高中数学必修第一册课后限时训练62　指数函数与对数函数

高中数学必修第一册课后限时训练62指数函数与对数函数

题组1

1.化畔黯的结果为（）

A.1B.2C.3D.0

铤析2恒(他-1°°)_(lg21001ga)=2[lgl00+lg(]ga)]:2

24-lg(lga)-2+lg(lga)-2+lg(lga)一"，

答案：B

2.关于函数；（x）=G）”与函数g（x）=log，x|在区间（一8,0）内的单调性的描述正确的是（）

A.犬x）和g（x）都单调递增

B.凡r）和g（x）都单调递减

C.火x）单调递增，g（x）单调递减

D.4x）单调递减，g（x）单调递增

解析：段）=（；）在区间（—8,0）内单调递减，g（x）=logjjx|为偶函数，当xC（0,+oo）时，g（x）=log了单调递

减，所以g（x）在区间（—8,0）内单调递增.

答案：D

3.已知“X）是函数y=log2X的反函数，则y=/（l—x）的图象是（）

解析：因为./U）是函数y=log2%的反函数,

所以«r）=2士

所以）,却一x）=2ir=CyI其函数的图象可由函数），=（丁的图象向右平移1个单位长度得到，故选C.

答案：C

4.函数式x）=7tx+k>g2尤的零点所在区间为（）

解析：因为在4个选项中，只有段）/（*0,又函数/U）的图象是连续不断的，所以函数段）的零点所在

区间为。3

答案：c

5.己知4=logo.6().5,&=ln0.5,c=0.6°$,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

解析：因为y=log().6X在区间(0,+oo)内为减函数，所以logo,60.6<k)go.60.5,即〃>1.

同理，In0.5<ln1=0,即6co.

又0<0.6°-5<0.6°,所以0<c<1.

所以a>c>B.

答案:B

6.已知关于x的方程-2|=〃?有两个实数解，则实数加的取值范围是（）

A.（0,+00）B.[0,2J

C.（0,2）D.（2,+00）

解析：画出函数火x）=|3*+i—2|的图象（图略），由图象可知，要使直线）=加与段）的图象有两个不同的交点，

需满足0cm<2.

答案：C

2X—1Y<1

'~'则函数段）的零点为__________.

{1+logx,X>1,

2

解析：当xW1时，由火x）=2*-1=0,解得x=0；

当X>1时，由式X）=l+lOg2X=0,解得x=,

又因为x>l,所以此时方程无解.

综上，函数贝X）的零点只有0.

答案：0

8.函数段）=IOg2代•log遮（2x）的最小值为.

解析：由题意得x>0,所以

22

Xx）=log2Vx-log>/2（2r）=ilog2X-log2（4jc）=^log2X-（log24+21og2X）=log2x+（log2X）=（log2x+3-i

当且仅当X=当时,有*x）min=-7.

L4

套案・—1

口米.4

9.已知函数yu尸出一X-Q（〃>O,且对1）有且仅有两个零点，则实数〃的取值范围是.

解析：分〃>1与0<。<1两种情况，画出函数与函数y=x+a的图象，如图所示.

由图知，当时，两个函数的图象有两个交点；当0<。<1时，两个函数的图象有一个交点.

所以实数。的取值范围是（1,+00）.

答案：（1,+00）

10.已知函数年）招2”+万30其中常数。，力满足川存0.

⑴若附>0,判断函数应¥）的单调性；

⑵若外<0,求不等式yu+i）»U）的解集.

解析：⑴当〃>0,人>0时，因为y产。””="31在区上都单调递增，所以函数人x）在R上单调递增;

当〃<0,*0时，因为yi=a-23>2=63，在R上都单调递减，所以函数兀0在R上单调递减.

综上可知，当外>0时，函数7U）在R上单调递增.

（2VU+1）Fx）=s2*+2Z?3>0.

①当"0,/?>o时，0>一枭解得x>iogm（一治）；

②当a>0,/?<0时，(|)<一条解得工<1唯(一盘)

故当〃<0,。>0时，所求的解集为+>嘴(一给，;

卜内湾(一给).

当4>0,。<0时，所求的解集为k

11.已知函数Xx)=log2(2'+1).

(1)求证：函数1X)在区间(一8,+8)内单调递增；

(2)若g(x)=log2(2x—1)(X>0)，且关于x的方程g(x)="任/U)在区间[1，2]上有解，求机的取值范围.

