九年级数学教案11 四边形

第十一讲四边形

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第十一讲“四边形”.

［教学目标］

知识技能

1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的判定方法；

2.了解四边形在生活中的实例，根据平行四边形的性质解决实际问题.

数学思考

1.经历运用四边形描述现实世界的过程，发展学生抽象思维和形象思维；

2.发展学生的动手操作能力、合情推理能力，及对数学的应用意识；

3.培养学生分类讨论思想、方程思想等思想方法.

问题解决

1.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握

分析问题和解决问题的一些基本方法；

2.能够运用四边形的性质进行有关的证明和计算，发展应用意识.

情感态度

1.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好

数学的信心；

2.在学习过程中培养学生独立思考的习惯.

［教学重点、难点］

重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质和判定方法

难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等知识的综合应用

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

师：今天我们来复习四边形的有关知识.

启动性问题

俄国作家列夫♦托尔斯泰在他的作品中写了一个故事：有一个叫巴霍姆的人想到草原

上买一块地.他问：“价钱如何？”卖主答：“一天1000卢布.”意思是如果你愿出1000

卢布，那么你从日出始至日落止，走过的路所围住的土地就归你所有；倘若你在日落

之前回不到出发的地方.，你的钱就白花了.巴霍姆觉得很合算，于是他就给卖地人

1000卢布.第二天，太阳刚刚从地平线露面，他就立即在大草原上狂奔起来.他奔走

的路线大致如下图.为了不使自己的1000卢布白费，他用尽全身力气，总算在太阳全

部消失前的一刹那，赶到了出发地点（A点），可是还没站稳，就口吐鲜血，向前一

扑，再也站不起来了.

师：同学们不妨猜想一下，巴霍姆所跑的路线.如果是你，你打算如何跑？

可以看出，巴霍姆共跑了40千米的路，他所围住的是一个梯形.计算其面积为

（5+10）x12=90（.2）如果他围住的是一个正方形，则面积为（竺了=100（km2）.如果

他围住的是一个圆，则面积为»（K）2=%>100（km2）.贪婪而又愚蠢的巴霍姆，为

2zrre

了90km?的土地而活活累死，倘若他有一点数学头脑，跑前冷静地想一想、算一算

的话，又何必累死呢！

师：通过这样一个数学故事我们能够总结出怎样的规律？（引导学生自我总结）

周长相等的多边形中，边数多的一般比边数少的面积大，图形的边数越多，面积越大,

当边数趋向于无穷大时，也就是圆，所以在周长相等的情况下圆的面积最大；边数相

等时，正多边形面积最大.

考点58多边形及其内角和

师：大家先来回顾一下多边形的相关性质与定理.

回顾：

1.多边形的定义：（下一步）由八条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面

图形称为“边形，又称为多边形.（下一步）

对角线：（下一步）连接多边形不相邻的两个顶点的线段.（下一步）

正多边形：（下一步）各个角都相等，各条边都相等的多边形.（下一步）

2.多边形的内角和：（下一步）〃边形内角和为（〃-2）•180°.（下一步）

外角和：（下一步）多边形的外角和为360°.（下一步）

3.多边形的有关性质（先红色字体再阴影）

十JTT,HA一人।乩（n-2）*180'

正〃边形的每个内角：------——

n

〃边形共有"3）条对角线.

对角线：

稳定性：〃边形具有不稳定性（n>3）.

规律：〃边形的内角中最多有3个是锐角.（下一步）

4.用正多边形拼地板

铺满地面的条件：（下一步）几个正多边形的同一个顶点的几个角的和等于360°.

（下一步）

铺满地面方案：（1）用相同的正多边形可以铺满地板有：正三角形，正方形，正六

边形.

（2）也可用多种正多边形铺地板.

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型多边形内角和

例若凸〃边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是上—.

师：如何求从一个顶点出发引的对角线条数？

生：（预设）先求多边形的边数或定点数，即〃.

师：如何求〃？

生：（预设）利用多边形内角和公式.

解析：

边形内角和为（rt-2）•180°；（下一步）

（2）〃边形一个顶点出发引的对角线的条数为（〃-3）条.

答案：6.

类似性问题

1.一个多边形的内角和是900°,则这个多边形的边数是（）

A.6B.7C.8D.9

2.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

解析：

多边形的外角和为360°.

考点59平行四边形

师：我们知道平行四边形的定义、性质和判定方法，是得出其他特殊四边形的定义、

性质和判定方法的基础，相关的性质定理和判定定理都很多，需要我们理清它们之间

的区别和联系.

