初中数学动态几何问题

中考数学专题动态几何问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，在梯形45。中，AD//BC,AO=3,DC=5,8c=10,梯形的高为4.动

点”从3点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点

出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点。运动.设运动的时间为，（秒）.

（1）当时，求/的值；

（2）试探究：/为何值时，为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同

学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分

析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，

就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这

些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN〃AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程,

自然得出结果。

【解析】

解：（1）由题意知，当M、N运动到f秒时，如图①，过。作。交BC于E点，则

四边形形区）是平行四边形.

VAB//DE,AB//MN.

：.DE//MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形

内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）

.MCNC（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

EC-CD

匕」.解得f=笆

10-3517

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC

即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三

角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了

较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当〃N=NC时，如图②作NFJ.BC交8c于尸，则有MC=2FC即.（利用等腰三角

形底边高也是底边中线的性质）

sinZC=^4

CD5

cosZC=^,

A10-2r=2x—,

5

25

解得.

8

②当MN=MC时,如图③，过“作M"于H.

则CN=2CH,

3

r=2（10-2z）x-.

60

t=—

17

③当MC=C7V时，

贝以0-2r=f.

10

t=—・

3

综上所述，当^="、竺或W时，△MNC为等腰三角形.

8173

【例2】在aABC中，ZACB=45?.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,

以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关

系，并证明你的结论.

(2)如果ABWAC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4a,3C=3,

CD=X,求线段CP的长.(用含X的式子表示)

AA

FF

BD

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给

出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递,

就可以得解。

【解析】：

(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：：AB=AC,ZACB=459,/.ZABC=459.

由正方形ADEF得AD=AF,VZDAF=ZBAC=909,

，NDAB=/FAC,A△DABFAC,，/ACF=/ABD.

AZBCF=ZACB+ZACF=905.即CF±BD.

【思路分析2］这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑

一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后

一样求解。

(2)CF_LBD.⑴中结论成立.

理由是：过点A作AG_LAC交BC于点G,，AC=AG

可证：AGAD^ACAFAZACF=ZAGD=459

ZBCF=ZACB+ZACF=909.即CF_LBDBG

【思路分析3］这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一

样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相

似三角形的比例关系即可求出CP.

(3)过点A作ACUBC交CB的延长线于点Q,

①点D在线段BC上运动时，

VZBCA=455,可求出AQ=CQ=4.DQ=4-x,

易证△AQDSADCP,\

DQAQ4-x4

CP=------FX•QBD

4

②点D在线段BC延长线上运动时，

VZBCA=459,可求出AQ=CQ=4,/.DQ=4+x.

过A作4GLAC交CB延长线于点G,则A4G0WA4b..•.CF±BD,

AAQD^ADCP,

DQAQ4+x4

CP-----FX•

4

【例3】已知如图，在梯形ABC。中，AD〃BC,AZ)=2,5c=4,点M是AO的中点,

△MBC是等边三角形.

(1)求证：梯形ABCO是等腰梯形：

(2)动点P、。分别在线段BC和MC上运动，且NA/PQ=60。保持不变.设

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察

几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和

例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定N

MPQ=60°,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了

起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么

证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)证明：是等边三角形

/.MB=MC,NMBC=NMCB=60°

•••”是AD中点

AM=MD

'：AD//BC

：./AMB=/MBC=60°,

ZDMC=ZMCB=60°

/.AAMB沿ADMC

AB=DC

梯形ABC。是等腰梯形.

(2)解：在等边4MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=/MCB=60°,

ZMPQ=60°

AZBMP+ZBPM=ZBPM+ZQPC=120°(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣

摩)

/BMP=/QPC

...ABMPsAcaP

.PC=CQ

"：PC=x,MQ^y：.BP=4-x,QC=4—y

x4-y124

-=------•*.y=一厂—x+4

44-尤4(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很

轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC

形状''的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。

（3）解：△PQC为直角三角形

2

VJ=1（X-2）+3

...当y取最小值时，x=PC=2

P是3c的中点，MP1.BC,而ZMPQ=60°,

.•.NCPQ=30。，

.'.XPQC=90°

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如

某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需

要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思

路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线3D上一点，过E点作EF工BD交BC于F,连

接。尸，G为。尸中点，连接EG,CG.

