高中数学新人教A版选修数学：第二章《圆锥曲线与方程》 同步练习三

第二章圆锥曲线与方程单元测试

A组题(共100分)

选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.方程x=13y2—1所表示的曲线是()

(A)双曲线(B)椭圆

(C)双曲线的一部分(D)椭圆的一部分

v-2v222

2.椭圆±+二=1与双曲线二一2_=1有相同的焦点，则。的值是()

4a2a2

11

(A)-(B)］或-2(C)1或Q(D)1

22

3.双曲线二-2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()

a"h

(A)2(B)百(C)V2(D)-

2

4.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()

(A)x2=-28y(B)/=28x(C)y2=~28x(D)x2=28y

5.抛物线/=4x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是()

(A)(9,6)(B)(6,9)(C)(t6,9)(D)(9,±6)

填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

x2y2

双曲线兀的两个焦点分别为匕、双曲线上的点到的距离为则到

6.=1F%Ph12,PF2

的距离为.

22

7.双曲线--'=1的焦点到渐近线的距离等于

54

8.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为.

9.已知点P(6,力在抛物线y2=2px(p>0)上，F为抛物线焦点，若|PF=8,则点F到抛物线准

线的距离等于

三.解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

y2

10.双曲线二一二句(a>0,b>0),垂点％的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m,另一

ab-

焦点为F2，求ZXABF2的周长.

11.焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,-3)到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.

12.已知抛物线y2=6x,过点P(4")引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线/的方

程.

B组题（共100分）

四.选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

13.如果双曲线日-21=1上一点P到它的右焦点的距离是8,

那么P到它的左准线距离是

6436

()

、96、86、8583

(A)—(B)~(C)~(D)—

o6

2.22

x让。与双曲线与有

14.设。<k</,那么双曲线二=i7-=1)

（A）相同的虚轴（B）相同的实轴（C）相同的渐近线（D）相同的焦点

1_

15.抛物线片£x2（a/0）焦点坐标是)

一

(B)(0,I)111

(A)(0,)或(0,(C)(0,—)或(0,-石）（D）（。，石）

2

16.若抛物线y=2px（p>0）上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值等于

()

（A）2或18（B）4或18（C）2或16(D)4或16

17.过抛物线/=2Px（p>0）的焦点F作一条直线/交抛物线

于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线/的位置关

系是（）

（A）相交（B）相离（C）相切（D）不能确定

五.填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

2，

18.若方程」—+工=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则

Ik1-21-k

它的半焦距c的取值范围是.

19.若双曲线与椭圆二+匕=1有相同焦点，且经过点（、后,4）,则该双曲线的方程

2736

为____________

20.在直角坐标系*。丫中,有一定点人（2,1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p>0）

的焦点，则该抛物线的准线方程是.

21.点M到点F（0,-2）的距离比它到直线/：y-3=0的距离小1,则点M的轨迹方程是.

六.解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.己知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为

y±瓜=0,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.

23.双曲线=一二=1(。＞0方＞0)满足如下条件:(1)ab=g;(2)过右焦点F的直线/的斜率为

ah

叵，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.

2

24.过抛物线片x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、0B,抛物线的顶点。在直线AB上的射影

为P,求动点P的轨迹方程.

C组题(共50分)

七.选择或填空题：本大题共2题。

25.双曲线/一＞2=i右支上一点pg,b)到直线/：y=x的距离［=后则a+b=()(A)

1111

--(B)-(C)一或一一(D)2或-2

2222

26.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+l)相交于A、B两点，则aAOB的形状是.

八.解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27.直线y=kx+l与双曲线X?-y2=i的左支交于A,B两点，直线/过点(一2,0)和AB的中点，求

直线/在y轴上截距b的取值范围.

28.如图所示，点尸(a,0)(。〉0),点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且

PMPF=0,PN+PM=0*

(1)求点N的轨迹C的方程；

(2)过点b(a,0)的直线/(不与x轴垂直)与曲线c

交于A,B两点，设点K(-a,0),蔡与慈的夹角为。，求

TC

证：0＜。＜一.

2

参考答案

A组

一、1、C.2、D.3>C.4、B.5、D.

二、6、答：2或22.||PF2|-12|=2a=10,A|PF2|=12±10.

7、答：2.焦点F(3,0)到渐近线2x-&y=0的距离为爷=2.

8、答：y2。或x2=-8y.当抛物线焦点在X轴上时，设抛物线方程为黄二以，P点代入解得。=

1；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为X?二ay,P点代入解得。=—8..♦•抛物线方程为

y2=x或x2=-8y.

9、答：4.由PF|=6+5=8^p=4,即焦准距等于4.

三、10.解V|AF2|-|AF1|=2a,|BF21-|AFx|=2a,

."•(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=4a,

又|AFi|+|BF/=|AB|=m,

|AF2|+|BF2|=4o+(|AF1|+|BF1|)=4a+m.