回顾：

1.定义：（卜.一步）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（下一步）

2.平行四边形的性质：（下一步）

r两组对边分别平行、

〉边

四边形ABCD是平行四边形匚＞J两组对边分别相等,

两组对角分别相等（邻角互补）——角

〔对角线互相平分-----对角线

（下一步）

3.平行四边形的判定：（下一步）

两组对边分别平行、

边--------两组对边分别相等

一组对边平行且相等、的四边形是平行四边形

角--------两组对角分别相等

对角线-----对角线互相平分j

（下一步）

4.解题技巧：（1）解平行四边形相关问题时，对角线是解决问题的常用线段.要用到

全等三角形法、特殊三角形的性质.

（2）在涉及三角形中线问题时，常延长并加倍中线，构成平行四边形，在平行四边

形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务.（下一步）

5.两条平行线间的距离：（下一步）两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线

的距离叫做两条平行线间的距离.（下一步）

常用结论：两条平行线间的平行线段相等.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一平行四边形的性质

例1如图，已知E、F是口ABCD对角线AC上的两点，且BE1AC,DFLAC.

（1）求证：XkBEQXCDF：

（2）请写出图中除aABE会△<?£>尸外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）.

解析：

根据平行四边形对边平行，对边相等得出证明三角形全等的条件.

师：如何证明两个三角形全等？

生：（预设）根据平行四边形的性质得到对边平行且相等，进而得到角相等，通过两

角一边证全等.

师：还有哪两组三角形是全等的？

生：（预设）剩下的两对三角形都是全等的.

答案：

证明（1）•••四边形A3CO是平行四边形，

：.AB=CD,AB^CD,

:.ZBAE=ZFCD,

XVBE1AC,DFLAC,

：.ZAEB=ZCFD=90°,

:.△ABEgACDF（AAS）.

（下一步）（2）

类似性问题

2.如图，8。是Z=7ABC。的对角线，NABQ的平分线BE交AO于点E,NCQ8的

平分线。尸交3c于点F.

求证：AABE咨ACDF.

答案：

证明：OABCD,AB=CD,NA=/C,AB〃CD,

：.NABD=NCDB.

'：ZABE=-/ABD,ZCDF=-NCDB,

22

，ZABE=ZCDF.

在AABE与△<?£>尸中，

NA=NC,

XAB=CD,

、/ABE=/CDF,

：./\ABE^/\CDF.

初步性问题

探究类型之二平行四边形的判定

例2如图，已知。是△ABC上AB边上一点，CE〃A3,OE交AC于点0,且。A=OC,

猜想线段C。与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.

L

解析：猜想：CD〃AE,CD=AE,证明四边形AOCE是平行四边形.

师：你的猜想结论是？

生：（预设）平行且相等.

师：如何证明？

生：（预设）利用平行四边形证明.

师：如何证明是平行四边形

生：（预设）一组对边平行且相等

师：还有别的方法吗？

生：（预设）对角线互相平分.

师：非常好，思考一下结论.

师：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，但“一组对边平行，另一

组对边相等”和“一组对边相等，一组对角相等”的四边形不一定是平行四边形.（可

在此时重点讨论判定平行四边形的易错点）

答案：

答：线段CO与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等.证明如下:

证明：•:CE〃AB,

：.ZDAO=ZECO,

'：OA=OC,ZDOA=ZEOC,

：./\DAO^^\ECO,

：.AD=CE,

...四边形AOCE是平行四边形，

:.CD〃AE,CD=AE.

类似性问题

1.四边形A5CO中，对角线AC,8。相交于点0,给出下列四组条件：①AB4CD,

AD〃BC；@AB=CD,AD=BC；®AO=CO,BO=DO；@AB//CD,AD=BC.其中一

定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

解析：

@AB^CD,两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（下一步）

②AB=CD,AD=BC,两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（下一步）

③AO=CO,对角线互相平分的四边形是平行四边形；（下一步）

@AB^CD,A£>=BC不能判定平行四边形.

3.如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边A8向外作等边△AC。、等边△ABE.已

知/BAC=30°,EF1AB,垂足为尸，连接。R

（1）试说明AC=£E；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.

（1）

解析：

证明RtAABC^RtAEAF即可.

答案:

证明：•••△ABE都是等边三角形，

：.ZEAF=QO°,AB=AE.

'：EFVAB,

：.ZEFA=ZACB=90°,

VZfiAC=30°,

，NABC=60°,

NABC=NEAF,

A/XABC^/XEAF(AAS),

：.AC=EF.

