高等数学教案（下）

第六章定积分及其应用

§6.1定积分的概念

教学目的与要求：

1.使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。

2.使学生学会用定义计算、证明某些定积分。

3.使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极限。

4.通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维

方法；体验数学符号化的意义及数形结合方法。

5.掌握定积分的性质.

重点：定积分的数学定义。

难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立。

课时：2学时

6.1.1定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

设曲边梯形是由［凡句上的连续曲线y=/(x)(/(x)>0),x轴及直线x=a,x=b

所围成的图形(图6-1).显然，如果y=/(x)三C(C为常数)，则该图形就是矩形，其

面积可用公式：矩形面积=底又高来计算.但在一般情况下，y=/(x)不是常量，而是变

量，这正是问题的困难所在.但由于y=/(x)是连续的，故当x变化很小时，/(x)的变化

也很小.这就是说，在一个很小的区间上，/*)近似于不变.因此，如果把口，句划分为

很多的小区间，在每一个小区间上对应的小曲边梯形可以用同底的小矩形面积来近似代替

(小矩形的高可用该区间上的任一点所对应的曲线上点的纵坐标来代替)，这样把所有小矩

形面积相加便得整个曲边梯形面积的近似值.显然对于区间口,句，如果分得越细，曲边梯

形面积的近似程度越好.而要得到曲边梯形的精确值，只要使每一个小区间的长度都趋于零,

取近似值的极限即可.具体可按如下步骤进行.

（1分割：在区间［凡们中任意插入〃-1个分点.

a=/<玉<x2<---<xj<•••<xn_j<xn-b,

将［凡切分成刀个小区间=1,2,…,即［%,药］,［…,々］,…,,这些小区间的

XX

长度也依次记为Ax】=xt-0,A2=x2-xx,--,^xn=xn-xn_,,过每个分点玉,》2,…,x,i

作平行于y轴的直线段，就把曲边梯形划分为n个小曲边梯形.

（2）近似代替：在每个小区间上任取一点。（X-<^<x,）,/©）就是曲线上点

（。,/（幻）的纵坐标，用小矩形的面积/©）Ax,近似代替小曲边梯形的面积，即

△S产/©ND…

（3）求和：用〃个小矩形的面积之和来近似代替曲边梯形的面积，即

S«+•••+/《）％=力偏心,.

/=1

（4）取极限：为保证所有的小区间的长度随小区间的个数〃无限增加而无限缩小，令

2=max{Ax,.},则当2—0时，就得到曲边梯形面积的精确值，即

5=网”（沁一

1=1

2.变速直线运动的路程

在匀速直线运动中，有公式：路程=速度义时间.但对变速直线运动，由于速度不是常

数，而是随时间变化的变量，就不能用上式来计算路程，因此必须寻求其他的方法.

设一质点沿直线作变速运动，其速度是时间/的连续函数V（r）.现采用与求面积相同的

处理方法来求由时刻7；到时刻T2这段时间内质点所经过的路程S.

（1）分割：在时间间隔口工］中任意插入”-1个分点，

Tx=tG<tx<t2<--<tn_x<tn=T2,

将口名］分成〃个小时间间隔区间，即［。，""再］，…，［*/］，将这些小时间间隔区间

的区间长依次记为A?,=tx-t0,^t2=t2-?,,•••,△乙=tn-tn_x.

（2）近似代替：在每个小时间间隔区间中任取一个时刻刍（心WtJ,以刍时刻的

速度丫（。）近似代替质点在上各个时刻的速度，于是得质点在上,这段时间内所

经过的路程的近似值为缁«V©)维0=1,2,•••,«).

(3)求和：用〃段部分路程的近似值之和近似代替变速直线运动的路程S,即

S。丫&)绢+V&)2V2+…+V©)纯=1?&)△/,.

1=1

(4)取极限：记/L=max0fj,当；If0时，取上式右端的极限，就得到变速直线

\<i<n

运动的路程S的精确值，即

5=期£丫(幻仙,.

