高教社杯全国大学生数学建模竞赛数学建模

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：88888所属学校（请填写完整的全名）：##大学参赛队员(打印并签名)：1.###2.###3.####指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教师组日期：2008年9赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于综合收费模型对高等教育学费标准的探讨摘要学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。目前我国实施的高等教育收费政策尚未制定统一的标准，各大高校基本可以自由控制收费标准，这给学费收取造成了很多漏洞，导致收费混乱。因此，国家发展和改革委员会于2005年制定了《高等学校教育培养成本监审办法》，希望可以以此来规范高等教育的收费标准。高等教育包括研究生教育，普通本专科教育，成人本专科教育，以及其它学历教育。我们以普通本专科高等教育为例，探讨普通高校学费标准制定问题。本文采用理论联系实际的研究思路，先通过对前人文献的分析与理解，运用所学的知识，如相关和回归分析，从理论上对影响高校收费的因素进行全面、细致、客观的分析，找出关键因素。收费模型的建立需要分析主要影响因素，这六个主要影响因素分别是：全国高校在校生和招生总人数，高校的教育收费，国家财政性教育经费，高校生均事业费支出，城镇居民家庭人均可支配收入及城镇每户家庭人口数，农村居民家庭人均纯收入及农村平均每户常住人口。本文从这六大因素中提炼出以下三个最主要因素，分别是国家生均拨款、生均培养费用、家庭年平均收入。然后分析这三个最主要因素的构成，找出了一些具有说服力、代表性的指标。在分析和研究了当今我国高校收费的现状和普遍存在的问题之后，提出了简单的多元线性回归模型，且在相关和回归分析的基础上建立了符合实际要求的微分方程模型，综合这两个收费模型指导各个高校根据自身的实际情况，制定合理的收费标准，从而规范高校收费。模型求解和模型检验的结果表明，除了微分方程模型中变量家庭平均年收入的系数未通过P值检验外，这两个模型均适合于高等教育收费标准的制定，简单易懂，可操作性较高。以下两个方程为上述两个模型的结果：多元线性回归模型：微分方程模型：另外，本文还通过查找1998-2007年《中国教育经费统计年鉴》和《中国统计年鉴》统计出全国各地区高校在校生和招生人数、部分高校的收费情况、不同专业的在校生和招生人数、不同区域GDP情况，并依次说明他们对高校收费标准均有影响。随着教育成本、专业、经济、地域等主要影响因素的改变，适时给出学费制定标准调整的参考，使高校收费更加合理。关键词：高校收费标准国家生均拨款生均培养费用家庭年平均收入多元线性回归微分方程前言国外高校收费研究现状约翰·斯顿的“教育成本分担理论”主张受益的个人和机构应对教育成本进行补偿。高等教育的各种成本应由学生家长、学生本人、纳税人(政府)、慈善机构(社会捐赠)以及企业等共同承担。这对于我国是具有现实指导意义的。舒尔茨的人力资本理论看到了教育尤其是高等教育对于提高个人生产效率和收入的作用，主张个人进行教育储备和教育投资。外国学者Leslie、Brinkman将高等教育作为商品，将学费作为价格，利用需求曲线理论分析了学费的高低给学生就学带来的影响。Heller、James.L在前者的研究基础上得出结论：学费上扬，入学人数减少；学费下跌，入学人数增加。Bryan在通过对一所学校的实证分析之后，设计了学费价格模型，指出当学费上扬，学生人数开始下降，当学生人数下降到某一固定值，学费价格弹性明显增大，这个时候学费再有所变动，学生人数变化值可观。如果说人力资本理论说明了教育的经济价值及个人出资接受教育的必要性，教育成本分担理论则进一步说明了在国家财政不足以满足人们的教育需求时，采取向个人收取学费的必要性，而现实的收费原因却复杂得多，收费多少很难完全按照某一种理论模型来实际操作。我国高等教育收费机制目前，我国对高等学校的收费采取了集中统一决策的做法，即有关高校收费的宏观政策，由教育部提出建议，商国家计委、财政部同意后，联衔报国务院批准后执行；具体收费标准，由省级人民政府研究决定。高校收费制度包括八个相互联系、互为一体的方面：现阶段国家规定的收费项目只有学费和住宿费。住宿费标准现行规定按每生每学年800-1200元掌握。学费标准按所在学校年生均培养成本的一定比例确定。2000年至今，国家规定的收取学费的比例，占学校年生均日常运行成本的25%。学费可以逐步提高，但在提高时，一定既要考虑学校年生均日常运行成本，又要考虑政府对学校的投入水平、当地经济发展状况和社会的实际承受能力。每年收费标准的确定，允许因校因地而宜，不同地区的高校、不同类型的高校、同一高校内的不同专业，可以采取不同的收费标准。同一地区的高等学校，不管是省属还是中央部委所属的，一律执行所在地省级政府的规定。国家必须采取各种配套措施，确保每一个被录取的大学生都不会因收费而不能入学或完不成学业。国内高等教育收费研究现状我国学者对收费理论及影响收费的一些因素进行了比较深入的研究。他们的主要观点有成本定价说、比较收益说、差别学费说、支付能力说等。但由于收费因素相当复杂，很难提出一个相对合理的收费标准，这些研究仅仅停留在一个理论的层面。●成本定价学说王善迈，王序坤认为，高等教育学费标准的首要依据是高等教育的成本。认为，收费标准的高低应该与个人分担的教育成本的大小相关。●比较收益说王效仿认为，由于很多学科专业性强，介入门槛高，报考人数少而竞争性低；而一些人文社科类专业介入性门槛低，可低学历不容易找到理想的工作，机会成本低，然预期回报高，人们的投资意愿也就相应较高，其收费标准随之就高。●差别学费政策王善迈说，不同类别、不同专业、同一类别的不同教育质量的高校,学费标准应有区别。一般来说,名牌高校、平均教育成本高的高校、在未来劳动力市场中竞争性较强、收益较高的专业(一般是热门专业)，收费标准应该较高,学费标准应该因高校自身条件、所处地、专业等因素不同而有所差别。王善迈提出，学费标准的重要依据是学生及其家庭收入水平决定的支付能力。但现实操作中，发达地区有穷人,落后地区也有富人，这为按学生家庭收入水平分组制定不同的学费标准,或对不同家庭收入水平学生采取统一学费标准都带来了困难。[8]高等教育收费面临的困境：▲部分家庭承担高等教育费用比较困难▲高等教育收费缺乏有效率的资助体系的支持▲社会对高等教育收费认识不足：上世纪80年代末以前，我国实行免费的高等教育，长期的免费制使人们形成一种思维定式，即高等教育是“免费的午餐”。这无疑增加了高校收费改革的难度。▲高校处于尴尬境地：社会各界对高等学校的“乱收费”、“高收费”的批评之声不绝于耳。事实是自2000年以来，高校学费标准已被“冻结”了6年。在名义收费标准不变的情况下，由于物价上涨，这6年里高等教育的实际收费标准是下降的。再者，国家对高校的财政拨款的增速远落后于学生规模的增速。以1998年－2003年为例，根据《中国统计年鉴》（1999年-2005年）的数据计算，我国普通高校的学生规模增加了2.3倍，而同期财政拨款仅增加了1.4倍，高校的总收入也仅增加了1.8倍，生均教育经费下滑。