(2)

解析：

i正明AD〃EF且AC=EF=AD即可.

答案：

证明：•••△AC。是等边三角形，

：.ZDAC=^Q°,

AZDAC+ZCAB=ZDAF=90°,

,：EFLAB,

：.ZDAF=ZAFE=9Q°,

：.AD^EF,

'：AC=EF,AC=AD,

：.AD=EF,

，四边形ADFE是平行四边形.

师：平行四边形的判定，常和全等三角形证明结合在一起，要求我们能够熟练掌握三

角形全等的证明.

考点60矩形

师：我们都知道矩形是特殊的平行四边形，它的特殊之处在哪里？

生：有一个角是直角.

师：由于矩形比平行四边形多了个“有一个角是直角”的条件，因此它增加了一些

特殊的性质，让我们一起来学习，首先先回顾矩形的性质和判定定理.

回顾：

定义：（下一步）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

性质：（下一步）（1）矩形的四个角都是直角.

（2）矩形的对角线相等.（下一步）

判定：（下一步）（1）有三个角是直角的四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

师：接下来我们来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一矩形的性质

例1已知矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,E、尸是对角线8。上的两

点，且

（1）按边分类，ZSAOB是_眄」三角形；

BC

解析：

由于矩形的对角线相等且互相平分，所以0A=0B.

答案：k：腰

（2）猜想线段AE、。尸的大小关系，并证明你的猜想.

解析：

猜想AE=CF,通过全等三角形或平行四边形的性质证明线段相等.

答案：

证法一：•.•四边形ABCO是矩形，

:.AD〃BC,且:./ADB=NCBD,

'：DE=BF,：.AADE^/\CBF(SAS),：.AE=CF.

证法二：•..四边形ABC。是矩形，：,OA=OC,OB=OD,

,:DE=BF,：.OE=OF,

y.ZAOE=ZCOF,：./XAOE^ACOF(SAS),/.AE=CF.

证法三：如图，连接A/、CE,

由四边形A8CO是矩形得0A=0C,0B=0D,

'：DE=BF,：.0E=0F,A^-

二四边形AECF是平行四边形，

Bc

：.AE=CF.

师：按边分类，三角形是特殊三角形吗？

生：（预设）是等腰三角形.

师：为什么?

生：（预设）对角线相等且互相平分.

师：第二问，你的猜想结论是？

生：（预设）线段相等.

师：如何证明？

生：（预设）通过三角形全等证明.

师：还有别的方法吗？

生：（预设）利用平行四边形的性质证明.

师：证明线段相等的方法有很多，利用特殊四边形的性质证明是方法之一.

探究类型之二矩形的判定

初步性问题

例2如图，在△ABC中，点。是AC边上（端点除外）的一个动点，过点。作直

线MN〃BC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F,连接

AE.A厅那么当点。运动到何处时，四边形AECT是矩形？并证明你的结论.

A

师：通过分析条件我们可以得到哪些结论？

生：（预设）NECF直角.

师：你是如何得到的？

生：（预设）由基本型平行加角平分线我们可以得到等腰三角形，进而得到三角形ECF

一边上的中线等于这边的一半,根据以前得到的结论，我们可知这是一个直角三角形.

师：非常好，题目问题是当点。运动到何处时，四边形AEC尸是矩形，如何确定点。

的位置？

生：（预设）由于已经有一个直角了，如果，根据。点的位置，我们只要对角线互相

平分即可，所以点0运动到线段AC的中点时四边形AECF是矩形.

师：此题我们通过分析题目条件和结论最后得到答案，也是猜想证明型几何题常用的

解题思路.

解析：

通过探索猜想：当点0运动到AC的中点（或。4=。。）时，四边形AEC尸是矩

形.先证明四边形AEb是平行四边形，再证明有一个角是直角.

答案：

答：当点。运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.证明如

下：

证明：YCE平分NBC4,

.".Z1=Z2,

又♦：MN〃BC,

/.Z1=Z3,

.,.Z3=Z2,

：.EO=CO.

同理，FO=CO,

：.EO=FO.

又OA=OC,

四边形AECF是平行四边形.

又•.•N1=N2,Z4=Z5,

.,.Z1+Z5=Z2+Z4.

XVZl+Z5+Z2+Z4=180°,

/.Z2+Z4=90o,

，四边形AECF是矩形.

类似性问题

1.在四边形ABC。中，AB=DC,AO=8C请再添加一个条件，使四边形A5CO是矩形.