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中尸绕8点逆时针旋转45。，如图2所示，取OF中点G,连接EG,CG,.

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）将图1中ABE5绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的

结论是否仍然成立？（不要求证明）

【思路分析11这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意

角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边

中线自然相等。第二问将4BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题

的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的

全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边

形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想

到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

(1)CG=EG

(2)(1)中结论没有发生变化，即CG=EG.

证明：连接AG,过G点作MN_LAO于与的延长线交于N点.

在\DAG与&DCG中，

AD=CD,ZADG=NCDG,DG=DG,

：.\DAG乌\DCG.

AG=CG.

在\DMG与RFNG中，

,/ZDGM=NFGN,FG=DG,NMDG=NNFG,

：.ADMG咨AFNG.

：.MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN

在RtAAMG与RtXENG中,

'：AM=EN,MG=NG,

：.\AMG名\ENG.

：.AG=EG.

：.EG=CG

图2

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是

我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果4BEF任意旋转,

哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自

己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在4BEF的旋转过程中，始终不变的依然是

G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF

这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角

形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

(3)(1)中的结论仍然成立.

图3

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射

线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B，处.

(1)当——=1时，CF=cm,

CE

(2)当——=2时，求sinNDAB'的值;

CE

BE

（3）当生=X时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部

CE

分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）.

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热

点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，

所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些

条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以

轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.

尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能

的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）

（2）①如图1,当点E在BC上时，延长AB'交DC于点M,

.BEAB

〃

ABCF,AABE^AFCE,"~CE~~FC

图1

•祥CF=3.

,/AB〃CF,AZBAE=ZF.

又NBAE=NB'AE,；.NB'AE=/F.MA=MF.

设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.

在RtAADM中，由勾股定理得：

ias

k2=(9-k)2+62,解得k=MA=‘.ADM=-.(设元求解是这类题型中比较重要的方

22

法)

_DM5

sinZDAB

AM13

②如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交&E于点N,

同①可得NA=NE.

设NA=NE=m,则B，N=12-m.

在Rt"B，N中,由勾股定理，得

13Q

m2=(12-m)2+62»国用得m=AN=—.:.B'N二一.

22

B'N_3

AN-5,

(3)①当点E在BC上时，丫=弛；

X+1

(所求4AB，E的面积即为4ABE的面积，再由相似表示出边长)

②当点E在BC延长线上时，y=18x~18.

X

【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形

动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望

考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中

那些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就

很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，

要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析

它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量

的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学

丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方

式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分发散思考

【思考11已知：如图(1),射线40〃射线5N,AB是它们的公垂线，点。、C分别

在AM、3N上运动(点。与点A不重合、点C与点B不重合)，E是48边上的动

点(点E与A、B不重合)，在运动过程中始终保持DEJ.EC,且+==

(1)求证：AADEsABEC；

(2)如图(2),当点E为A8边的中点时，求证：AD+BC=CD；

(3)设请探究：ABEC的周长是否与加值有关？若有关，请用含有机的代

数式表示ABEC的周长；若无关，请说明理由.

DMDM

BCBCN

第25题(1)第25题(2)

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多

个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长,

要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那

么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】ZiABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP^BA,若(TCNP8c<180。,

且/P8c平分线上的一点。满足DB=DA,

(1)当BP与弘重合时(如图1),ZBPD=°；

(2)当8P在NABC的内部时(如图2),求/BP。的度数；

(3)当BP在NA8C的外部时，请你直接写出N8PD的度数，并画出相应的图形.