其中，生均财政经费由1998年的10492元降至2003年的7586元，生均总教育经费由16157元降至15833元。[20]高等教育的成本正在稳步上升，特别是能源等日常费用和引进人才成本正不断攀升。在收入没有实质性增加和成本持续上升的共同作用下，许多高校的财务状况不断恶化。为保证学校的正常运转，一些高校不得不求助于贷款等非常规性经费渠道，债务规模不断累积，部分学校的贷款已远远超出其自身的偿还能力。有资料显示，到2005年底，全国高校的贷款余额已达到2000多亿元，已经超过2003年全国普通高校教育经费的总和，这是一个危险的信号。综上所述，结合目前国内外学者对高等教育收费标准的研究，我国高等教育收费的基本国情，本文从中获得相当大的启示与帮助。但是其局限性在于：首先，对影响收费标准的因素没有一个比较全面、系统的分析；其次，对于这些影响因素之间的关系，即不同因素之间是怎样的权重分配没有研究；再次，对于制订收费标准大多停留在理论层面，没有结合实际情况进行分析；虽然有的学者也提出了一些收费标准制定建议，但是也没有结合实例，进行更深入、更具体的研究。本文在前人的理论基础上，从数学、经济学的角度建立多个收费模型，希冀从一个较理性准确的角度去定量分析、以指导高等教育收费。一、问题重述高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据你们建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。二、问题假设1、进入高校后每年学费不变2、每个家庭同时只有一个孩子上大学3、收集的数据准确无误，忽略国家统计人员统计数据时产生的误差三、名词解释与符号说明根据高等学校教育培养成本监审办法有关条令：高校教育培养成本：人员支出、公用支出、对个人和家庭的补助支出和固定资产折旧；人员费用：教职工基本工资、津贴、奖金、社会保障缴费、其他人员支出；公用支出：指高等学校用于购买商品和劳务的支出。包括办公费、印刷费、水电费、取暖费、邮电费、交通费、差旅费、会议费、培训费、福利费、劳务费、租赁费、物业管理费、维修费、招待费和其他公用支出；对个人和家庭的补助支出：离退休费、抚恤和生活补助、医疗费、助学金、住房补贴和其他支出；固定资产：指与教育活动相关的、使用年限在一年以上，单位价值在规定标准以上，并在使用过程中保持原来物质形态的资产。包括房屋建筑物、专用设备、一般设备、交通工具、图书、其他固定资产六大类；固定资产折旧：房屋建筑物折旧：指历年所置房屋建筑物（包括附属设施）当年应提折旧额；各年房屋建筑物应提折旧额统一按当年房屋建筑物固定资产总值的2%（50年折旧期）计提。其中：已投入使用但未办理竣工结算的房屋建筑物可按估计价值暂估入帐，并计提折旧。设备折旧：指除房屋建筑物外的其它固定资产（不包括文物和陈列品）应提折旧额；设备按分类折旧率（专用设备按8年、一般设备按5年，其它设备均按10年折旧）计提折旧。按设备购置年限则已经提取完折旧的设备，不再计提。生均培养成本：指高等学校培养一个标准学生的平均成本；符号变量解释高校的招生人数（万元）高校的教育收费（元）生均培养费用（元）家庭年平均收入（元）国家生均拨款（元）、、、、、、系数变量、、附加函数关系符号四、问题分析与模型准备高等教育学费标准问题的研究要考虑很多因素，面对浩如烟海的大量数据信息，如何进行有效的甄别和筛选是解决高等教育学费标准制定问题的当务之急。高等教育包括研究生教育，普通本专科教育，成人本专科教育，以及其它学历教育。我们以普通本专科高等教育为例，探讨普通高校学费标准制定问题。本文分析和研究了高等教育收费现状，提出了通过建立高等教育收费微分方程模型，来指导各个高校根据自身的实际情况，制定出合理的收费标准，规范高校收费。影响高校收费标准的因素很多，包括全国高校在校生和招生总人数，高校的教育收费，国家财政性教育经费，高校生均事业费支出，城镇居民家庭人均可支配收入及城镇每户家庭人口数，农村居民家庭人均纯收入及农村平均每户常住人口，学校培养成本、学校类型、级别、所处地理位置、国家教育经费投入、所攻读的专业等等。部分相关关系见下图图片来源于文献[14]高等教育收费模型的建立需要分析主要影响因素，我们认为以下六个因素是影响收费最关键的因素，它们分别是：全国高校在校生和招生总人数，高校的教育收费，国家财政性教育经费，高校生均事业费支出，城镇居民家庭人均可支配收入及城镇每户家庭人口数，农村居民家庭人均纯收入及农村平均每户常住人口。本文从这六大因素中提炼出以下三个因素，分别是国家生均拨款、生均培养费用、家庭年平均收入，并将这三个因素作为自变量是进行模型研究的假设前提。然而影响这三个因素的因素很多，不能够收集到直接数据，因此本文将以上文提到的因素为基础，对影响这三个变量的相关因素进行数字化加权整合，从而得到能够准确描述这三个变量的数据。本文采用的相关因素加权整合方法，具有通用性；并且应用此种方法使我们的因素数字化有很强的容错性并具有很强的兼容性，可以同时综合分析很多对对变量有影响的方面，数据的可信度更高，能更全面的反映实际情况。五、模型的建立与求解数据收集与计算：首先，我们检索1996年—2008年的《中国教育经费统计年鉴》和《中国统计年鉴》，收集到需要的数据资料，它们是：全国高校在校生和招生总人数，高校的教育收费，国家财政性教育经费，高校生均事业费支出，城镇居民家庭人均可支配收入及城镇每户家庭人口数，农村居民家庭人均纯收入及农村平均每户常住人口。然后，录入EXCEL中保存。最后通过计算得到三个自变量国家生均拨款、生均培养费用、家庭年平均收入和因变量高校人均教育收费（以下简称学费）的数据。对于生均培养费用的计算：根据《高等学校收费管理暂行办法》（教财〔1996〕101号）第五条规定：学费占年生均教育培养成本的比例和标准由国家教委、国家计委、财政部共同作出原则规定。在现阶段，高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过25%。具体比例必须根据经济发展状况和群众承受能力分步调整到位。但是高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过25%（即生均教育经费支出占年生均教育培养成本的比例不低于75%），我们借鉴《全国教育经费执行情况统计公告》数据推算出：国家生均拨款=生均预算内教育经费支出=生均预算内事业费支出+生均预算内公用经费支出；生均培养费用=生均教育经费支出÷0.75；家庭年平均收入=0.5×（城镇居民家庭人均可支配收入（元）×城镇每户家庭人口数（人）+农村居民家庭人均纯收入（元）×农村平均每户常住人口（人））。