.♦.△ABF2的周长等于IAF2I+IBF2I+|AB|=4a+2m.

11、解：依题意，设抛物线方程为为x2=-2py(p>0)

点P在抛物线上，到准线的距离为5,又点P到x轴的距离为3,所以准线到x轴的距离

为2,.W=2,；.p=4,.,.抛物线方程为x?=-8y.

12、解：设/交抛物线于A(X1M)、B(X2J2)两点，由y/=6Xi、为2=6*2，

得仅1一力)伊1+丫2)=6,1一X2),

又P(4,1)是A、B的中点，.”+丫2=2,

.••直线/的斜率k=色二拄=3,.♦.直线/的方程为3x-y-11=0.

X1—X2

B组

四、13、选A.设P到右焦点的距离为|PF/=8,则P到左焦点的距离|PF2|=2a+|PFj=24.

e]到左准线的距离号.

14、选D.

15>B.将抛物线方程化为x2=ay,当a>0时，p=*焦点为。：)，

当a<0时，p=—焦点为。一的，也是(0,~).

16、A.

1

17、C.设AB中点为M,ADJJ于D,BCJJ于C,MNJJ于N.；|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=]

1

(|AD|+|BC|)=,AB|,...以AB为直径的圆于抛物线的准线/相切.

l-k<Q

五、18、(1,+8),二•双曲线的焦点在y轴上，°八，.”>2.

K-2>0

/.c2=k_l+k_2=2k_3>1,c>l.

22

19..•.双曲线的方程为匕-2=1.

45

20.答：x=-j.•；OA的垂直平分线的方程是y-3=-2(x-l),令y=0得到抛物线的焦点为

(-,0),.•.抛物线的准线方程为x=-生

44

21、答x2=-8y.设M(x,y),依题意，J(x_())2+(y+2产=_3卜1且y<3.

化简得x2=-8y.

六、22.解设双曲线方程为3x?二k(kW0),

当k>0时，/二女此时焦点为(0,±瓦)，

33-V3

由题意得3=匕_，解得k=27,双曲线方程为y2-3x2=27；

2

当k<0时，a2=——,b2=—k,c2=一㊁火,此时焦点为(士,0),

33-V3

22

由题意得3=匚而，解得k=-9,双曲线方程为y-3x=-9,

2

即3x?-y2=9.

所求双曲线方程为

y2-3x2=27或3x2-y2=9.

23.解:设直线/:y='卫(x-c),令x=0,得P(0,互c),

22

2c2

x=------=—c

1+23

设入=吆0=2,Q(x,y),则有.

后

\QF\c

v_2_

1+2

又Q(gc,-乎C)在双曲线上，b2(gc)2-/(一筌c)2=a2b2,

222

Vo+b=c,-(1+^T)-—(^+1)=1,解得4=3,又由ab=百，可得I：=1

9a212b2a2[b2=3

所求双曲线方程为x2-^-=l.

3

24解法设

P(x,y),4(占，%),B(z,%)，5：>=依+b,(b*0)

0X

y=kx+b,.

由，消去y得：x~-kjc-b=O,xx--b.

y=x,y2

VOA_LOB,，OAOB=0,...玉々+%为=0,

所以玉%2+(X/2)2=—b+(~b)2=0,b#0,

b=l,直线AB过定点M(0,1),

又。PLAB,...点P的轨迹是以OM为直径的圆(不含原点。)，

...点P的轨迹方程为x2+(y--)2=-(y>0).

解法二：设P(x,y),/OB：y=kx,/0A：y=-/x,分别代入y=x?,

得3优,%2),A(--,-y).

kk

[QP^P=Q[x2+y2-kx-k2y=O

由得1,XV，消去k得点P的轨迹方程为

0PAp=0x2+y2+--^-=O

iIkk~

x2+y2_y=O(y>0).

c组

a-h

七、25、选B.\•点P在直线/：y=x的下方，所以b<o,所以d=O得a-b=2,又

(i~-h~—I,/,a+b=-.

2

'1,2=-X

26、答：直角三角形.由《'得公x?+(2公+13+%2=0,

y=左(x+1)

设A(X"V1)、B(X242)，

,,2k2+1

,/XXX2+yi/2=*1*2+k(Xi+1)(X2+l)=l+r(l—k2+1)=0,

OA•OB=0,.，.OA±OB,所以^AOB是直角三角形.

八、27.解：设A(Xi,yJ,B(X2,y2),将直线y=kx+l与x2—y2=l联立得

(l-k2)x2-2kx-2=0................①，

又l-k2H0,方程①有两个不大于一l的不等实根，

4/r2-4(l-/:2)(-2)>0

A>0

2k

々)<—2即《<-2

\-k2

(玉+l)(x+1)>0

2-22k

---------T+1>0

l-k2l-k2

LtI

解得l<k<J2;AB的中点为(----7,——7),

l-k2l-k2

直线/的方程为y=—」------(x+2),截距b=