/=!

3.总成本

设边际成本C'(x)为产量x的连续函数，求产量x从a变到0时的总成本.

我们按如下步骤进行：

(1)分割：在［a,6］内任意插入〃—1个分点

a=/<阳<々<…<<xn=p,

把［a,£］划分成〃个小产量段，并记每个小产量段的产量为

△^=看一苍_］,/'=1,2,•••,/?

(2)近似代替：在每个小产量段中任意取一点自，把C'(S)作为该段的近似

平均成本，有

AC,«C'C)AX|,i=1,2,…,〃

(3)求和：把每个小产量段的成本相加，得总成本的近似值.

Cxfc—

i=\

(4)取极限：令X=max{AxJ,有

\<i<n

r=l

即为所求的总成本.

6.1.2定积分的定义

上述几个具体面积、路程及总成本问题，虽然实际意义不同，但其解决问题的途径一致，

均为求一个乘积和式的极限.类似的问题还很多，弄清它们在数量关系上共同的本质与特性,

加以抽象与概括，就是定积分的定义.

定义6.1设函数〃x)在［凡切上有界.

(1)分割：在［凡句中任意插入〃一1个分点

a-xa<<x2<---<xn_{<xn-b,

把［凡切分成〃个小区间,并记每个小区间的长度为

八\.=七一尤”],j=1,2,…，“

(2)近似代替：在每个小区间［xT,xj上任取点自，作乘积

/©)竺，i=l,2,…,〃

(3)求和：力/©)原,；

1=1

(4)取极限：记，=max{AxJ,作极限

1</<n

(1)

i=l

如果对［凡句任意分割，白在上的任意选取，只要当4->0时，极限(1)总

趋于同一个定数/.这时，我们称函数/(x)在［a,切上可积，并称这个极限值/为/(x)在

口,加上的定积分，记作f/(x)dx,即

ffMdx=lim£/©)...

/=!

其中/(X)称为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，X称为积分变量，。称为积分下限，b

称为积分上限，［a,切称为积分区间.

根据定积分的定义，前面所举的例子可以用定积分表述如下：

(1)曲线y=/(x)(f(x)20),x=a,x=b,y=0所围图形的面积

(2)质点以速度v=p(f)作直线运动，从时刻T1到时刻T2所通过的路程

5=(-v(t)dt.

(3)边际成本为C'(x)在产量x从a变到夕时的总成本

C=^C'(x)dx.

关于定积分，还要强调说明如下几点：

(1)定积分与不定积分是两个截然不同的概念.定积分是一个数值，它与被积函数

/(x)及积分区间［凡切有关，而与积分变量取什么字母无关，因此，有

f(x)dx=1/⑺力.

(2)关于函数/(x)的可积性问题，我们不作深入讨论，仅直接给出下面两个定理，

证明从略.

定理1闭区间口,切上的连续函数必在［凡们上可积.

定理2闭区间口,们上的只有有限个间断点的有界函数必在口力］上可积.

(3)当。=6时，规定j/(x)dx=O.

(4)规定［于(x)dx=-Jf(x)dx.

(5)定积分的几何意义：在［a,句上如果/(x)NO,f/(x)dx表示曲线y=/(x),

直线x=a,x=b,y=0所围成的图形的面积；如果/(x)<0,则，/(x)dx表示由曲线

y=f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成的图形的面积的负值；如果/(x)既取得正值

又取得负值时，［/(x)dx表示介于x轴，函数/(x)的图像及直线x=a,x=b之间的各

部分图形的面积的代数和，其中在x轴上方的部分图形的面积规定为正，下方的规定为负，

见图6-2.

图6-2

例1利用定积分定义计算定积分｛x2dx.

