新初二数学暑假讲义-华师大版

目录

第

1页

第一讲平方根和开平方...........

第

8页

第二讲立方根....................

第

页

第三讲实数与实数运算............12

第

第四讲数的开方全章巩固..........19页

第

页

第五讲球的运算...................23

第

29页

第六讲同底数赛的除法............

第

33页

第七讲整式的乘法.................

第

39页

第八讲乘法公式...................

第

45页

第九讲整式的除法.................

第

50页

第十讲因式分解——提公因式法……

页

第56

第十一讲因式分解——公式法......

页

第62

第十二讲整式乘除全章巩固........

页

第66

第十三讲勾股定理.................

页

第73

第十四讲一次方程和方程组复习……

页

第77

第十五讲一次不等式和不等式组复习

第一讲平方根和开平方

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要点一、平方根和算术平方根的概念

i.平方根的定义

如果f=a,那么x叫做。的平方根.求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.。叫做被开方数.平

方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数。的两个平方根可以用"±6"表示，其中G表示。的正平方根（又叫算术平方根），读作“根

号a”；表示a的负平方根，读作“负根号a”.

要点诠释：当式子G有意义时，a一定表示一个非负数，即G20,a20.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：±&和

2.联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0.

要点三、平方根的性质

aa>0

\fa^=|a|=v0a=0

-aa<0

（6）=a>0）

模块一N平方根和算术平方根的概念

下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根

C.（-4）2的平方根是一4D.0的平方根与算术平方根都是0

2

举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

(1)—9没有平方根.()

(2)716=±4.()

1,1

(3)(―」-A的平方根是士±.()

1010

(4)――2是汽的算术平方根.()

I5|25

_____________________________________________________________________

已知xT的平方根为±2,3x+yT的平方根为±4,求，3x+5y的算术平方根.

举一反三：

【变式】已知2。一1与一。+2是的平方根，求加的值.

KSlk_______________________________

X为何值时，下列各式有意义？

(1)V%2；(2)\Jx-4；(3)Jx+1+J1-x；(4)------.

九一3

举一反三：

【变式】已知b=4j3a—2+2j2—3a+2,求的算术平方根.

ab

3

模块二卜平方根的运算

例题4■

求下列各式的值.

(2)J20---^/036--^/900.

(1)J252—242.432+42；

V435

模块三利用平方根解方程

求下列各式中的x值,

(1)169x2=144(2)(x-2)2-36=0.

求下列各式中的X.

(1)%2-361=0;(2)(x+l『=289；(3)9(3x+2)'_64=0

___模_块四i平方根的综合应用QI

要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米.求长和宽各是多少米？

4

举一反三:

【变式】小丽想用一块面积为400c的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cmz的长方形纸

片，使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

若x,y为实数,且满足,4x-1+|y-|=Q-求、4x2+4xy+y2的值.

举一反三：

【变式】若JE+历1=0,求1°“+尸。12的值.

课堂演练

选择题

1.4的平方根是（）

A.±2B.-2C.2D.±-

2

2.下列各数中没有平方根的是（)

A.（—3）2B.0C.-D.-63

8

3.下列说法正确的是（）

A.169的平方根是13B.1.69的平方根是±1.3

C.（—13）2的平方根是一13D.-（-13）没有平方根

4.要使代数式向5有意义，则x的取值范围是（）

A.x#2B.x>2C.x>2D.x<2

5,下列各等式中，正确的是()

A-W(-3)2=-3B,土仔3

口（产）/3D.仔±3

5

6.一个数的算术平方根是a,则比这个数大8数是()

A.a+8B.a—4C.a1—8D.a2+8

二.填空题

7.计算：(1)7121=;(2)-7256=；(3)土工^=；

(4)疗=；(5)J(-3)2=；(6)-^2^=_____.

8.9的算术平方根是.

9.1U的平方根是；0.0001算术平方根是：0的平方根是

25—

10.J(-4＞的算术平方根是：庖的算术平方根的相反数是.

11.若一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2,则a=,这个正数是

12.V3表示3的；±V3表示3的.

三.解答题

13.求下列各式中的X.

(1)x2-143=1；(2)4X2-1=0；(3)4(X+2)2=25.

14.福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10nl的正方形，计划扩大后绿化带

的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长.

15.思考题：估计与V35最接近的整数.

6

、课堂巩固

—b.选TF磔

1.下列说法中正确的有（）.

①只有正数才有平方根.②-2是4的平方根.③J话的平方根是±4.

④标的算术平方根是⑤（-6尸的平方根是-6.@弧=±3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若帽=同一4,则估计m的值所在的范围是（）

A.l<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4</M<5

3.试题下列说法中正确的是（）

A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4

C.n是6的平方根D.-a没有平方根

4.若JUa,则a的值为（）

A.lB.-1C.0或1D.±1

5.有一个数值转换器，原理如下：

当输入的x=64时，输出的y等于（）

A.2B.8C.3夜D,272

6.下列运算正确的是（）

A.-J（_]3）2=13B.J（-6）2=—6C.—V25——5D.V9-±3

二.填空题

7.若Jl0404=102,WiJV1.0404=.