你添加的条件是.（写出一种即可）

答案：

/A=90°或/8=90°或/C=90°或/。=90°或AC=8。（答案不唯一，写出一

种即可）

类似性问题

3.如图，将口A3C。的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.

(1)求证：AABF^AECF；

(2)若NAPC=2NO,连接AC、BE,

求证：四边形ABEC是矩形.

(1)

解析：

根据平行四边形的性质证明.

答案：

证明：•..四边形A8CO是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD.：.ZABF=ZECF.

'：EC=DC,：.AB=EC.

.•.在△AB/7和△EC尸中，

'NABF=NECF,

<ZAFB=ZEFC,

、AB=EC,

(2)

解析：

先证明四边形A8EC是平行四边形，再根据矩形的判定证明四边形ABEC是矩形.

答案：

解法一：

i正明：'：AB=EC,AB〃EC,

...四边形ABEC是平行四边形.

：.AF=EF,BF=CF.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，ZABC=ZD,

又；ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZABC.

"：ZAFC=ZABF+ZBAF,

:.NABF=NBAF.

：.FA=FB.

：.FA=FE=FB=FC,

：.AE=BC,

...oABC。是矩形.

解法二：

证明：•:AB=EC,AB//EC,

四边形A8EC是平行四边形.

四边形ABCD是平行四边形,

:.AD〃BC,

：.ZD=ZBCE.

又：ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZBCE,

•:/AFC=/FCE+NFEC,

：.ZFCE=ZFEC,

：.ZD=ZFEC,

：.AE=AD.

又•：CE=DC,

...AC_LOE,即NACE=90°.

二口ABC。是矩形.

初步性问题

例3如图，将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABC。折叠，使点A与C重合，则折

痕EF的长为_____cm.

师：如何求折痕的长？

生：（预设）根据基本型:角平分线加平行线得等腰和勾股定理求得CF、CE、8E的

长，然后利用勾股定理求得线段EE的长.

解析:

D'F=DF,在RtACFD'^P，由勾股定理得出D'F的长.过尸点作FG±AB,

垂足为G,所以FG=A。,易证下，得到。下=8E,从而得出GE的

长.在RtAFGE中，由勾股定理得到EF的长.

答案：

解：由折叠性质得。下=DRD'C=DA=^,设DF=DF=x,则FC=8-x,

在RtACbZT中，由勾股定理D'F2+DC2=FC2,

故/+42=(87)2,

解得x=3,即DF=D'F=3,FC=5,

又ND，CE=/BCE=gO°,

:.ZD'CF=ZECB,

且NO'=N8=90°,D'C=BC,

二△CBEq△CD'F,则BE=D'F=3.

作FGLAB,垂足为G,

二四边形G3CF矩形，

:.GB=CF=5,

：.GE=29

在RlZ\FGE中，由勾股定理G^+EG?=£7*得EF=2小.

类似性问题

2.如图，点。是矩形ABCD的中心，E是A8上的点，沿CE折叠后，点8恰好与点

O重合，若BC=3,则折痕CE的长为（

A.2GB.-C.y/3D.6

2

解析:

沿CE折叠后，点B恰好与点。重合，所以3C=OC=OA=3,所以NBAC=

ZACE=ZBCE=30°,所以CE="U=W=2百.

cos304

师：正确的应用图形的对称性是解决折叠问题的关键.

考点61菱形

师：我们继续学习另外一种特殊的四边形，菱形.

回顾：

定义：（下一步）有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（下一步）

性质：（下一步）（1）菱形的四条边相等.

（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角.（下一步）

判定：（下一步）（1）四条边相等的四边形是菱形.

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（3）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.（下一步）

菱形面积：（下一步）（1）可用平行四边形的面积公式，即面积=底义高.

（2）菱形的面积等于两对角线积的一半.

初步性问题

探究类型之一菱形的性质

例1如图，菱形ABCD的对角线AC,8。相交于点。，且AC=8,BD=6,过点。作

■

OHLAB,垂足为H,则点0到边AB的距离。”=_旨

师：如何求点到直线的距离？

生：（预设）利用面积公式求线段的长度，AAOB的面积是可求的.

解析：

解：菱形的对角线互相垂直平分，AO=-AC=-XS=4,OB=-BD=-X6=3,

2222

-------------------------------------11]0

所以+=5,S=-OAXOB=-OHXABM^OH=—.

AOAB225

答案：■

5

类似性问题

1.如图，菱形A8C。的边长是2cm,E是A3中点，J3.DELAB,则菱形ABC。的面

积为cm2.