以下表一，表二，表三，图一给出所得数据：年份生均预算内事业费支出生均预算内基建支出生均预算内教育经费支出19965956.711595.367552.0719976522.921842.378365.2919986775.191753.948529.1319997201.241713.78914.9420007309.581316.078625.6520016816.23977.217793.4420026177.96843.097021.0620035772.58749.896522.4820045552.5668.096220.6表一国家生均拨款推算数据（单位：元）年份生均事业费支出生均基建支出生均教育经费支出生均培养费用19967371.621993.979365.612487.4666719978349.962316.0310665.9914221.32199811019.762971.0513990.818654.4199911853.743377.515231.2420308.32200012815.263159.0615974.3221299.09333200112390.483054.7515445.2320593.64200212394.322725.2415119.5620159.41333200312147.762815.0114962.7719950.36200412122.222806.714928.9219905.22667表二生均培养费用推算数据（单位：元）年份城镇居民家庭人均可支配收入(元)农村居民家庭人均纯收入（元）城镇每户家庭人口数（人）农村平均每户常住人口（人）家庭平均收入（元）19964838.91926.13.204.4211998.9219975160.32090.13.194.3512776.64619985425.12162.03.164.3013219.95819995854.02210.33.144.2513887.667520006280.02253.43.134.2014560.3420016859.62366.43.104.1515542.6620027702.82475.63.044.1316820.3720038472.22622.23.014.101812662936.42.984.0820028.44200510493.03254.92.964.0822169.636表三家庭年平均收入推算数据图1总高校教育收费（学费）与在校学生与招生人数注：以上图表中数据是由1997-2005年的《中国教育经费统计年鉴》中相关数据计算而得；回归分析模型原理：回归分析法是一种处理变量间相关关系的数理统计方法，不仅可以提供变量间相关关系的数学表达式，而且可以利用概率统计知识对此关系进行分析，以判别其有效性；还可以利用关系式，由一个或多个变量值，预测和控制另一个因变量的取值，进一步可以知道这种预测和控制达到了何种程度，并进行因素分析。回归分析法就是以统计回归概念为基础，采用多种类型的回归法建立预测方程，包括一元线性、多元线性、非线性等。多元线性回归时要确定因变量与多个自变量之间的定量关系，它的数学模型为：y=β0+β1x1+…+βmxm+ε0其中，β0，β1，βm为待定参数；ε0为随机变量，是除x以外其他随机因素对y影响的总和。其中，称E(y)=β0+β1x1+…+βmxm为理论回归方程。在实际问题的研究中，事先并不能断定随机变量y与变量x1，x2，…，xm之间是否有线性关系，在进行回归参数的估计前，用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量x1，x2，…，xm之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。因此，当求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显著性检验，一般采用两种统计方法对回归方程进行检验，一种是回归方程显著性的F检验；另一种是回归系数显著性的t检验。5.1高等教育学费问题多元线性回归模型：5.1.1相关分析：本节以上面所收集的自变量国家生均拨款为，生均培养费用为，家庭年平均收入为，和因变量人均学费为数据为基础，以收费年为单位，进行多元回归模型分析。我们设高校的招生人数为连续变量，人均学费为，生均培养费用为，家庭年平均收入为，国家生均拨款为，显然它们都是招生人数的函数。年份19961477.1168497552.0712487.4666711998.92196.619971823.7460628365.2914221.3212776.64610019982144.7169268529.1318654.413219.958108.419992921.7114188914.9420308.3213887.6675159.720003463.601878625.6521299.0933314560.34220.620013927.7111677793.4420593.6415542.66268.320024324.2483957021.0620159.4133316820.37320.520034561.8861636522.4819950.3618126.171382.220044857.0836156220.619905.2266720028.44447.3用EXCEL对这五个量进行相关分析得到相关系数表如下：相关系数1-0.660910.774079-0.0744610.946554-0.804490.59955910.964599-0.816550.6038190.9898291从上表可以看出人均学费与国家生均拨款，生均培养费用，家庭年平均收入，高校的招生人数N的相关系数分别为：-0.6609，0.774079，0.946554，0.964599。说明人均学费与国家生均拨款成负线性相关，人均学费与生均培养费用成正线性相关，人均学费与家庭年平均收入成显著正线性相关。可以进一步解释，国家生均拨款增加，说明教育费用大量投入，人均分担的学费相应的降低，生均培养费用随之降低。自从加入WTO以后，中国家庭年平均收入呈现上升的趋势，同时也带来了物价的上涨等经济发展不平衡现象，人均学费也会相对的增加。通常,在相关分析的基础上必须拟合回归模型,以便进行定量分析。高校教育收费问题的多元线性回归模型为：(1)5.1.2模型求解：利用EXCEL回归分析输出结果中得到有关回归分析的统计量、方差分析表和回归系数及其检验、预测区间等数据。分析表中的计算结果,可得下述检验结果。InterceptCoefficientstP值置信区间-0.42641-8.2460.000172-0.55294-0.299880.2150895.4111390.0016460.1178260.3123520.1687474.585870.0037470.0787080.258787R2=0.99684299多元线性回归模型(1)的计算结果R2检验:在回归统计区域中,给出的R2为0.996903：调整后的R2为0.829204：均很接近1,说明因变量与自变量人均学费为，生均培养费用为，家庭年平均收入为，国家生均拨款为关系很密切。F检验:在方差分析区域中,给出的F检验值为643.7665，远远大于F0.025,Sig值几乎为0，说明因变量与自变量之间的回归效果非常显著。t检验:在回归模型区域中,给出了回归系数、、的估计值及其标准误差、检验值和回归系数估计区间,t的上下限等，各回归系数Sig值都小于0.05说明因变量与自变量之间的回归效果理想。