8.如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和5cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为

9.下列各数：81,—,1.44,2-,病的平方根分别是______；算术平方根分别是_________.

254—

10.（1）52的平方根是；

（2）（-5『的平方根是,算术平方根是；

（3）Y的平方根是,算术平方根是；

7

(4)(x+2)2的平方根是,算术平方根是.

11.痫的平方根为.

12.观察下列各式：旧孑24，，向=3需，，耳=4系，…请你找出其中规律，并将第n(n2l)个等

式写出来.

三.解答题

13.求下列各式中x的值.

①X2-25=0②4(x+1)2=16.

15.已知JR和I-2x互为相反数,且XHO,求上的值.

15.如图，实数a,b对应数轴上的点A和B,化简后+后_J(a-b)2_«a+b)2

AB

-------------------------4-------->

a0b

8

第二讲立方根

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要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果丁=。，那么x叫

做。的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：一个数。的立方根，用也表示，其中。是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运

算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相

同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

V-a=-\fa聒=a（孙

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位,它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如,

Vo.000216=0.06,W216=0.6,^216=6,^216000=60.

模块一立方根的概念

下列语句正确的是（）

A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0

B.一个数的立方根不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0

举一反三：

【变式】下列结论正确的是（）

A.64的立方根是±4B.-!是-［的立方根

26

C.立方根等于本身的数只有0和1D.47=-病

9

模块二立方根的计算

次下列节r式的■值:

(2)V11X43+52

(4)^27+7(-3)2-^T

举一反三：

【变式】计算：(1)0—0.008=_；(2)1心=

V64

.(4)31T=1

_____模__块_三卜立方根综合。I

_________________________________________________________

解方程:(x-2)3=-125.

举一反三：

【变式】求出下列各式中的a：

(1)若/=o.343,则。=；(2)若/—3=213,则a=

(3)若a1*+125=0,则a=__；(4)若(4-1)'=8,则。=

10

例I

在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒

量得铁块排出的水的体积为64a/,小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了

—cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

9万

举一反三：

【变式】将棱长分别为公搐和儿网的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长

为CM.（不计损耗）

课堂演练)

一.选择题

1.下列结论正确的是（）

273

A.上的立方根是B.-----没有立方根

644125

C.有理数一定有立方根D.（—if的立方根是一1

2.-8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.-夜

3.下列说法中正确的有（）个.

4?8?

①负数没有平方根，但负数有立方根.②一的平方根是土一，一的立方根是士-

93273

③如果/=（—2）＞那么x=—2.④算术平方根等于立方根的数只有1.

A.1B.2C.3D.4

4.x是卜囱『的平方根，y是64的立方根，则x+y=（）

A.3B.7C.3,7D.1,7

5.卬（_i）3的立方根是（）

A.-1B.0C.1D.±1

6.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根

与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0,其中错误的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①©©

11

二.填空题

7.若标=64,则.

8.-8的立方根与廊的平方根的和是.

9.若取+方=0,则x与y的关系是..

10.计算寸］一至=•

11.如果炳4=4,那么（a—67丫的值是__.

12.若（x-球=-8,则x=.

三.解答题

13.若42a—1和附1一3匕互为相反数,求囚的值.

b

14.已知5x+19的立方根是4,求2x+7的平方根.

15.已知M=m一乳旃是m+3的算术平方根，N=2m-4n+汨”是n_2的立方根，试求M-N的值.

12

第三讲实数与实数运算

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要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分

数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：①含n类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如石.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集一一实数集，实数集通常用字母R表

示.

1.实数的分类

按定义分：

"正有理数'

有理数＜零有限小数或无限循环小数

实数［负有理数

‘正无理数'

无理数无限不循环小数

负无理数

按与0的大小关系分:

’正有理数

正数＜

正无理数

实数《0

负有理数

负数＜

负无理数

2.实数与数轴上的点——对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0,负实数小于0,两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而

且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算

法则及运算性质等同样适用.

13

模块一实数概念

客数中的看k说数和无理数;

72,—,凡-V9,五衿,0,1-V2,575,0.1010010001

73

举一反三:

【变式】下列说法错误的是（）

①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；

③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.

A.①0③B.②③④C.①③©D.①②©

把下列各数分别填入相应的集合内:

次，0.3737737773

举一反三：

【变式】已知下列结论：

①任何一个无理数都能用数轴上的点表示；

②每个实数都对应数轴上一个点；

③在数轴上的点只能表示无理数；

④有理数有无限个，无理数有有限个；

⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数;

⑥-3是（-3）2的算术平方根.

