高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差同步练习

1.(多选题)已知随机变量X的分布列为

X-101

11

Pa

23

则下列式子正确的是()

A.P(X=0)=-B.a=-

36

123

C.E(X)=—D.D(X)=—

327

2.设随机变量X的分布列为

X-101

111

p

236

若Y=2X+2,则D(Y)等于()

,1c5-10c20

A.B.-C.—D.—

3999

3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分,反面向上得T分,则得分X的均值与方差分别为()

A.E(X)=O,D(X)=1B.E(X)D(X)=-

22

11

C.E(X)=0,D(X)=-D.E(X)=-D(X)=1

22

4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,

设与座位编号相同的学生的人数是&,则()

A.g的所有取值是1,2,3B.P(C=1)=-

2

C.E(€)=lD.D(4)=1

5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为

6.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上

的数字和为X,则D(X)=.

7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，

中雨天盈利90元.根据天气预报，明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率是0.3,有中雨的概率

是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少？

8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放

回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.

(1)求X的分布列、均值及方差；

(2)求Y的分布列、均值及方差.

扩展练习

1

1.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是且在各路口是否遇到

3

红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为()

A.V6B.3C.V3D.2

2142

2.若X是离散型随机变量,P(X=X1)=-,P(X=X2)=-,且x<X2,又已知E(X)=-,D(X)=-,则X1+x2的值

3339

为()

A.-B.-C.3D.—

333

3.已知离散型随机变量X的可能取值为x,=-l,x2=0,x3=l,且E(X)=0.1,

D(X)=0.89,则对应xbx2)X3的概率pi,pz,p：，分别为,,.

4.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球，

则两球恰好颜色不同的概率为,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白

球的个数的方差为.

5.已知随机变量X的分布列为：

X01X

11

PP

23

若E(X)=2£

3

⑴求D(X)的值;

(2)若Y=3X-2,求jD(y)的值.

6.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&,n,已知甲、乙两名射手

在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射

中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(1)求g,n的分布列；

(2)求"n的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.

7.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X,和X2.根据市场分析,X.和X?的分布列分别为

X,5%10%

P0.80.2

2%8%12%

x2

P0.20.50.3

(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Yi(万元)和丫2(万元)分别表示投资项目A和B所获得

的利润，求方差D(Yi),D(Yz);

⑵将x(0«00)万元投资A项目，(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润

的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最

小值.

参考答案

1.(多选题)已知随机变量X的分布列为

X-101

11

Pa

23

则下列式子正确的是()

A.P(X=O)=i1

B.a=-

36

123

C.E(X)=-D.D(X)=—

327

1ill

分析：选ABC.由分布列可知，P(X=O)=-,-----

3236

、1111

E(X)=(-1)X―t0X-+1X-=—;

2363

D(X)+1+步1。+小式1+户公

2.设随机变量X的分布列为

X-101

—1—1—1—

236

若Y=2X+2,则D(Y)等于()

1111/1\21/i、2

分析：选D.由题意知，E(X)=TX-+OX-+1义一二—一,故D(X)=(-1+-)X-+(0+-)X

520

D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4X.

99

3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分,反面向上得T分,则得分X的均值与方差分别为()

11

A.E(X)=0,D(X)=1B.E(X)=-,D(X)=-

22

1i

C.E(X)=0,D(X)=-D.E(X)=-,D(X)=1

22

分析：选A.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分,反面向上得T分,则得分X的分布列为

X1-1

0.50.5

所以E(X)=1XO.5+(-1)XO.5=0,

D(X)=(l-0)2X0.5+(-l-0)2X0.5=1.

4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,

设与座位编号相同的学生的人数是g,则()

1

A.g的所有取值是1,2,3B.P(C=1)=-

2

C.E(4)=lD.D(€)=l

分析：选BCD.C的所有可能取值为0,1,3,€=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号

为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，

21C11

则P(g=0)=-3=-；号=1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(&=1)H=-：

Al3Al2

，=3表示三位同学全坐对了，即对号入座，

11

则P(g=3)=研•所以g的分布列为

€013

111

P

326

111

E(€)=OX-+1X-+3X^1.

326

111

D(C)=-X(0-l)2+-X(1-1)2+-X(3-1)2=1.

326

5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为

分析：事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,则D(X)=p(bp),所以

p(l-p)=O.25,解得p=0.5.

答案：0.5

6.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上

的数字和为X,则D(X)=.

分析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.

