：当田=1时，成对样本数据之间具有怎样的

关系？

成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.

由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1,1],

样本相关系数r的绝对值的大小可以反映成对数据

之间的线性相关的程度：

当1r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越

强；

当1rI越接近0时，成对数据的线性相关程度越

弱。

线性相关程度的判断：

两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样

本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两

个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映相

关关系的正负性，的大小反映两个变量线性相

关的程度，即散点集中于一条直线的程度.

例题讲解：

例1：根据脂肪含量和年龄的样本数据，判断两个

变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它加深学生对基础

们的相关程度。知识的掌握，并

能够灵活运用基

础知识解决具体

问题

利用例题引导

学生掌握并灵

解：

活运用变量的

画出散点图如右。

相关关系与样

由散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附

本的相关系数

近，由此可以判断脂肪含量和年龄线性相关。

解决实际相关

问题

40

35

30

25

20

15

10

5

0

O8

204060

年龄/岁

根据样本相关系数的定义:

S?=1®_x)(yi-y)

扭1(Xi)2j昭(力一乃2

=_________—i-1孙_______

JXi=ixf-14x2卜£疗-1492

14

W%以=19403.2

t=i

14

E烦=34181

i=l

14

£*=11051.77

由样本相关系数r^0.97,可以推断脂肪含量和年龄

这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

例2：有人收集了某城市居民年收入（即所有居民

在一年内收入的总和）与A产品销售额的10年数

据，如图所示

1酬年112|3|456789101

居民年

收入/32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

亿元

A商品

第■■25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

行元

画出散点图，判断成样本数据是否线性相关，并通

过样本相关系数，判断居民年收入与A商品销售额

的相关程度和变化趋势的异同。

解：

画出成对样本数据的散点图

从散点图来看，A商品的销售额与居民年收入的样

本数据呈现出线性相关关系。

由此推断,A商品销售额与居民年收入正线性相关,

且相关性很强。

60

H

g

/

W

-XEI50

-S苍

<

40

30

20

10

0

05101520253035居怏年收放,元50

例3在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得

他们的身高，体重，臀展等数据，如表所示。

编号身高/cm体重/kg臂展/cm

117355169

217971170

317552172

417962177

518282174

617363166

718055174

817081169

916954166

1017754176

1117759170

1217867174

1317456170

编号身高/cm体重/kg臂展/cm

1416666161

1517661166

1617649165

1717560173

1816948162

1918486189

2016958164

2118254170

2217158164

2317761173

2417358165

2517351169

体重与身高，臀展与身高分别具有怎样的相关性？

解：根据样本数据分别画出体重与身高，臀展与身

高的散点图。两个散点图都呈现线性相关的特征。

身高与体重散点图

70

60

40

30

20

10

0

165170175180185

身高/cm

谕臀展与身高散点图

歆

195通过练习，巩固

190

侬

180基础知识，发散

175

170

165

160学生思维，培养

1515

65

学生思维的严谨

性和对数学的探

通过计算得到体重与身高，臀展与身高的样本相关

系数分别约为0.34利0.78,都为正线性相关。其中索精神。

臀展与身高的相关程度更高。

通过课堂练

课堂练习：习，检验学生

1、下列图形中两个变量具有相关关系的是（C）对本节课知识

(A)(BI,1点的掌握程

度，同时加深

J

学生对本节课

/•1©"知识点的掌握

…..◎[.・・・.

及运用

o・©,*«

2、观察下列散点图，①正相关，②负相关，③不相

关，与下列图形相对应的是（D）

y

•L*•••

产,*•••

UXU1oS

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

3.对四组变量X,y进行线性相关实验，己知n是观

测值指数，r是相关系数，且已知：

则变量y与x具有线性相关关系的是（B）

A.(l)和(2)B.⑴和(4)

C.(2)和(4)D.⑶和(4)

4.下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是

(B)

拓展提高：

5.在一组样本数据（xi,yi）,（X2,y2）（xn,

yn）（n22,xi，x2，…，x1,互不相等）的散点图中，

若所有样本点（Xi,yi）,（i=l,2,3,…）都在直线y=1/2-1

上，则这组样本数据的相关系数为（D）

A.-1B.0C.1/2D.1

链接高考：

6.（2009年宁夏理）对变量x,y有观测数据

（xi,yi）（i=l,2,3,