数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析

中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：时间20082009201020112012人数（万）132996.6133770.2134548.4135331136118.2时间20132014201520162017人数（万）136910137706.4138507.4139313.1140123.4模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；不考虑人口的迁入和迁出；不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。当今面临的问题是如何很好的预测出未来人口的变化趋势，并根据趋势制定出合理可行的人口规划方案，以缓解人口对经济的影响。所以准确的预测出人口的发展趋势势在必行。短期人口预测：根据获得的历年的人口数据，利用灰色模型预测出未来10年人口的增长趋势。中长期人口的预测和分析：将人口分为6大类，利用Leslie模型分别预测出各类人未来70年的人口数，并根据获得的数据，对人口的老龄化等进行简单的分析。模型建立与求解模型一、中国人口总数的短期（2008-2017）预测采用灰色模型预测短期人口数。灰色模型是用时间数据序列建立系统的动态模型，把2000-2007年人口数据（这些数据是一组离散的原始数据），经7次累加生成规律性强的累加生成序列，可以弱化原始人口数据的离散型。然后对累加生成序列建模，最后进行7次累减还原成预测值。从中国统计年鉴-2008查得2000-2007年我国的人口数据如下：表12000年到2007年人口数据年份城镇人口乡村人口总人口2000459068083712674320014806479563127627200250212782411284532003523767685112922720045428375705129988200556212745441307562006577067374213144820075937972750132129下面，我们采用两种方法进行人口的短期预测。一种是，我们用灰色模型分别预测出2008-2017年城镇人口和乡村人口，然后加和得到总的预测人口数；另一种是，我们根据总的人口数用灰色模型预测出未来十年的人口数。最后，我们将这两种方法得到的值分别求与实际值的相对误差，采纳误差较小的一种方法的预测值。方法一：由表得知，2000年到2007年城镇人口的原始数据为＝[45906，48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]一次累加公式为经过累加得到累加生成序列为＝[45906，93970，144182，196558，250841，307053，364759，424138]定义累加矩阵为常数项＝[48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]按最小二乘法原理解方程组B*a=Y则则=1377631.7233e-1329567.7233同理，用灰色模型得到乡村人口预测为=[80837，79563，78241，76851，75705，74544，73742，72750]＝[80837，160400，238641，315492，391197，465741，539483，612233]=[79563,78241,76851,75705,74544,73742,72750]=-5330296.3333e+5411133.3333得到的总人口预测为X=1377631.7233e-5330296.3333e+4081565.61方法二：用灰色模型得到总人口人口预测为＝[126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129]＝[126743，254370，382823，512050，642038，772794，904242，1036371]=[127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129]=21954329.207e21827586.207（*）根据灰色模型推导出的公式（*）我们得到两种方法下预测出的人口数据如下：(源程序见最后附页)表2城镇+乡村预测得到的数据及数据分析表年份城镇人口乡村人口城镇+乡村=预测总人口实际人口相对误差200148642.8979357.77128000.71276270.002928200250360.4378176.29128536.71284530.000652200352138.6177012.4129151129227-0.00059200453979.5875865.83129845.4129988-0.0011200555885.5474736.34130621.9130756-0.00103200657858.8173623.66131482.51314480.000262200759901.7572527.54132429.31321290.002273200862016.8371447.75133464.6200964206.5870384.03134590.6201066473.6669336.15135809.8201168820.7868303.87137124.6201271250.7867286.96138537.7201373766.5866285.18140051.8201476371.2165298.33141669.5201579067.864326.16143394201681859.6163368.47145228.120178475062425.04147175用matlab作出曲线如下：图1城镇+乡村总人数随时间的变化关系图由上表中我们可以看到，用灰色模型预测到的城镇人口数与乡村人口数之和与实际人口之间的相对误差大都小于0.2%，即与实际人口非常接近；从图线中也可以看出拟合曲线得到的数据与实际数据十分接近，从而也可以说明我们预测得到的2008-2017年的人口数比较符合现实。然后，我们又在实际总人口的前提下用灰色模型进行预测，得到的结果如下表所示(源程序见最后附页)：表3根据历年总人口数得到的数据及数据分析表年份总人口实际人口相对误差2001127705.11276270.000611912002128447.91284530.0000397032003129195.1129227-0.0002468482004129946.6129988-0.0003184182005130702.5130756-0.0004092382006131462.81314480.000112342007132227.51321290.0007452292008132996.62009133770.22010134548.420111353312012136118.220131369102014137706.42015138507.42016139313.12017140123.4同样，根据得到的公式及数据作出总人口随时间变化曲线如下图：图2根据总人口预测的人口数随时间的变化关系图从上表中可以看出，根据实际总人口数用灰色模型预测得到的人口数据相对误差均小于0.1%，也就是说比用灰色模型分别预测城镇和乡村得到的人口数更贴近实际。