解析：

利用勾股定理和平行四边形的面积公式进行求解.

答案：

在三角形ADE中，DE=JAZ>2_£>£：2:仓一俨=3

菱形ABCD的面积为ABXDE=2X6=2后.

师：下面我们来学习菱形的判定.

探究类型之二菱形的判定

例2如图，在中，E,产分别为边A8,CO的中点，8。是对角线，过A

点作AG〃DB交CB的延长线于点G.'一r------7~

(1)求证：DE〃BF；

(2)若/G=90°,求证四边形OEB尸是菱形.一/

师：如何证明平行？

生：(预设)放在四边形中证明.

师：如何证明四边形是菱形？

生：(预设)由第一问知已经是平行四边形，只要再证一组邻边相等或对角线垂直即

可，这里根据条件证明一组邻边相等.

(1)

解析：

利用平行四边形的性质证明DE〃BF.

答案：

证明：•.•四边形A8CO是平行四边形，

:.AB〃CD,AB=CD,

,:E,♦分别为AB,CD的中点,

：.DF=-DC,BE=-AB,

22

:.DF〃BE,DF=BE,

...四边形DEBF为平行四边形，

，DE〃BF.

(2)

解析：

由四边形EDBP是平行四边形，再证明一组邻边相等.

答案：

证明：'：AG^BD,

：.ZG=ZDBC=90°,

ADBC为直角三角形.

又•••/为边。。的中点，

:.BF=-DC=DF.

2

又•..四边形OE3F为平行四边形，

...四边形。f是菱形.

类似性问题

2.如图，在平行四边形A8CD中，对角线AC,BO相交于点0,过点。作直线E/LL

BD,分别交A。，BC于点E和点尸，求证：四边形b是菱形.

解析：

先证明四边形尸是平行四边形，再证明一组邻边相等.

答案：

证明：•.•四边形ABCO是平行四边形，

:.AD〃BC,OB=OD,

ZEDO=ZFBO,ZOED=ZOFB,

：./\OED^^\OFB,

：.DE=BF,

又<DE〃BF,

四边形BE。尸是平行四边形，

,:EFLBD,

.••四边形BEDE是菱形.

师：这是菱形判定的另外一种情况，即先证明平行四边形，再证明对角线垂直.

3.如图，0为矩形A8CD对角线的交点，OE，4C,CE〃BD.

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

nD

（2）若AB=6,BC=8,求四边形。CEO的面积.

°XC>

解析：

（1）先证明四边形OCEO是平行四边形，再由矩形的性质证明四边形OCEO是

菱形.（下一步）

（2）连接。E.（作图）利用菱形面积等于两对角线积的一半可得菱形面积.

第二课时

教学路径

考点62正方形

师：我们接下来学习最后一类特殊的平行四边形，正方形.首先一起回顾正方形的性

质和判定定理.

回顾：

定义：（下一步）有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（下

一步）

性质：（下一步）（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

（2）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.（下一

步）

判定：（下一步）（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个角是直角的菱形是正方形；

（3）四边相等，四个角也相等的四边形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线相等的菱形是正方形；

（6）对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形.

师：让我们利用这些性质和判定定理完成下面的题目.

初步性问题

探究类型之-正方形的性质

例1如图，在正方形ABC。中，E为对角线AC上一点，连接E8,ED.

（1）求证：四△OEC；

（2）延长BE交AO于点R若NDEB=140°,求NAfE的度数.

师：如何证明全等？

生：（预设）根据正方形的轴对称性即可证明.

师：如何求NAFE的度数？

生：（预设）根据已知条件可求出△人正中内角的度数，利用三角形内角和即可求出.

师：正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有

这些图形的所有性质，利用这些性质可以为我们完成题目提供重要的信息.

解析：

（1）根据正方形的对称性可知△8EC<△DEC；（下一步）

（2）图中NDEC=ZBEC=ZAEF,ND4c=45°,再根据三角形内角和求N

AFE的度数.

答案：

（1）证明：•.•四边形A8CO是正方形，

：.CD=CB,

•••AC是正方形的对角线，

：.ZDCA=ZBCA,

又CE=CE,

:.ABEgADEC.(下一步)

(2)解：■:NDEB=140°,

由可得NOEC=NBEC=140°-2=70°,

/.ZAEF=ZBEC=70°,

又；AC是正方形的对角线，ZDAB=9Q°,

：.ZDAC=ZBAC=90°+2=45°,

在△AEF中，ZAFE=18Q°-70°-45°=65°.