BE----------------'C

图1

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有NPBC,以及D点的位置，但是不动的量就是

BD是平分线并且DB=DA,从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事

实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考

.卜~~

3

【思考3］如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC,DC±BC,已知AB=5,BC=6,cosB=y.

点。为BC边上的一个动点，连结。D,以。为圆心，B。为半径的。。分别交边AB于点P,

交线段0D于点M,交射线BC于点N,连结MN.

(1)当BO=AD时，求BP的长；

(2)点0运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当B0为多长时BP=MN；

若不存在，请说明理由；

(3)在点。运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作。C,请直接写出当。C存在时，

©0与。C的位置关系，以及相应的。C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关

的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问

比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨

论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在ABCO中，过点C作CEJ_CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得

到线段EF(如图1)

(1)在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点(Pi不与C重合)时，连结EPi绕点E逆时针旋转90得

到线段EQ判断直线FQ与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP〃将线段EP2绕点E逆时针旋转90

得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

4

(2)若AD=6,tanB=§,AE=l,在①的条件下，设CPFX,SP1FC1=y＞求＞与X之间的函

数关系式，并写出自变量X的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同

学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出

现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函

数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常

可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营

的去解答。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

(1)证明：DEVEC,：.NDEC=90°.，NAED+NBEC=90°.

又NA=NB=90°,ZAED+ZEDA=90°.

ZBEC=NEDA.二AADE-"EC.

(2)证明：如图，过点E作EFHBC,交CD于点F,

,/E是AB的中点，容易证明EF=g(AO+BC).

在RtbDEC中，,/DF=CF,：.EF=-CD.

2

第25题

^(AD+BC)=^CD.

/.AD+BC=CD.

(3)解：AAEQ的周长=AE+AZ)+OE=a+〃z,BE=a—m.

设AD=x,则DE=a-x.

・・・ZA=90°,DE2=AE2+AD2.a1-2ax+x1=nr+x1.

由(1)知AADEsABEC,

.勺周长_AD_2Q_a+m

一ABEC的周长一正一"m-2a'

：.AB£C的周长=乌一•\ADE的周长=2a.

a+m

，A8EC的周长与加值无关.

【思考2答案】

解：(1)ZBPD=30°:

(2)如图8,连结CD.

解一：•.•点。在NPBC的平分线上,

Z1=Z2.

△ABC是等边三角形，

BA=BC=AC,NACB=60°.

BP=BA,

BP=BC.

BD=BD,

△PBD%ACBD.

ZBPD=Z3.-----------------------------3分

DB=DA,BC=AC,CD=CD,

△88名"CD.

Z3=Z4=izACB=30°.

2

ZBPD=30°.

解二:△ABC是等边三角形，

BA=BC=AC.

DB=DA,

CD垂直平分A8.

N3=N4」ZACB=30°.

2

BP=BA,

BP=BC.

点。在NPBC的平分线上，

△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.

ZBPD=Z3.

ZBPD=30°.

(3)NBPD=30°或150°

图形见图9、图10.

【思考3解析】

3

解：（1）过点A作AE_LBC,在RtAABE中，由AB=5,cosB=S得BE=3.

VCDIBC,AD//BC,BC=6,

/.AD=EC=BC-BE=3.

当B0=AD=3时，在。。中，过点。作OH_LAB,则BH=HP

..BH八.c39

♦-----=cosB,..BH=3x—=—.

BO55

18

BP=一.

5

(2)不存在BP=MN的情况-

假设BP=MN成立，

VBP和MN为。。的弦，则必有/BOP=/DOC.

过P作PQ_LBC,过点。作。H_LAB,

VCD1BC,则有△PQOSADOC-

BH33

设BO=x,则PO=x^"—•=COS=-,得BH==X,

x55

6

；.BP=2BH=-X.

5

1824

BQ=BPxcosB=——X,PQ,=—x.

2525

・・OQ=x-------x=—x.

2525

24.29

,/△PQO^ADOC,丝=变即25X_4,得》=一.

OQOC［