综合上述计算结果和检验结果,可得如下的回归模型：(2)t=(-8.246)(5.411139)（4.58587）百分比排位5.5555561477.11716.666671823.74627.777782144.71738.888892921.711503463.60261.111113927.71172.222224324.24883.333334561.88694.444444857.084R2=0.996903，调整后的R2=829204，F=643.7665（附上样本百分比排位及正态概率图）5.1.3模型的进一步讨论与改进：我们在建立回归曲线时，通常要事先绘出点图，然后用肉眼判断采用何种类型的模型，再用相关性判断逼近的程度。具体的回归模型通常只有线性、指数、对数、乘幂、多项式等有限几种可供选用。事先绘出点图几乎是必备程序，增添了工作量。用肉眼判断采用何种类型的模型，增加了人为的因素，使选型不准确的概率大增。本文所建立的高等教育收费多元回归模型也存在上述缺陷，但是整体上来讲，高等教育收费多元回归模型的拟合效果理想，通过了检验。由于高等教育收费标准问题是多因素复杂问题，不能够完全考虑到所有的因素，这就决定了系统误差，是无法避免的。从而只有选取有很强代表性的主要影响因素来进行问题的研究，本文所采用的数据均采自自可信资源网站，这就减小了数据项误差，增加了模型的可信程度。同时我们还建立了第二个模型高等教育收费微分方程模型，再次进行定性分析和定量分析，以求找到本问题的最佳模型，为高等教育收费标准做出合理评估与制定。5.2高等教育学费问题的微分方程模型：当增大时,有减小；当增大时,有增大；当增大时，有增大；所以我们可假设的变化率与成负线性相关，而与、成正线性相关。于是，我们就得到了如下描述高校教育收费问题的微分方程模型（Ⅰ）(3)培养一个学生，费用基本上是“三三制”，即国家、学校、个人各解决三分之一左右。[17]由于生均培养费用由国家、个人（家庭）、学校三者分担，其比例一般为1:1:1，可是在我国这种比例效益不明显，我国一般采用“以财政拨款为主，其他多种渠道筹措高等教育经费为辅”的投入体制，所以这里的国家生均拨款和家庭因素已经占据主导。随着国家投入的增加，生均培养费用增加；随着家庭收入的增加，人们会更愿意投入子女教育，那么此时生均培养费用也增加。故而有其中>0是国家投入和家庭投入在生均培养费用中所占比例。进一步得到如下关于高校教育收费问题的微分方程模型(Ⅱ)(4)其中；变换后得到真正的微分方程模型(Ⅲ)(5)其中，。进一步,如果假设由去确定和,那么分别有=与=,其中和都是单调增加的函数,且可设≥0，≥0。此时,我们得到如下高校教育收费问题的微分方程模型(Ⅳ)(6)国家对教育的投入是一种宏观调配，反映国家对教育的重视程度，更反映了一个国家的实力，而家庭收入是人民生活水平的保障，从另一侧面也反映了也体现了国家的实力，两者关系不疏，我们不妨假设它们有如下关系：=那么，将上式代入(6)就可以得到微分方程模型（Ⅵ）(7)5.2.1高教收费问题微分方程的模型求解：根据以上数据，我们先考察R和N之间的关系，作散点图趋势拟合如下：我们得到R跟N的关系为：(8)取到0.989说明该对数曲线拟合比较成功。于是R对N求导得：(9)再将上表中数据代入(9)式即可得96年至06年的值年份199619971998199920002001200220032004R′(N)21.6420.919.36.525.474.67根据模型（Ⅰ）我们知道与、、有线性关系，通过线性拟合得到CoefficientstStatP-valueLower95%Upper95%γ(N)/元-0.001936851-5.5410118180.00145819-0.002792164-0.00108p(N)/元0.0005684011.7565576870.1295105-0.000223390.00136q(N)/元0.00511105411.239527072.964E-050.0039983470.006224方差分析dfSSMSFSignificanceF回归分析31667.504843555.8349477127.5527363.83109E-05残差626.146124214.357687368总计91693.650967其中R2=0.984562271三个系数分别为：=-0.0019，=0.00057，=0.00511，则实际情况下模型（Ⅰ）为：(10)从上述式子的系数看出对的系数为负，对和的系数为正。这里我们看到，随着、的增加，函数分别为减小、增大和增大，好像不符合上文的假设判断。其实不然，因为它们都是N函数，随着时间的推移，N也呈增大趋势，当N增大的速度比R快时，就显得在减小了，同样的道理，其它因素也存在这种现象，我们称之为“相对增长现象”。据有关专家论断生均培养费用由国家、个人（家庭）、学校三者分担，其比例一般为1:1:1，所以这里可以将设为2/3，那么。于是得到微分方程模型(Ⅱ.Ⅲ)：(11)另外我们在前面把和设为关于的函数，现在将这三个变量数据进行作图，并采用拟合效果比较好的多项式拟合得出一下关系式：(12)(13)其中在题中考虑的区间内及后段趋势都是单调增加,则不同，数据拟合显示≥0，≤0。这与假设存在出入,主要原因仍然是存在“相对增长现象”。此时，我们微分方程模型(Ⅳ)就可以改写为：(14)又根据建模时的假设，有=，再次对p和q的数据拟合得关系：(15)而模型（Ⅵ）的定解是将(12)和(15)代入（6）求得，即(14)式5.2.2高教收费问题微分方程模型的评价：该模型描述高校教育收费问题的2个基本微分方程模型(Ⅳ)和(Ⅵ)。通过对这2个基本的简要分析，然后结合本文收集到的数据对一些变量之间的关系进行拟合，使上述抽象的微分方程定量化，得到一些比较明确的方程式。模型比较明确地反映了高教收费与各影响因素之间的关系。通过已知的众因素的数据，我们能够定量分析高教收费的大致标准。5.3全国各地区高校在校生人数：我们把全国的省市按经济水平发达程度可大体划分为东部、中部、西部3个地区(东部地区,包括北京、天津、河北、辽宁、上海、江苏、浙江、福建、山东、广东、广西、海南12个省(区、市)；中部地区,包括山西、内蒙、吉林、黑龙江、安徽、江西、河南、湖北、湖南9个省(区、市)；西部地区，包括重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆10个省(区、市))。