解：因为被积函数/在［0,1］上连续，从而可积.所以积分值与［0,1］的分法及昏的取

法无关，故

(1)将［0,1］分成〃等份，取分点七=人,每个小区间［x,T，尤」的长度

n

Ax.=-(z=1,2,…；

n

(2)近似代替：取作A4产/©).=(与2._«=1,2「..,”)；

nnn

(3)求和：S4〃2=强/=］吗(2+》；

(4)取极限：令丸=max{ArJ，当4f0时(〃—>oo)

\<i<n

fX虬=燃孕3=也：(1+》(2+1=；

§6.2定积分的性质

在以下所列的性质中，均认定函数/(x),g(x)在指定区间上可积.

性质1两个函数的和(差)的积分等于两函数积分的和(差)，即

f"(x)±g(x)］dx=ff(x)dx±fg(x)dx.

证：由定积分的定义有

f"(X)士gM］dx=hm£"(。)±g©)］蚀=lim£/©)用土姓fg©)上

i=li=li=l

=f(x)dx±［g(x)dx.

该性质对于任意有限个函数也成立.

性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

^lrf(x)dx-k^f(x)dx.(%为常数)

性质3(定积分的积分区间可加性)如果将积分区间切分成两个小区间［a,c］和

［c,b］,则在整个区间上的定积分等于这两个小区间上定积分之和，即若a<c<b,则

ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx.

J(iJaJc

当c不介于之间时，上式仍然成立.例如，a<b<c,则

=f/(x)dx+［以x)dx，

于是f/(x)dx=［f(x)dx-［f(x)dx=［f(x)dx+f/(x)dx.

性质4如果在［a,切上，/(x)三1,则f'ldx=f'dx=b-a.

JaJa

性质5如果在［a,6］上，/(x)>0,则［/(x)dx20.

推论1如果在［a,0上，/(x)Kg(x),则［/(x)dxWjg(x)dx.

推论2^f(x)dx<^\f(x)\dx.

性质6(定积分的估值定理)设M及加分别是函数/(x)在［a,句的最大值及最小值,

则

m(b-a)<f(x)dx<M(b—a)(a<b)

以上这些性质或推论的证明均可类似性质1用定积分的定义或利用性质5来完成,请读

者自行证明.

性质7(定积分中值定理)如果函数/(x)在［凡上连续，则在［a,切上至少存在一

点。，使

f/(x)dx=/C)(A-a)(a必训.

证：根据定积分估值定理，有

m<--一ff(x)dx<M,

h-a人

这说明『一f/(x)dx是介于函数/(x)的最小值机及最大值M之间的一个数，根据闭区

间上连续函数的介值定理，在［a,切上至少存在一点自，使得

；//(x)dx=/C),gWb),

b-ak

即f/(x)dx=/©3-a)(a<^<b).

性质7的几何解释为：在区间［a,切上至少存在一点使得以［凡句为底边，以曲线

y=/(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边、而高为了《)的一个矩形的面积(见图6

-3),图中的正负符号是/(x)相对于长方形凸出和凹进的部分，并称一L为函

数/(x)在区间［a,加上的平均值.

例2估计积分值的大小.

解：4/(x)=x4,因XG［1,2］,则尸(行=4下>0,所以/(x)在［1,2］上单调增加,

/(x)在口,2］上的最小值zn=/(l)=l,最大值V=/(2)=16.所以有

1-(2-1)<j2x4Jx<16-(2-l),

即1<fx4dx<16.

例3比较feZx与f(l+x)dx的大小.

解:令"x)=e，—(1+x),因xe[0,l],则>'(x)=e*—lN0(仅当x=0时等号成

立)，所以/(x)在［0,1］上单调递增，即x>0时，/(x)>/(0)=0,故在(0,1)内e'>l+x,

所以

(e'dx〉f(1+x)dx

作业：&91

电1(2)(4)23

§6.3微积分基本公式

教学目的与基本要求：

1.掌握微积分基本定理的条件，结论及应用方法.

2.熟练掌握定积分的基本公式.

重点：微积分基本定理，

难点：变上限积分.

课时:2学时.