类似性问题

1.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是()

A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.矩形

类似性问题

2.如图，点E是正方形A3CD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB,EA,延长

BE交边AD于点F.

(1)求证：AADE丝ABCE；

(2)求乙4尸8的度数.

解析：

(1)利用正方形和等边三角形的性质证明.(下一步)

(2)在证明的基础上，利用等腰三角形的两底角相等的性质求

解.

初步性问题

探究类型之二正方形的判定

例2如图所示，顺次延长正方形A8C。的各边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,

且使BE=CF=OG=AH.求证：四边形EFG"是正方形.

师：如何证明四边形是正方形？

生：（预设）先证四边形是菱形，再证一个角为直角.

师：如何证明四边形是菱形？

生：（预设）四条边都相等.

师：如何证明四条边都相等？

生：（预设）利用全等证明.

解析：

此题先根据正方形ABCD的性质，可证△AEHg△8庄乡△CGF^/\DHG（HL）,

得四边形EFGH为菱形,再求一个角是直角从而证明它是正方形.

答案：

证明：•••四边形A8CD是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,/EBF=/HAE=/GDH=NFCG,

又,：BE=CF=DG=AH,

CG=DH=AE=BF,

：.AAEH^△CGF^/\DHG^/\BFE,

：.EF=FG=GH=HE,4EFB=NHEA,

四边形EFGH为菱形.

"：ZEFB+ZFEB=90a,ZEFB=ZHEA,

：.ZFEB+ZHEA=^°,

...菱形MG”是正方形.

师：那么下面我们利用另外一种判定方法来证明，完成一道练习题.

类似性问题

3.已知：如图，在中，NACB=90°,C。为NACB的平分线，DELBC于

点E,皿UAC于点尺

求证：四边形CE0F是正方形.|\

解析：cEB

先判定四边形是矩形，再证明有一组邻边相等.

考点63梯形

师：学习完了几类特殊的平行四边形，让我们一起学习梯形.同学们先回忆一下梯

形的概念、性质及判定方法.

回顾：

1.梯形的有关概念

梯形：（下一步）只有一组对边平行的四边形叫做梯形.（下一步）

两类特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形.

2.等腰梯形

定义：（下一步）两腰相等的梯形叫等腰梯形.（下一步）

性质：（下一步）（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等；

（2）等腰梯形的两条对角线相等.（下一步）

说明：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点所在的直线.（下一步）

判定：（下一步）（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.（下一步）

3.辅助线的作法

在梯形中通常作腰的平行线，构成平行四边形、三角形，利用平行四边形的性质，

把分散的条件集中到一个特殊图形中.辅助线作法一般有如下四种：（下一步）

（1）移动一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形

和一个三角形.（下一步）

（2）从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.（下

一步）

（3）移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四

边形来研究梯形.（下一步）

（4）延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分

别以梯形两底为底的等腰三角形.（下一步）

4.梯形的中位线

梯形的中位线：（下一步）连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（下一步）

梯形中位线定理：（下一步）梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.

师：接下来我们来看一道例题.

初步性问题

探究类型之一梯形

例1如图，在梯形A8CD中，AD/7BC,ZB=90°E

为A8中点，EF〃DC交BC于点、F,求Eb的长.

师：如何求线段的长?

生：（预设）平移一腰，利用三角形中位线证明.

师：解决梯形问题的基本方法是：（1）平移一腰；（2）过同一底上的两个点作高；（3）

平移对角线；（4）延长两腰.

解析:

平移一腰，即过点A作（在图中作出），把梯形转化为平行四边形与三

角形.

答案：

解：过点4作

：.ZC=ZAGB=45°

•:AD〃BC,

：.四边形AGCD是平行四边形，

：.GC=AD,

：.BG=BC-AD=4~l=3,

在RtAABG中，AG=y]2BG2=372,

,:EF〃DC〃AG,又E为4?重点，

，EE是三角形AG8的中位线，

.“1“3&

・・EF=—AG=---・

22

初步性问题

探究类型之二等腰梯形的性质

例2如图，在梯形A3CQ中，AD^BC,AB=DC,E是3c的中点，连接AE,DE,

求证：AE=DE.

师：如何证明线段相等？B乙----¥----

生：（预设）利用三角形全等证明.

师：等腰梯形是一类特殊的梯形，它的特殊之处在于两腰相等.除了梯形本身的性

质，它还具有哪些性质？

生：对角线相等；同一底上两个底角相等.