东部地区北京天津河北辽宁上海江苏浙江福建山东广东广西海南199619003371354126645182648147926220575964807340116918416401763528124521997196082738301359741881591540732390741023027808217609417474070561127831998212984786511443831992231651232659531135438514718079518504777483135321999235140904501767022358191863073298251385641025892136792208109028614569200028028211911725257130793122679845184419237113785932531730601912372919193200133648415399835051837233627996658552829307816737744936038192615160426050200239571319689247296645053633164970021039314519733058360146780718632434711200345448024521357554251419137851785967448413525741776141758777922725743498200449952428565569744058346541570199480857275932572794612472686628104457883200554827033155377400665935144262011597956513074069961171284874686338261699842006565779357382862618720548466333130618171986946134113381221008577387447901381996-2006年东部地区高校在校生人数中部地区山西内蒙古吉林黑龙江安徽江西河南湖北湖南19966884238191105026116379894148459214794818990913575919977113839474110167115767960068829313612019677114365419987612842470117892125140104944941031463652101191566651999941204973213959515706313302511087318548625787519355320001250237186818101921014619182414858927340435772826584920011650349961321784927143525222619645536914945327733130120022083501207822646723346273301122662514679635850234194372003272967157602319504392246410041358622557240721513537220200434531819870936219146570350129048985470284689201863900120054070362309024072625408675890756460868518641012665754859200644642825291743506559200066368477052597409610922748301811996-2006年中部地区高校在校生人数西部地区重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆19962084353574754043341213486847578778010848443931997711891500773847257439320013930850678820210958456951998831871519054255462368344714887954014869111312467171999965691802565645473902402117944762637934713121540582000126279245648798339589354752447238257713485174638104320011616483167011081591190396793313718110898179182315410806620022001114123571227421434198438411619143009221982930113233620032405035126631494441752551040949901717339126124351341476272004284546637340179852216308147315839262002822948341448163127200533356377543620675425468718979666943229459327534865018181420063761188606402215462842302332772621926369135983559311992511996-2006年西部地区高校在校生人数5.4部分高校收费：学校类型及办学水平不同类型、级别的高校的教育成本、国家投入等因素都是有区别的，故其收费标准就不一样。比如研究型大学较教学研究型、教学型大学收费高；再比如名牌大学、重点大学较普通院校收费高，这是优质优价，是一种质量差价。高校类型以及办学水平直接关系到教育成本的教学运行成本。比如研究型大学，它所要培养的是复合型、创新型人才(研究生教育为主)；对它所要求的科技贡献也是需要技术创新研究和基础理论原创性研究为主；在服务社会方面，国家要求其培养精英人才和高素质技术创新人才、技术创新贡献和理论原创，这些要求无疑需要巨大的成本。通常层次高的高校，提供的优质的教育资源与所耗费的成本也是成正相关的。学校越好，其规模也就相对更大，其师资力量、教育质量、设施质量、后勤管理等条件也就越优越、先进，所耗费的人力、物力、财力也就相应更多；国家的投入、学校的人力、物力、财力等投入均高于层次相对较低的高校；学生的就业前景、收益大体上也是优于低层次学校的。我国的高等教育资源相对还是相当缺乏的。在高校实行收费的条件下，拉开名校与一般院校的收费差距，不会带来需求上的大的波动。经调查研究发现，名校的高等教育价格在一定范围内呈刚性，弹性较小。也就是说，学费的上升，不会导致需求的明显下降。因此，对不同高校采取不同的收费标准是有必要的，一方面缓解国家和高校的压力，另一方面可以对选择名校深造的受教育者有资源和质量上的保证。教育部直属部分高校教育事业费支出与学费水平表(单位:万元)教育经费收入教育与其他经费拨款学费与宿费生均教育事业支出(元)学费标准(元)学费标准占生均支出(%)学费与宿费占教育经费收入(%)北京大学6936651265246915590480030.793.5中国人民大学3057517007174213770480030.865.69南开大学2011911914262114028420029.9413.03吉林大学2286613112264412703450035.4211.56复旦大学4395226573315221589500023.167.17南京大学4034130862299816235460028.337.43浙江大学2829818743304110985480043.710.75厦门大学2550617694293911743440037.4711.52山东大学18597120502189109103600338.58武汉大学2394012078652214355360025.0827.24中山大学2582214905407818617456024.4915.79四川大学312232016377229805350035.724.73兰州大学1512611201241710464420040.1415.98清华大学6812755537289717161480027.974.25北京科技大学2035816618286010691500046.7714.05北京化工大学84885474248411580500043.1729.26天津大学2132713