在6.1节我们利用定积分的定义计算在［0,1］上被积函数为f(x)=x2的定积分，计算它

己经比较困难，如果被积函数变得比较复杂，利用定积分的定义计算定积分就会变得非常困

难，甚至不可解.因而，必须寻求计算定积分的新的方法.

我们知道，物体以变速V。)作直线运动时，它在时间间隔［4,写］上所经过的路程为

s=

但从另一角度来考虑，路程S可用位移函数S(f)在时间间隔区,与］上的改变量来表示,

即

S=S(T2)-SQ).

因为S'(f)=v。)，即位移函数SQ)是速度函数V。)的一个原函数，所以上式说明：速

度函数V。)在［工,n］上的定积分，等于原函数S(f)在口,4］上的改变量.这个实例使我们

看到定积分与不定积分之间的内在联系.对于一般函数/*),设尸(x)=/(x),是否也有

f/(x)dx=F3)—F(a)?

为此，我们先讨论积分上限函数和它的导数之间的关系.

6.3.1积分上限函数

设函数/(X)在区间［a,句上连续，x为区间［凡句上的任意一点，则/(X)在［凡对上连

续,因此,定积分［/(x)dx存在,它的值随上限x的变化而变化.对于每一个上限xe［a,h］,

都有一个唯一的确定值与之对应，故它是上限x的函数，称为积分上限函数，记为①(x),

即①(x)=f(x)dx.

这里定积分的上限是无，而积分变量也是x,山于定积分与积分变量所用字母无关，为

了避免混淆起见，我们将积分变量换成f,于是写成①(x)=(a<x<b).

从几何上看，①(x)=1/⑺力表示区间［a,划上曲边梯形的面积，如图6-4中阴影部

分的面积.

图6-4

枳分上限函数①(x)具有下面的重要性质：

定理3如果函数y=/(x)在区间[出们上连续，则积分上限函数①(x)=力是

/(x)在[凡切上的一个原函数，即

①'(x)=；f/⑺小=/(x)(a<x<b).

dxJa

证：任取x及Ax,使x,x+Ax£[〃,/?],则

①a+&)=)力=[7(0^+『珈/⑺力,

于是，

△①=①(x+Ax)-①(x)

M件+AxAXM+AX

=(f(t)dt+[f⑺出,

由积分中值定理，在X与x+Ar之间至少存在一点g,使得

1f⑴dt=fq)Ax.

其中J介于x与;v+©之间，当加:30时，x+Axfx时，，从而有Jf冗，所以有

lim——=hm—=lim/(J)=f(x),

ZLr-»0A,A.V->0A.A.V->0

即①'(x)=/(x).

由原函数的定义可知，积分上限函数①(x)=['/⑺应是函数/(X)在[凡切上的一个原

函数.

推论设/(X)在[a,句上连续，e(x)在句上可导，则

-j-『"/«)力=/Ie(x)M(x)•

dx八

证：设〃=e(x),由定理3与复合函数求导法则得

=/(«)•—=丹例期98)•

ax

定理3说明了连续函数一定存在原函数，并初步揭示了定积分与原函数之间的联系，从

而有可能利用原函数来计算定积分.

6.3.2微积分基本公式

定理4如果函数尸(x)是口力]上的连续函数/(x)的任意一个原函数，则

f(x)dx=F(b)-F(a).

Jf(l

证：因为①(x)=1/(f)df与E(x)都是/(x)的原函数，故

F(x)-①(无)=C,(a<x<b)

其中C为某一常数.

令x=a,得/(0—①(a)=C,且①⑷=[/(/)力=0,即有C=R(a),故

^(x)=F(x)-F(a)=[f(t)dt.

再令尤=8,有

^f(X)dX=F(b)-F(a).

为了方便起见，还常用/")「表示尸(力)一尸(。)，即

该式称为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式.它揭示了定积分与不定积分之间的内

在联系，把定积分的计算问题转化成求原函数的问题，是联系微分学与积分学的桥梁，在微

积分学中具有极其重要的意义.