其中正确的结论是（）

A.①②B.①②⑥C.③④⑥D.②④⑤

14

模块二实数大小的比较

例题3・

比较返二和1的大小.

2

举一反三：

【变式】比较大小

-7T―-3.14V7—V51_V22A/3—3722-衿―0

-3___-1\/10|-4>/3|____—(—7)

如图，数轴上的A,B,C,D四点中，与表示数比7的点数接近的点是（）

ABCD

♦・I------i------------«・>

-2-101224S6

A・点AB,点BC.点CD.点D

例I

已知实数1、y、z在数轴上的对应点如图所示，试化简:

Ix-^|-|>'+z|+|%+z|+^X.

x-z

xyo

模块三卜实数的运算

____________________________

化简：

(1)|V2-1.4|(2)|V7-|V7-4||(3)|1-V2|+|V2-V3|+|V3-2|

15

举一反三:

【变式】计算:(-2)2+lV2-H-病.

_____________________________________________________________________

若|a—2|+V^5+(c—4)2=0,则a—/?+c=.

举一反三：

【变式】已知(x+16)2+|.y+3|+J］与=0,求JR的值.

已知(a-20+l)2+J口=0,且％=4,求#7万豆的值.

举一反三：

.*a、-t*,Jx-3y+1x2—91„x,...

【变式】已知^---------Z-------=0,求一的值.

(x+3)2y

16

课堂演练

1.下列实数中，有理数是（）

A.V8B.3^c.AD.0.101001001

2.下列说法正确的是（）

A.无理数都是无限不循环小数B.无限小数都是无理数

C.有理数都是有限小数D.带根号的数都是无理数

3.估计工的大小应在（）

A.7〜8之间B.8.0〜8.5之间

C.8.5〜9.0之间D.9〜10之间

4.如图，数轴上点尸表示的数可能是（

A.J10B.C.D.

、、£、、r

-101234

5.实数2.6、/和2&的大小关系是（）

A.2.6<2\/2<5/7B.A/?<2.6<2>/2

C.2.6<<2A/2D.2V2<2.6<V7

6.一个正方体水晶砖，体积为100。/,它的棱长大约在（）

A.4~5cm之间B.5~6。机之间

C.6〜7cm之间D.7〜8c机之间

二.填空题

7.下列各数：①3.141、②0.33333…、③娓-五④31、⑤±夕2.25、⑥一2、⑦0.3030003000003…（相

3

邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中.其中是有理数的有；是无理数的

有.（填序号）

8.在数轴上与1距离是百的点，表示的实数为.

9.13.14-n|=；I2V3-3V2|=.

10.5-6的整数部分是，小数部分是.

11.已知x为整数，且满足在-血与G之间，则》=.

17

12.比较大小：V5-3____9----

--------2

三.解答题

13.计算：折（-1）235+（6-Jt）0-（-1）-2.

2

14.天安门广场的面积大约是440000加2,若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计

算器计算，精确到加）

15.已知x/x-2+1%2-3y-i3|=0,求x+y的值.

Q课后巩固

一.选择题

1.代数式/+1,石，（a-l）2,正中，一定是正数的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.如图，在数轴上表示数在义（-5）的点可能是（）

5

-------_£-------------1_---------1-------------1----

-5-4-3-2-101224s

A,点EB.点FC.点PD.点Q

3.要使3（3-2）3=3-女,女的取值范围是（）.

A.女W3B.k^3C.0〈女W3D.一切实数

4.有下列四个论断：①-工是有理数；②选是分数；③2.131131113…是无理数；④n是无理数，其中正

32

确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.若a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（）

A.«与&B.与C.正与物D.7^与y（-b）‘

18

6.实数x、y、z在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是()

-3-2-10I23

A.x+y+z>0B.x+y+zVOC.xy<yzD.xy<xz

二.填空题

7.L3.33……，生，一@，士提,().454455444555…，一廊，中，无理数的个

2222V27

数是个.

8.加〈0时，化简|，川+47+#房+机=.

9.计算：|指一夜|+|夜一1|一|3-6|=.

10.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，f=i,3=2,则产”+(-〃产9—3；2的值

11.比较大小：-工一立(填“>”、或"=").

22

12.设a=--2,b=-(-1),c="_27,则a、b、c中最大实数与最小实数的差是

三.解答题

13.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用连接：

-我,微,0,我.-5-4-2-101245>

14.已知实数x、y>z满足|4x-4y+l|+；J2y+z+（z-g]=0,求（y+z）・一的值;

15.已知A="—加+3是〈—加+3的算术平方根,B=2"+必加+2〃是“2+2〃的立方根,求B—A的

平方根.