637367513825420030.3817.23东北大学193061199461068646410047.4231.63同济大学2313714059411315117550036.3817.78上海交通大学4021641077418521441500023.3210.41华东理工大学1829012834301415589500030.0716.48东华大学130329184206611232500044.5115.65东南大学2339517016286512967460035.4712.25合肥工业大学15235937635059647500051.8323.01华中理工大学2499614351341715709414026.3513.67湖南大学140787939454710076500049.6232.3中南工业大学1770711878443411925500041.9325.04华南理工大学2407014958415014699450030.6117.24重庆大学145469501290010779450041.7519.93西安交通大学3343627253325511564485041.949.74西北农林科技大学1644113826173616917450026.610.56注:学费为2002年数据，学费按专业分类，而不同的学校，取数量最多的普通专业的学费水平，其余数据为1999年数据，以上数据均摘自《教育部直属高校1999年基本情况统计资料汇编》。从上表可以看出，学费水平与生均教育事业支出相比，差异较大。最低为23.16%(复旦大学)，最高为51.83%(合肥工业大学)，大部分学校的学费超过生均教育事业成本的1/3，11所大学超过了40%。但学费与宿费收入占教育经费收入的比例普遍较低。其中北京大学最低(只占3.5%)，不足10%的有7所大学，最高也仅有32.30%，超过30%的只有两所大学。教育部直属院校大部分是重点大学，招收研究生的比例较大，由于研究生未实行收费政策，政府资助经费比较充足，一般生均支出也较高，最高达21589元(复旦大学)，最低的也已达到8646元(东北大学)。[9]5.5专业差别：专业差别高校在确定学费过程中，专业差异是一个重要因素，专业区别主要有性质和层次两个方面。首先，专业不同，教育投入、成本、毕业后回报率都不同。不同专业所带来的外部性存在一定差别,因此，从公共效率角度看不同专业应获得不同补贴。基于以上分析，专业因素内在地指导着按专业划分的经费投入，间接地影响了不同专业学费的制定。这是通过非表面现象而总结出的内在的专业差异所引起的学费差异，它们之间存在着必然的联系。1996-2006年全国各专业类别的在校生和招生人数见附表2。5.6不同地域的经济状况：不同地域与经济状况硕士研究生教育个人收益大于社会收益，并且基于人力资源的趋利性，可能不会对经济条件相对差的地区带来预期经济的改善。因此，在制定高等收费标准中，必须考虑其地区差异性，使那些实力较弱，资格相对低的地区和院校进入市场竞争。1999-2006年全国各地区的GPD见附表4。[8]六、建议[21]1.政府加强研究、规划和管理高等教育收费看似是高校与学生及家长之间的关系，但实际上公立高校的举办者——政府，扮演着关键的利益平衡者的角色。在我国当前收入的地区、行业差距还比较大的情况下，为保证贫困人口的入学机会，高校收费不可能任由市场自然调节，而应当由政府进行有效的管理。2.政府财政投入是关键我国《高等教育法》从法律上明确了财政是高等教育经费的主要来源和高等教育经费逐步增长的目标。当前，必须保证政府高等教育财政投入持续、稳定增长，以满足高校正常运转所需合理的办学资金需求。3.完善贫困学生资助政策政府应扮演好资助体系中的主要角色。由政府出资加大对贫困学生资助的力度，是十分必要的。其次，高校应担负起必要的社会责任。高校的资助形式应该是多样的，还可以为学生提供勤工俭学机会，做好学生的诚信教育、更好地推动助学贷款等。再次，进一步完善国家助学贷款制度。如妥善设计贷款品种和额度以更好满足不同家庭背景学生的需要，贷款偿还的年限与毕业生收入挂钩以缓解学生的还款压力，加强学生的诚信建设以培育银行对助学贷款业务的积极性等。应当动员全社会力量，建设社会资助体系。4.试行高等教育收费的听证制度由于教育在经济社会发展中的特殊地位，人们对教育问题的关心，比一般利益问题会更多。所以，高等教育收费不仅需要有理论上的科学性，还应当得到社会的广泛认同。由政府出面举办高等教育收费听证，有利于提高收费的科学性和透明度，有利于高校和学生、家长及社会对收费的理解和认同，也有利于收费的顺利实施和社会的监督。参考文献：[1]卢纹岱，SPSSforWindows统计分析，北京：电子工业出版社，2006。[2]薛薇，SPSS统计分析方法与应用，北京：电子工业出版社，2007。[3]林震岩，多变量分析——SPSS的操作与应用，北京：北京大学出版社，2007。[4]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。[5]数学中国，《中国教育经费统计年鉴1998-2007》，/mcm/thread-16808-1-1.html，2008年9月19日。[6]数学中国，《中国统计年鉴1997-2008》，/mcm/thread-16809-1-1.html，2008年9月19日。[7]高等学校教育培养成本监审办法，国家发展和改革委员会，/gwa/Showa.asp?ArticleID=90，2005。[8]王莎，基于BP神经网络的高校硕士研究生收费模型研究，中国知识资源总库，2007。[9]陈爱娟,万威武，关于我国高等学校学费标准的实证分析，高等教育研究，第23卷，第6期，2002年11月。[10]王善迈，论高等教育的学费[J]，北京师范大学学报（人文社科版），2000。[11]GlennA.Bryan,ThomasW.Whipple，TuitionElasticityofTheDemandforHigherEducationamongCurrentStudents：APricingModel，TheJournalofHigherEducation，Vol.66，No.5(Sep-Oct.1995)，560-574。[12]R.E.Tuitiondiscountingwithouttears,EcomomicsofEducationReview23(2004)177-189。[13]RonaldG.Ehrenberg，TuitionRising-WhyCollegeCostsSoMuch.USA：thePresidentandFellowsofHarvardCollege，2002。[14]谭章禄，张小萍，高等教育学费价格市场模型分析，黑龙江高教研究，第12期，2005。[15]张宗利，高校教育成本的分析与探讨，枣庄学院学报，第24卷，第4期，2007年8月。[16]约翰斯通，高等教育财政:问题与出路[M]，沈红,李红桃译，北京：人民教育出版社，2004。[17]谢玲，坦诚相告以理服人——院长谢玲就培养大学生的费用算细账，/xcb_news.aspx?newsid=152，2004。[18]化存才，高校教育收费问题的微分方程模型与宏观调控分析，云南大学学报(自然科学版)，2008。