例4计算(/公.

解：由于工丁是产的一个原函数，所以根据牛顿一莱布尼茨公式有

3

例5计算

iY

解:由于••/的一个原函数为arcsin己,故

4^2

rtdx.XI.1..K

I",-arcsin—=arcsin——arcsin0=-

2o26

例6计算「叱小.

JX

解：f=£inxt/(lnx)=^(lnx)||=；.

Ifsinx.2

例7计算lim上]Ldt.

Xf0xM

解：这是一个“9，，型的未定式，运用洛必达法则及本节中的推论来计算这个极限.

o

d产_/2d.2du_2

edt=—e——=esinx-cosx,

du小dt

e%=』3=lim亡3=1.

I,inx

所以lim-f

XT。XMx->0%x->0]

作业：色1(2)(4)

4562⑴⑶34

§6.4定积分的换元法

教学目的与基本要求：

1.熟练掌握定积分的换元积分法和分步积分法.

重点:定积分的换元积分法和分步积分法.

课时：2学时.

牛顿―莱布尼茨公式为定积分计算提供了简便的方法，即把求定积分的问题归结为求被

积函数的原函数的问题.与不定积分的换元法相对应，我们可以用换元法来求定积分.

定理5设

(1)函数/(x)在区间[凡句上连续；

(2)函数x=e(t)在区间上是单值的，且有连续导数；

(3)当aW/W/?时，a<(p(t)<b,且e(a)=a,(p(0)=b,贝ij

f/(x)dx=ff[(p(t)](p'(t)dt.

证：由假设可知，上式两边的被积函数都是连续的，故它们的定积分和原函数都存在.设

尸(X)是/(X)的一个原函数，由复合函数微分法知

ddFAy

-凡夕⑺]=--=f(x)-(p'(t)=/[*)]“")，

dtdxdt

故He。)]是/即(r)]"⑴的一个原函数.根据牛顿―莱布尼茨公式

f/(x)dx=b(x*=F3)T(a),

于是「力。(。]。'(，)力="。。)]/

="(£)]--。⑷]=F(b)--⑷,

所以ffMdx=f/蹄⑺心'⑺力(2)

(2)式称为定积分的换元积分公式.由此定理可知，通过变换x=e(r)把原来的积分

变量X换成新变量f时，在求出原函数后可以不必像计算不定积分那样把它变回原变量X的

函数，只要根据x=e«),相应变动积分上下限即可.

「dx

例1求定积分11+Vx

解:令近=，，即％=/，则公=3/力，且当x=0忖，f=0；当x=8时，r=2,

于是

dx3t2dtJ12i「J2

----=3—t~-t+ln(l+z)=3In3.

\+y/x1+r2八0

22

例2计算£yja-xdx(a>0).

JI

解:设x=asinr,则dx=acos/力，且当x=0时，t=0；当x=a时，t=—,于

2

是

cos2tdt

例3计算pcos5xsinxdx.

7T

解:设f=cosx,则力二-sinxdr,且当犬=0时，t=\；当工=—时，Z=0.于是

2

Pcos5xsinxdx=-^t5dt=，力

606

在例3中，如果我们不明显地写出新变量7,那么，定积分的上、下限就不要改变.

fr5-jr75JZ、cosxf11

J^2cosxsinx6fx=-^2cosxJ(cosx)=------=一(0一%)二不,

例4试证：若〃x)在[-〃，句上连续，则

(1)L〃x)dx=「"JX)+/"Mx；

(2)当f(x)为奇函数时，P/(x)dx=0；

(3)当/(x)为偶函数时，£/(x)Jx=2/f(x)dx.

证：(1)因为[f(x)dx=£f(x)dx+1f(x)dx,

对积分式[J(x)dx作变换x=T,则有

£/(x)Jx=-£于(-t)dt=£f(-x)dx,

从而Jj(x)dx=[[/(-x)+/(x)]Jx.