⑴证明：任取X],检《(-8,+00),且沏<x2，

则於])-7(X2)=10g2(2xi+1)—10g2(2x2+1)=log2翁詈.

因为xi<无2,所以o〈孕］:卜1,

/X2+1

所以log2t§Tl<0,所以•穴加)<於2).

所以函数兀¥)在区间(-8,+8)内单调递增.

(2)解析：因为g(x)=m+j(x)f所以g(x)—J(x)=ni.

设h(x)=g(x)—/(x)=Iog2(2A—1)—Iog2(2v+l)=log2^y=log2(l—

设1式即<12式2,则3W2XI+1<2X2+1W5,

即

3-2打+12X2+1-5

即叁-2-2<_2

2xi+l2到+1、51

-1<I__2.__L_<5

"3'^2xi+l<l2X2+1~51

.：log2gw/z(xi)</j(X2)Wk)g2,

即〃(x)在区间[1,2]上单调递增且值域为[脸白log2|].

要使g(x)—fix)=m有解,

故机的取值范围为[logzg，log?1].

题组2

1.下列区间中，函数兀v)=|ln(2r)|在其上单调递增的是()

A.(-00,1]B.[-1,1]C.[o,1]D.[1,2)

解析：当2—"X21,即xWl时，/(x)=|ln(2—x)|=ln(2—尤)，此时函数大乂)在区间(-8,1]上单调递减.

当0<2—xWl,即lWx<2时，%)=|ln(2-r)|=-ln(2-x),此时函数凡r)在区间(1,2)内单调递增，故选D.

答案：D

2.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数:力(x)=21og2(x+l),

我(x)=k>g2(x+2),^(x)=log2X2,启x)=log2(2x),则是"同形”函数的是()

A.及(x)与,(x)B.力(x)与力(x)

C.力(x)与亦(x)D.力(x)与力(x)

解析：因为y4(x)=log2(2x)=l+log2X,所以力(X)=log2(X+2)的图象沿着X轴先向右平移2个单位长度得到

y=log2X的图象，再沿着y轴向上平移1个单位长度可得到Aa)=log2(2x)=l+log2X的图象，根据“同形"函数

的定义，及(X)与.启(X)为“同形”函数.力(x)=log2/=21og2\x\与f\(X)=21og2(x+1)不“同形"，故选A.

答案：A

3.已知函数危°"e,若a,〃,c互不相等，且式a)=ys)"c),则"c的取值范围是__________.

(2—In%,x>e,

解析：画出函数«r)的图象如图所示.

设不4方设a<b<c,则直线与函数/(x)的图象交点的横坐标从左到右依次为mb,

C.

由图象易知0<a<1</?<e<c<e2,所以式a)=|lna\=_Ina,J(b)=\\nb\=\nB.

2

因此一lna=ln。，Ina+\nb=OfInab=]n1,于是〃b=l.所以而c=c£(e,e).

答案：(e,e2)

4.如图，矩形ABC。的三个顶点A,B,C分别在函数月og邈，y=xty=(穿的图象上，且矩形的边分

别平行于两坐标轴.若点4的纵坐标为2,则点D的坐标为.

解析：由题中图象可知，点A(XA，2)在函数y=log、3的图象上，所以2=loggX4,

TT

1

点B(XB，2)在函数的图象上,

1

所以2=系即用=4.

D

由点8为(4,2),可知点C为(4,>'C).

又点C(4,yc)在函数y=(式的图象上，所以%=停了=今

又XD=XA=：,”>=)(=[,所以点D的坐标为弓，弓).

答案:出5)

5.已知函数火x)=log“(l-x)+loga(x+3)(0<a<l).

(1)求函数的定义域；

(2)若函数;(X)的最小值为-2,求a的值.

解析：⑴要使函数/(x)有意义，则有)’解得一3<X<1.

(X+3>0,

故函数人力的定义域为(-3,1).

(2)函数_/U)可化为

/0)=10劭[(1—x)(x+3)]

22

=k）g“（—x—2x+3）=logfl[—（x+l）+4].

因为一3<x<l,所以0<一（x+iy+4W4.

因为0<a<l,所以log„[—（x+1）2+4]log„4.

所以log„4=-2,即（P=4,解得4=4-2=热

6.已知函数人工）=|?V+log击

⑴求函数兀v）的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）若函数g（x）=yu-X2）七娉｝求函数g（x）的零点.

解析：（1）要使函数/（x）有意义，则有上空>0,解得一故函数y（x）的定义域为（-1,1）.

1—X

（2）函数兀0为奇函数.理由如下：