[19]周莹,高校收费标准的探讨,科技情报开发与经济,第18卷,第3期,2008。[20]高等教育收费高校处于尴尬境地，《世界经理人学院》,/htmlnews/2006/07/26/886203_0.htm，2006。[21]高等教育收费：问题与对策（2），/GB/8216/4628254.html，2006。附录:附表1：东部地区北京天津河北辽宁上海江苏浙江福建山东广东广西海南199655349226644279655048438417427430541247115654455680213053953199757124222164635756373453717842433145266705712457059229534038199862264236784957860302488458494636668291146128460976254554324199978429316707285687851632441270135265738710824108534132596490320009773645468111033113319813281724917760853267135185123338494328181200111537956066148260127577985792157341201955945918355313905058455108512002127597694531707921511161091842228801524706894921871917213568516146482003141790861152038261638021202692565951681671067152738942258378253717006200414429491254238226184307128682313649182847119908327452264537103612197042005158860103616250273201488131804361479197896146657400573306956116719244802006154074102481285649214425137859413712234584148552422220339303132287345111996-2006年东部地区高校招生数中部地区山西内蒙古吉林黑龙江安徽江西河南湖北湖南1996212491218033531364482979427302449205683742139199721834128113325936288311242772246743581684511119982409013805371093988135382287365018665002504791999378971825352553624805172643586788059637577237200049428334566780779970802045792112289614223710523720015997540511736469816297859760371401301589161172992002755944462487968115702122480104618166084207023156946200391283594501071251219841423611415711902142501981938302004107500700911111621497811789791879992573562957012067932005127514709131293931628421986902078822775783155602508442006142398798491305651793272173732274323170513380042612391996-2006年中部地区高校招生数西部地区重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆199668685119621722290942607155672460309012204199722701486561311118330717423491631326193244124391998257814903514486203501385448351681327873447126041999343746548124810275021657680342301031724487194352000499511009653371833879232097209338256176720733280200161033119470445974245524201143914538270328891414262002709421527544156550421341414704253079712394344170420038547418030853318621764279168127600699075112374306920049985121517960578750176003195721642319452137014985520051120452671986858684487758920887971572116821477555751200612231326279971687935648359211620869021185619473590621996-2006年西部地区高校招生数附表2：年份总计哲学经济学法学教育学文学历史学理学工学农学医学管理学1996302107951114610271046831217703839604752431535712125541064282626651997317436249164834461184181288484120194877933217812627341118872711371998340876447565084041365251387454536325030935945713545801190362833201999408587448926140281744961671455636985565242104816122001424153292002000220607218473633791146821072593434182200320246683212468966149928200171906585372359888387880374450105930053368716276249119318602252941010274992002903363166374664334748464702931368278555658522383084999216040656560138174220031108564259746041355609165921231719230566731004506369340124967181474117842722004133349699980731263629549724416211820960071115611343761672802129762612272728200515617767632385775769717410227082318665493909679085477207308107113216527803632006173884416846921365710173102961226424395251410479366143918