(2)若f(x)为奇函数，即/(—x)=-/(x),由(1)有

[j(x)dx=1"(—x)+/(x)]dx=0.

(3)若f(x)为偶函数，即/(-%)=f(x),由(1)有

「/(x)dx=£[/(-%)+f(x)]dx=21f(x)dx.

例5计算「"sin：dx.

*1+cos-X

g产xs•mx.r7rtxs,mx,产xs•mx.

解：I-----=dx=I2------dx+L------dx.

*1+COSX切1+COS~X々1+COSX

在后一积分式中作变换工="-乙有

—j=_"二嘤八n%

+1+cosXS1+COSt力1+COSX

十口rxs•mx,rR；s•inx/、不"朽2

于是------z—dx-71V-----z—ax--7iarctan(cosx)=一

卜l+cos2xl+cos2xo4

§6.5定积分的分部积分法

如果函数〃=u(x),1，二期(%)在［凡。］上具有连续导数，则

[udv=uva~vdu,

这就是定积分的分部积分公式.

事实上(uv)r=UV+UV,

即UV1=(uvY-u'v,

上式两边取了由。到匕的定积分，得

ruvdx=f(uv)fdx-fuvdx,

J(IJt?

即iudv=uv^-[vdu.

例1计算flnxdx.

解：令〃=lnx,v=x,du=-dx,则

X

£Inxdx=xlnx|®-£x-dx=e-x^=1.

例2计算「x2cosxdx.

角翠：令〃=12,dv=CQSxdx,贝ijd〃=2xdx,v=sinx,于是

]xcosxdx=jxdsinx=(x;inx)|o-]Ixsmxdx=-2jx^nxdx.

再用分部积分公式，得

「x1cosxdx=2「xdcosx=2(XCOSJC)|Q-cosxdx

=21(xcosx)|j-sinx|gJ=一2乃.

i

例3计算parcsinxdx.

i।i

解：?arcsinxdx=(xarcsinx)2-Fxdarcsinx

=1,£_『X4+2)

26Ji-

吒+G=716.

——+----1.

122

KK

例4证明psin"xdx=Fcosnxd)C,并求/“=fsin"xdx(〃为正整数).

TT

证：在/“中，用换元积分法，令x=—-t,于是dx=-df,sinx=sin--r=cost.

TTrr

当x=0时，t=—；当工=—时，，=0,于是,

22

兀兀兀

Psin"xdx=-，cos"tdt=fcos"tdt=rcos"xdx.

再求/〃.当〃=0时，有/o=?sin°xdx=、；

当〃=1时，有人=,sinxdx=1；

当〃22时，由定积分分部积分法有

nn

,,-1

In=『sin"xdx=PsinxJ(-cosx)

nn

二(-sin"7xcosx)5一f(一cosx)d(sin”“x)

=(/?_1)PsinH-2XCOS2Xi2

2sin〃一2x(l-sinx)dx

元

-(n-l)psin"-2xdx-(n-1)Psin“xdx=(n-l)/?J_2-(H-l)/n,

移项，整理得

(n>2).

这个等式是积分/〃的递推公式.依此类推，可得，当〃为正偶数时,

/_n—1n-31n-1n—3171

—•/()=-----------

nn-22nn-22,?

当〃为大于1的奇数时，

n-32〃一1tt—342

一•/=-----------

nn-23nn-253

n-\H-3]_TC

"为止偶数

nn-22~2

合并得/“二

n-\n-342

〃为大于1的奇数

n〃一253

从上面几个例题可知：定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法基本相同，只是在

积分过程中，每一步都应写上积分限.

作业：%1(2)(4)(6)(8)(10)(12)%7

《6112

§6.6广义积分

教学目的与基本要求：

1.熟练掌握无限区间上的广义积分与无界函数的广义积分.

重点：掌握广义积分的敛散性的判别法.

课时:2学时.