，、或7,、CixC)7，、C^XC?1

P(X=6)T=—,P(X=9)=82p(X=12)=82

信15415415

771

贝I」E(X)=6X—+9X—+12X—=7.8,

151515

771

D(X)=—X(6-7.8)2+—X(9-7.8)2+—X(12-7.8)2=3.36.

151515

答案：3.36

7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，

中雨天盈利90元.根据天气预报，明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率是0.3,有中雨的概率

是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少？

分析：用X表示明天发一辆车的盈利，由题意知

P(X=230)=0.2.P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5,

所以E(X)=230X0.2+163X0.3+90X0.5=139.9(元).

所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元.

方差D(X)=(230-139.9)2X0.2+(163-139.9)2X0.3+(90-139.9)2X0.5

=3028.69,

标准差JD(X)八/3028.6%55.

所以方差和标准差各是3028.69,55.

8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放

回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.

(1)求X的分布列、均值及方差；

(2)求Y的分布列、均值及方差.

分析：(DX的可能值为0,1,2.若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=O)=萼

C1211

Q1

同理，有P(X=D=黄9P(X=2)=黄石

所以X的分布列为

X012

691

P

TT2222

=

所以E(X)0X—H1X—^2X—二一.

1122222

(2)Y的可能值为1,2,3,显然X+Y=3.

19

P(Y=1)=P(X=2)=—P(Y=2)=P(X=1)=—,

2222

P(Y=3)=P(X=0)=—.所以Y的分布列为

11

Y123

196

P

222211

ISIS

所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3­,D(Y)=(-1)2D(X)=—

2244

扩展练习

1.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是士且在各路口是否遇到

3

红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为()

A.V6B.3C.V3D.2

分析：选A.因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响,所以可看成3次独立重复试

验，

即X〜B(3,：),贝UX的方差D(X)=3xgx(l-1)=*所以Y的方差D(Y)=3?・D(X)=9x|=6,所

以Y的标准差为而=①.

2142

2.若X是离散型随机变量,P(X=xJ=-,P(X=x)且Xi<x,又已知E(X)=-,D(X)=-,则Xi+x的值

3232392

为()

5711

A.—B.-C.3D.—

333

分析：选C.

5

解得［无1_:或

(无2=2

因为X1<x2,所以X产1,X2=2,所以XI+X2=3.

3.已知离散型随机变量X的可能取值为x,=-l,x2=0,x3=l,且E(X)=O.1,

D(X)=O.89,则对应xbX2,X：；的概率p„P2,P：，分别为,,.

分析：由题意矢口,一PI+P3=0.1,1.21p,+0.01p2+0.81P3=0.89.

又p1+p2+p3=l,解得Pi=0.4,p2=0.1,p3=0.5.

答案:0.40.10.5

4.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球，

则两球恰好颜色不同的概率为,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白

球的个数的方差为.

分析：“有放回摸取”可看作独立重复试验，

21

每次摸出一球是白球的概率为p=-=-.

63

所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为c/x三—三)=2.“不放回抽取”时，设摸出白球

z3\379

C/_2

的个数为X,依题意得P(XR)济‘

/、C/C£/8..C?1

P(X=1)=^3=—,P(X=2)=专一

d15col15

2Q12

所以E(X)=0X-+1X—+2X—,

515153

DM(。-沪式用116

1545

答案e16

45

5.已知随机变量X的分布列为:

X01X

11

PP

23

若E(X)=2W

3

⑴求D(X)的值；

(2)若Y=3X-2,求JD(Y)的值.

分析：由分布列的性质，得＞1T1p=l,解得P=1±,

236

1112

因为E(X)=0X-■F1X■-x=-,所以x=2.

2363

/、/、/八2\21/2\21(、2\21155

(1)D(X)=(0-)X—+(1)X—+()X-=—二

\372k3/3k376279

(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,所以，。(丫)=，5

6.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&,n,已知甲、乙两名射手

在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射

中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(1)求n的分布列；

(2)求"n的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.

分析:(1)由题意得:0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为

0.3,0.3,0.2.

所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.

所以n的分布列分别为

€10987

P0.50.30.10.1

n10987

p0.30.30.20.2

(2)由⑴得E(g)=10X0.5+9X0.3+8X0.1+7X0.1=9.2;E(n)=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X

0.2=8.7;

D(C)=(10-9.2)2X0.5+(9-9.2)2X0.3+(8-9.2)2X0.1+(7-9.2)2X0.1=0.96;

D(n)=(10-8.7)2X0.3+(9-8.7)2X0.3+(8-8.7)2X0.2+(7-8.7)2X0.2=1.21.由于

E(&)〉E(n