331606126858732334451996-2006年全国各专业类别的在校生人数年份总计哲学经济学法学教育学文学历史学理学工学农学医学管理学199696581215891539153668745232138205158661062363668163269068576199710003931636153367415274668114308016329110443380946359597042519981083627134115920748102502951618621638312053141239338325751881999154855417632371296904867257230175190701558806075975225110838420005560900560887645227201623620881856862246536776214832918182842286920012682790180513874614678215828341760416082258201892356629521741564158232002320497621751824161606181782235093151535129486710572416924720790952761420033821701152022141018599921857561202116330329656124242681619257681654464200444734224067240100195638264251724402171283570701466459882812993148167122005504458117972642191995213156387604751337927014718094269718833856397422820065460530215826877319619533493981692213698281691199242610002038008310736251996-2006年全国各专业类别的招生人数附表3：年份学校类别合计国家财政性社会团体和社会捐资学费和其他教育#预算内公民个人和集资杂费经费教育经费教育经费办学经费办学经费1996中央24587152103711141147927610222373105021地方201646791461333410707655261999185658023879881044777地方与中央之比8.2013086.9464550987.586124267.2430278910.738659829.9482674891997中央28002472325022157077337922302549134755地方225170791630039412006490301746166866629582431288029地方与中央之比8.0411045887.0108558117.64368244244.002584259.7777318729.5583021041998中央39282642607645199666684125388174848320地方255623281771688113659251480314133441233093002721421地方与中央之比6.5072836256.7942074176.84102949615.86225268.525300513.2080123071999中央4227406.22766078.32153961.0116522.4449375.3895430.2地方29263010.220105677.816003636.3628957.11142171.84186732.63199470.9地方与中央之比6.9222139577.268658237.429863549.8021650779.3167839893.5731103332000中央4579983.627950052185419.2112842548647.91123488.7地方33910822.222831050.718671372.8858537.21026714.95399656.43794863地方与中央之比7.4041361638.1685187338.5436115879.0986946359.8417516953.3777491492001中央5554191.83334199.32665568114976.47061811398835.1地方40822434.427235900.223158193.91280895.21013875.46749832.54541931.1地方与中央之比7.3498424028.1686479278.6879021288.8181174579.5582187853.2469381842002中央6581620.73531595.23042306.7206891.4872793.31970340.8地方48218656.931382452.328100076.61725548.71065899.68354998.45689757.9地方与中央之比7.326258858.8861974619.2364377995.1519763519.5727114312.8877024222003中央72212183903741335081015151611137702052191地方5486143534602495311877732590148894411101012146673166地方与中央之比7.597255308.863931719.307533315.903101669.069387473.251727962004中央80786284190227367948212279114316072334002地方6434736240468347365986763478529811413120339107555163地方与中央之比7.965135389.657792659.946693396.608086598.405874253.236999152005中央8520062.14095993.03782633.6110772.41739735.72573561.0地方75668328.447514766.342874305.44522185.0820840.513790808.99019727.7地方与中央之比8.8811944711.6003045711.334511867.410153617.926956323.504765462006中央8520062.14095993.03782633.6110772.41739735.72573561.0地方75668328.447514766.342874305.44522185.0820840.513790808.99019727.7地方与中央之比8.88119446911.6003045711.334511867.4101536127.9269563193.5047654591996-2006年中央和地方学校教育经费年份合计国家财政性社会团体和社会捐资学费和其他教育#预算内公民个人和集资杂费经费教育经费教育经费办学经费办学经费1996326792926255242299718566736961446237153539199739048423057