定积分存在有两个必要条件，即积分区间有限与被积函数有界.但在实际问题中，经常

遇到积分区间无限或被积函数无界等情形的积分，这是定积分的两种推广形式，即广义积分.

6.6.1无限区间上的广义积分

定义2设函数/(x)在［凡+8)上连续，取f>a,如果lim/(x)dx存在,则此极限称为

/(X)在［a,+8)上的广义积分，记作「"(xWx=lim有时也说广义积分

「"/(幻心收敛，若lim不存在，则称广义积分「丁(了世发散.

Jr?r—>+aoJaJa

类似地，可以定义无穷区间(-8,切匕的广义积分和(-00,+8)上的广义积分.

ff(x)dx^lim

£f(x)dx=J/(x)tZx+『f(x)dx.

其中c为任意实数，此时［j^dx与/(xMx都收敛是/(xMx收敛的充分必要条

件.

由牛顿-莱布尼兹公式，若牛(x)是/(x)在［a,+8)上的一个原函数,且limE(x)存在，则

广义积分

rf{x}dx=limF(x)—F(a).

JaxT+oo

为了书写方便，当limR(x)存在时，常记E(+oo)=limF(x),即

[rf(x)dx=FM=F(+oo)-F(6Z).

另外两种类型的广义积分收敛时也可类似地记为

b+O0

£/(X)JX=F(X)=F(b)~F(-oo),[/(xRx=F(x)=F(+oo)-F(-oo).

-oo"-00

注意：当F(+oo),F(-oo)有一个不存在时，广义积分发散.

上述广义积分统称为积分区间为无穷的广义积分，也简称无穷限积分.

例1计算无穷限积分］pe-'dx.

图6-5

xxr

解：Pe~dx=lim[e~dx=lim(-^")=lim(-e-z+1)=1.

Jorf+ooJorf+00o/->+x

此积分在几何上表示在区间［0,+8)匕e'和x轴之间图形的面积(如图6-5)

例2计算［—3dx.

J-®l+x

解：「占小匚q一(一9=%,

例3证明广义积分］“当当p〉l时收敛，当p41时发散.

证：P=1时

11+8

f-ydx=1—dx-(Inx)|=+oo.

1JP陵+8,”1

当P*I时,f7公=(葭)=］.

Xl-pI-p>\

［p-1

因此，当P>1时，该广义积分收敛，其值为」一；当pWl时，该广义积分发散.

例4试讨论广义积分「"xsinxdx的敛散性.

解：因为

lim［xsinxdx=limfxd(-cosx)

/->+ooJ0;->+ocJO

=lim(-xcosx+sin=lim(-/cosz+sinr)

TT+co10-

上述极限不存在，所以「"xsinxdx发散.

6.6.2无界函数的广义积分

定义3设函数/(x)在\a,b］上连续，而lim/(x)=oo.取£>0,如果极限

L」X-X/+0

lim£f(x)dx存在，则此极限叫做函数/(x)在［凡句上的广义积分，仍然记作

，/(刀心，即

(f(x\lx=lim

Ja£->0M

这时也说广义积分f/(xMx收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分f/。9发散

类似地，设/(X)在卜,“上连续，而lim/(x)=8,取£>0,如果极限limff(x)dx

存在，则定义

ff(x)dx=limf'f(x)dx.

6t->0+M

否则，就说广义积分发散.

又设/(x)在上力］上除点c(a<c<b)外连续，而lim/(x)=8.如果两个广义积分

［与，/(幻心都收敛，则称上述两积分之和为函数/(X)在上的广义积分，

即

£/(x)Jx=£f(x)dx+^f(x)dx,

这时称广义积分收敛；否则，就说广义积分f/(xRx发散.

例5计算广义积分『JL—(a>0).

解：因为

limf，=4-oo,

—。\la2-x2

所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是

..CI—£

=limarcsin-----arcsin0=arcsin1=—.