解析：

利用等腰梯形的性质证明△ABEgZSOCE后，利用全等三角形的性质即可证得

两对应线段相等.

答案：

证明：•••梯形A3CO是等腰梯形，，NB=NC

；E是的中点，BE=EC.

在AABE和△OCE中，

rAB=DC,

NB=NC,

BE=EC.

：.AABE名/\DCE,：.AE=DE.

初步性问题

探究类型之三等腰梯形的判定

例3如图，在四边形A8CO中，DB平分NADC,ZABC=120°,ZC=60°,

ZBDC=30°；延长CO到点E,连接AE,使得NE=，NC.

2

(1)求证：四边形ABQE是平行四边形;

(2)若。C=12,求AO的长.

解析：

(1)利用已知得出A8〃OC,即A5〃EO以及AE〃B。进而得出结论；(下一

步)

(2)根据已知，ZC=60°,ZBDC=30°,得出ND8C=90°,利用OC=：L2,

得出AD=BC=-DC.

2

答案：

(1)证明：VZABC=\20°,ZC=60°,ZABC+ZBCD=180°,

；.AB〃DC,即AB//ED.

又,.,NC=60。，Z£=-ZC,ZBDC=30°.

2

：.ZE=ZBDC=30°，:.AE〃BD,

二四边形ABDE是平行四边形.

(下一步)

(2)由(1)问，AB〃DC.

...四边形ABC。是梯形.

•；。8平分/4。。，ZBDC=30°,

AZADC=ZBCD=60°,

，四边形A8CO是等腰梯形，

:.BC=AD.

•.•在△38中，ZC=60°,ZBDC=3Q°,

ZDBC=90°.

又已知DC=12,

：.AD=BC=-DC=&.

2

师：如何证明四边形是平行四边形？

生：（预设）证明两组对边分别平行.

师：如何证明平行？

生：（预设）通过同旁内角互补和同位角相等证明.

师：如何求线段的长？

生：（预设）找等量线段，然后利用直角三角形的性质或锐角三角函数求.

师：证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相

等，或对角线相等即可

考点64四边形的动态问题

师：同学们先了解一下什么是动态几何问题.

回顾：

动态几何问题，是指以图形为背景，渗入运动变化的几何问题.常见的有动点问

题、动线问题、动形问题，这类题型已成为中考命题的一个热点.（下一步）

解决这类问题的策略,简而言之,就是同学们耳熟能详的八字诀“动中分析,静中

求解”.

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型四边形的动态问题

师：动态几何问题是近年兴起的一种新题型，要求我们全面整体地把握题目的意思,

对于我们的综合能力要求比较高，做题中重点注意不要漏掉某些特殊情况.

例如图，矩形A3C。中，点P是线段AO上一动点，。为3。的中点，PO的延

长线交于。.

（1）求证：OP=OQ；

（2）若A£>=8cm,AB=6cm,P从点A出发,以1cm/s的速度向。运动（不与。

A

重合）.设点P运动时间为/s,请用1表示P。的长，并求，为何值时，四边形P8QD

是菱形.

(1)

解析：

根据平行四边形性质，证明△P。。且△。。氏

答案：

证明：•.•四边形ABCO是矩形，

:.AD〃BC,

.'.ZPDO=ZQBO,

又OB=OD,NPOD=/QOB,

：.APOD^/^QOB,

：.OP=OQ.

(2)

方法一：

解析：

当四边形PBQD是菱形时，PQ1BD,可由△OOPs/ViOB,利用丝=42求

解.

答案：

解：AP=tcm,PD=(8-r)cm.

•.•四边形ABC。是矩形，

.•.NA=90°,

"."AD=8cm,A8=6cm,

.,.BD=IOcm,

.•.00=5cm.

当四边形P8。。是菱形时，PQLBD,

：.ZPOD=ZA,

又NODP=NADB,

:.△ODPs^ADB,

.ODAD58

••=,Hn---=—,

PDBD8T10

7

解得

4

7

即运动时间为;秒时，四边形PBQD是菱形.

方法二：

解析：

当四边形是菱形时，PB=PD,在RtaABP中利用勾股定理求解.

答案：

解：AP=tcm,PD=(8-/)cm.

当四边形P3。。是菱形时，P8=PD=(8-f)cm,

•••四边形ABC。是矩形，

AZ4=90°,

在RtZkABP中，AB=6cm,

:.AP2+AB?=BP2,

，t2+62=(8T)2,

解得f=Z,

4

7

即运动时间为小秒时，四边形P8QO是菱形.