19

第四讲数的开方全章巩固

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Q全章巩固（一）

选择题

i.下列说法正确的是（）

A.数轴上任一点表示唯一的有理数

B.数轴上任一点表示唯一的无理数

C.两个无理数之和一定是无理数

D.数轴上任意两点之间都有无数个点

2.下列说法中，不正确的是（）

A.10的立方根是如B.-2是4的一个平方根

C.W的平方根是2D.0.01的算术平方根是0.1

93

3.已知。、人是实数，下列命题结论正确的是（）

A.若a>b,则B.若a>|匕I,则

C.若I。I>8，则/D.若则/>从

则a的值是（)

7343

C.±-D.

8512

5.试题下列说法中正确的是（)

A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4

C.几是6的平方根之一D.一。没有平方根

20

6.下列说法中错误的是()

A.板中的a可以是正数、负数或零.B.8中的。不可能是负数.

C.数。的平方根有两个.D.数。的立方根有一个.

7.关于阮的叙述，错误的是()

A.而是有理数_

B.面积为12的正方形边长是任

C.VT2=2A/3_

D.在数轴上可以找到表示g的点

8.估算J6+2的值在()

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

二.填空题__

9.计算：1-V3I-V12=.

10.如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和5aM的正方形的面积的和，则这个正方形的边长

为_____.

11.-1(-0.125)2=.

12.若尤一12是225的算术平方根，则x的立方根是.

13.岳的平方根是.

14.-6的相反数是；1的倒数是；9的平方根是

2

15

15.比较大小：一J5—1,—V5-----,V2

2-------21

16.数轴上离原点距离是6的点表示的数是.

三.解答题

17-(1)计算弓-0.125：+IV3-2-Js-^+V3-^(-2)2

(2)一个正数的平方根是2x+4和-3x-2,求这个数的立方根.

18.已知：实数a、I满足关系式(a—2)2+卜+百|+J2009—c=0求:〃+c的值.

19.小丽想用一块面积为400c〃，的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使

它长宽之比为3：2,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

21

Q全章巩固（二））

选择题

1.已知。、人是实数，下列命题结论正确的是（）

A.若a>b,则标>/B.若|bI,则。2>/

C.若IaI>b,则/>/D.若/>/,则/>从

2.下列式子表示算术平方根的是（）

①7^7=3②J(-25)(-l)=5

(4)—序=5⑤±>/5H=±0.1⑥V?=>0)

A.@@④B.①④⑥C.①⑤⑥D.①②⑥

3.下列说法正确的有（）

①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；

③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.

A.①@③B.②③④C.①③④D.①②④

4.下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即土痛=4.②4是16的算术平方根，即灰=4.③一

7是49的算术平方根，即/（-7>=7.④7是（-7）2的算术平方根,即J（-7>=7.其中正确的是（）

A.①@B.②@C.②④D.①④

5.如图，四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个

实数中，绝对值最大的一个是（）

A.pB.qC.mD.n

6.若五=y+(y+2)MJ,则(x+y)刈,等于()

A.-1B.1C.320"1D.-320'4

7.己知：侬％=2.868,且一右=28.68,则。=()

A.2360B.-2360C.23600D.一23600

8.-27的立方根与刎的算术平方根的和是()

A.0B.6C.6或一12D.。或6

二.填空题

9.下列命题中正确的有(填序号)

22

(1)若a>b,那么2a>2Z?;(2)两数的和大于等于这两数的差;

(3)若a>b,那么标>b2；⑷若a>>,(>c则a>c;

⑸(a+b)+c=a+S+c)(6)一个数越大,这个数的倒数越小;

(7)有理数加有理数一定是有理数;(8)无理数加无理数一定是无理数；

(9)无理数乘无理数一定是无理数;

10.我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入:

HIZIE].小明按键输入IZHHH日显示结果为4,则他按键

HHHHHW输入显示结果应为

11.若。2=(-3)2,则。=,若/=(-3)2,则。=.

12.已知:石=4.858,后石=1.536,则J0.00236=.

13.已知a、b、c是AABC三边的长，则化简Jg-b-c)2-；a+b-c|的结果为

14.若7102.01=10.1,则土Ji.0201=.

15.计算：-辰+2卜3

16.数轴上A、B两点对应的实数分别是夜和2,若点A关于点B的对称点为点C,则点C所对应的实数

为.

ABC

-----1―!-----1----9-9-^--------->

-5-4-2-2-101夕345

三.解答题

17.计算："-际|1-加"(1-1)

18.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示一血，设点B所表示的数为m,

求m的值.

AB

—I-----------1~~--।----------L-»

-2-101?

19.求下列各式中的x.

23

(1)x2-361=0;(2)(X+1)2=289；

第五讲鬲的运算

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要点一、同底数塞的乘法性质

（其中加，〃都是正整数）.即同底数幕相乘,底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数塞相乘时，也具有这一性质，

即aman-ap=am+n+p（m,n,〃都是正整数