£->o+a2

这个广义积分值在几何上表示位于曲线>=-；"=彳之下，X轴之上，直线x=0与

—%-

x=Q之间的图形面积(如图6-6).

图6-6

例6讨论广义积分的敛散性.

解:因为被枳函数〃x)=4在积分区间［-1,1］上除x=0外连续，且㈣4=°°•所以x=0

是被积函数的无穷间断点，于是

所以广义积分上;必发散，因而广义积分发散.

注意：若该题未注意到x=0是无穷间断点，而直接利用定积分计算，有

J：5dx=(-［)L=-1-1=一2,则出现错误，故在积分计算中一定要注意检查是否有无

穷间断点.

例7证明广义积分与当q<1时收敛，当q21时发散.

证：当q=l时

[―=[―lim[—dx=limInxf=oo.

Jox"*)X£-»0+J/X£->0+£

当4声1时

1,

fdxx'^,1--,"1

"q

+co,q>1

因此，当q<l时，该广义积分收敛，其值为」一；当q21时，该积分发散.

1-<7

例8

分析:它是一个定积分区间为无穷的广义积分，并且

除0点外，在积分区间上连续，且lim=00,故广义积分既是无限

x->0+

区间的广义积分，又是无界函数的广义积分，因此本题要分成两种广义积分来计算

解：

lim“dx+lim&dx

r->co

=limf(-2上-为(-4)+lim](-2.3(-4)

J—>0/TOOJI

=lim(-2e-1+2"指)+lim(-2e^+21)

=-20-+2+0+2/=2.

注：该广义积分既是无限区间的广义积分，又是无界函数的广义积分，可简称为混合型的广

义积分.

作业：%1(2)(4)(6)2(1)(3)(5)

§6.7定积分的应用

教学目的与要求：

1.学会掌握微分法处理问题的基本思想.

2.熟记平面图形面积及平面曲线的弧长的计算公式.

重点：微元法的思想及平面图形面积.

难点：微元法.

课时：6学时.

6.7.1定积分的元素法

根据定积分的定义，用它解决实际问题的基本方法是“分割、近似、求和、取极限”，也就

是下述四个步骤：

第一步：分割，将所求量尸的定义域可任意分成〃个小区间

a=x0<xi---<xn=b.

第二步：近似，在每个小区间上任取一点。作为F在此小区间上的近似值，

第三步：求和，求出产在整个区间［。,可上的近似值，F=

/=1f=l

第四步：取极限，取/l=max(Ar,.)^0时的极限得到b在［a,b］上的精确值，

/=lim£/C=ff(x)dx.

2->0/=1而

在上述四个步骤中，第二步最为关键，因为它直接决定了最后的积分表达式.在实际的应用

中，通常将上述四步简化为以下两步：

(1)在可上任取一个子区间［x,x+dx］,求出/在此区间上的部分量△£.的近似值,

记为dF=f(x)dx(称为f的元素)

(2)将元素而在［a,句上积分(无限量加)得尸=f/(xMx.

(1)、(2)两步解决问题的方法称为定积分的元素法.

利用元素法解决实际问题最主要的是准确求出元素表示式dF=/(x)dx.一般地，根据具体

问题的实际意义及数量关系，在局部［x,x+dx］上，采取以“常量代替变量”，“均匀代替不

匀”，“直线代替曲线”的方法，利用关于常量，均匀，直线的已知公式，求出在局部［x,x+dx］

上所求量的近似值，从而得到所求元素dQ=/(x)dx,就可化为定积分求解.

下面我们用元素法来讨论定积分的•些应用问题.

6.7.2平面图形的面积

1、直角坐标情形

由定积分的几何意义可知，曲线y=/(x)(/(x)20),x轴及直线x=a,x=b所围

成的平面图形的面积可以表示为定积分即

A=£/(x)Jx.

其中被积表达式/(x)dx就是直角坐标系下的面积微元dA,如图6-1所示，它表示高为

/(x),底为dx的一个矩形面积.