4

师：如何证明线段相等？

生：(预设)利用全等或者三角形一边平行线的性质定理证明.

师：如何求f值？

生：(预设)当四边形是菱形时，四条边都相等，则可根据勾股定理求值.

师：还有别的方法吗？

生：(预设)根据对角线互相垂直可利用相似三角形或锐角三角函数求解.

类似性问题

如图所示，在梯形ABC。中，AD〃BC,ZB=90°,AB=14cm,40=所cm,BC=21

cm,点P从点A开始沿AO边向点。以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿

CB边向点3以2cm/s的速度移动，如果P,。分别从点A,C同时出发，设移动

时间为，秒，求/为何值时，梯形PQC。是等腰梯形？

解析:

如图，因为AQ/6C,等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形P。。。是等腰梯

形，可以利用QN=MC列方程求解.(下一步)

特别需要注意的是P,。的运动方向是相反的.

答案：

解：设P,。运动到如图位置时，梯形PQCO是等腰梯形，平移A8到PN,DM

位置，由平移的性质，得QN=MC=BC-BM=8C-AQ=21-18=3(cm).

又QN=BN-BQ=AP-BQ=t~(21-2r)=(3L21),所以3L21=3,即r=8.

所以r=8时，梯形是等腰梯形.

师：通过今天的学习，我们可以看到几何动态问题，是一类综合应用问题，解决问

题的方法很多，选择其中一种自己擅长的完成即可.

考点65中点四边形

师：下面我们来回顾下线段垂直平分线的定义、性质及判定方法.

回顾：

L顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.(下一步)

2.常用结论：(下一步)

(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；

(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；

(4)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.

师：这些常用的结论，同学们都会证明吗？证明过程中，都运用了哪些性质和定理？

生：矩形、菱形还有正方形的性质，中位线定理.

师：那我们今天学习的内容就主要运用这些性质和定理完成.

初步性问题

探究类型中点四边形

例如图，四边形ABC。中,AC=a,BD=b,且AC,3。,顺次连接四边形ABC。各边中

点，得到四边形44GA，再顺次连接四边形AqG。各边中点，得到四边形

482Gz)2,…，如此进行下去，得到四边形4，纥.下列结论正确的有(|)

①四边形是矩形；

②四边形A4B4c4A是菱形；

③四边形4为。5a的周长审；

④四边形A“B,C”&的面积是丝.

〃""""2"+i

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

师：四边形482G3是矩形吗？

生：（预设）不是，是菱形.

师：也就是说？

生：（预设）连接矩形各边中点的四边形式菱形.

师：第二个呢？

生：（预设）正确，当〃为偶数时，4坊「a是菱形.

师：第三个命题呢？

生：（预设）正确，agCQ的周长是。+力，的周长是3!出，465Go$的周

师：第四个命题呢？

生：（预设）正确，根据已知条件，每个四边形的面积都是前一个四边形面积的一半.

解析：

①连接AG，BR.

•.•在四边形ABC。中，顺次连接四边形A8CO各边中点，得到四边形4耳GA，

AQ〃BD,B|G〃BD,C,D,//AC,Ag〃AC,

...AR//B£,A4//C,Dt,

•••四边形44G2是平行四边形.

'：AC±BD,

...四边形A£G"是矩形，

...BQ=4G（矩形的两条对角线相等）；

/.AD2=C2D2=C2B2=B2A（中位线定理），

...四边形482G4是菱形，

故本选项错误；（下一步）

②由①知，四边形A&GA是菱形，

根据中位线定理知，四边形A484aA是菱形，故本选项正确；（下一步）

③根据中位线的性质易知，~—A四工一X—AlB[--X—X—ACf

22222

BSC5=-B,Q=-X1B,C,=-X-!-xifiD,

55222222

/.四边形gCsA的周长是2X；（“+/；户笥2,故本选项正确；（下一步）

④・•,四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_L8£>,

••S四边形ABCD=abr2.

由三角形的中位线的性质可以推知，

每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形的面积是第，故本选项正确；（动图）

综上所述，②③④正确.故选C.

师：让我们一起完成几道相应的练习题.

类似性问题

1.如图,顺次连接矩形ABGA四边的中点得到四边形4与62，再顺次连接四边形

四边的中点得四边形4员。3。3,…，按此规律得到四边形4纥Q9.若矩

形44GA的面积为24,那么四边形A“B”C”D”的面积为.

Bl

B2G

解析：

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的

一半.

师：这道题目的解题思路和例题的第4