所以选用方法二预测得到的人口数据较好。模型二、中国人口中长期（2006-2074）增长预测和简单分析采用Leslie模型进行中长期的人口预测。“种群是直接通过雌性个体的生长的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。”[1]所以，只预测女性的人口数量，然后根据过去几年的男女性别比预测出未来的性别比，进而推算出男性人口的数量，最后给出人口的总数量。我们在考虑人口预测时只从女性考虑，并将所给的6类人按年龄每五年为一个年龄段划分为20个年龄组。每5年观察一次人口数，即时间间隔与年龄段等长。记（t=0,1,2…,20）为第i个年龄组在第t个时间段的女性总人数；记第i年龄组的生育率为，即每个（雌性）在1个时段内生育的人数；记第i年龄组的死亡率为，即1个时段内死亡数量占总量的比例；记为存活率。其中，0,i=1,2,…,20,且至少有一个>0;,i=1,2,…,19。根据定义知道，时段t+1第1年龄组的数量是各年龄组在时段t的生育数量之和；时段t+1第i+1年龄组（i=1,2,…,19）的数量是时段t第i年龄组存活下来的数量。由此得到记种群数量在时段t按年龄组的分布向量为由生育率和存活率构成的矩阵L=则(1)(2)可以表示为当矩阵L和按年龄组的初始分布为x(0)已知时，可以预测女性人口数量在时间段t按年龄组的分布为以所给2005年的人口数据为起始时刻的x(0)，根据模型一的计算结果，得到L(见附件L矩阵)，依次可以得到每类人2009-2074年的女性人口数。表4Leslie模型预测得到的乡村女性人数结果（部分，详见附件Leslie模型预测结果）年龄段2009201420192024202920340_42326.5512561.932726.162554.322258.0692177.0315_91965.6032323.9432559.0582723.1042551.4562255.53810_142340.1341957.8512314.7782548.9662712.3642541.39315_193158.4412329.8091949.2132304.5652537.7192700.39720_243085.8723138.8842315.3831937.1442290.2952522.00625_292055.883061.0373113.6232296.7491921.5532271.86330_342115.7272032.6573026.4593078.4512270.8051899.84835_392836.952089.0692007.0452988.3263039.6632242.19340_443512.4462792.0012055.971975.2452940.9792991.50245_493073.2043443.182736.9432015.4261936.2942882.98350_542355.9652986.6753346.2342659.8821958.681881.77555_592641.1192259.8612864.8433209.7342551.381878.78160_641901.2522467.3542111.182676.3592998.562383.51965_691302.8261663.5882158.9251847.2742341.8042623.72870_74976.3571030.3481315.6591707.3991460.9281852.02975_79691.8703635.7958670.9542856.74651111.844951.344480_84394.3049372.0519341.8979360.8043460.7137597.8921∑36340.237146.0437272.4337740.4936882.3936653.82预测女性的人数后，接下来根据女性的人数预测出男性的人数。我们假定未来若干年内男女的性别比例基本不变，根据给出的2001-2005年的数据求出男女性别比例的均值作为未来的男女性别比例。则有：男性人数=女性人数×男女性别比例系数总人口数=男性人口数+女性人口数预测出的总的人口数如下：时间2009201420192024202920342039人口数（万）140899.8142730.7142417.8141973.5137890.9134352.9128082.9时间2044204920542059206420692074人口数（万）124150.4117153.2113180.6107326.3103900.598697.5896331.96根据预测出的人口数画出的人口总数—时间曲线图如下：图3人口总数—时间曲线（源程序见附页）从上图可以看出，我国的总人口数呈现先增后减的趋势，人口峰值大约出现在2020年左右。出现这一现象的原因，可能是国家政策和人的生育意识的改变。图4未来我国老龄人口曲线（源程序见附页）从上图中可以看出，我国的老龄人口呈现先急剧增加又缓慢减少的趋势，尤其是2010-2040年，我国的老龄人口数增长迅速，可能会对我国的养老制度产生冲击，影响经济的快速稳定增长。因此，应该实施相应的政策加以应对，如延迟职工退休年龄等。模型的优点和缺点模型一：优点：灰色模型是用时间数据序列建立系统的动态模型，把2000-2007年人口数据（这些数据是一组离散的原始数据），经7次累加生成规律性强的累加生成序列，可以弱化原始人口数据的离散型。同时，我们也较好的预测出了城镇化率缺点：只能做短期预测，对于中长期预测，我们需要建立其他模型另解。同时，灰色模型主要是反映数据的规律性，而不能完全反映各种非规律性的社会因素对预测指标的影响，因此，尽管与已知数据相比误差很小，但也不能完全依赖其预测结果。模型二：优点：采用赖斯莉模型，充分考虑到了年龄结构对总人口数增长的影响。而且采用分类的方法对总人口进行预测，考虑到了市镇乡不同的环境对人口增长的影响，最终求出的总人口数与实际更接近。缺点：虽然在计算男性人口数时采用的是男女性别比的平均值，但是假设男女性别比为定值与现实有些偏颇，影响了预测的真实性。另外，采用分类的方法进行人口的预测，计算量较大。模型的优化与改进模型一的优化：由于模型一没有考虑迁移因素，短期几年内，迁移对城镇人口与乡村人口的数量有较大影响，但对总人口数预测的影响不大，有待于建立包含迁移因素的灰色模型来预测城镇、乡村人口数量的变化。模型二的优化：在模型二中假定男女性别比例为定值对预测结果的影响很大。可以通过对给出的2001-2005年的男女性别数据求出每类人的平均值，然后用灰色模型预测出未来我国人口的男女性别比例，再与预测出的女性人数相乘得到男性人数，进而得到全国总人数。虽然用预测出的值相乘仍存在误差，但是较之于改进前，数据的准确性会大大提高。由于时间的原因，我们未进行该改进。参考文献【1】数学建模及其实验，严喜祖、宋中民、毕春加编，科学出版社；【2】数学模型，姜启源，谢金星，叶俊编，高等教育出版社；【3】数学建模简明教程，西北工业大学数学建模指导委员会编，高等教育出版社；【4】灰色模型在人口预测中的应用，蒿建华；【5】中国人口增长的预测和人口结构的分析，作者不详；附页（源程序）：Ⅰ.灰色模型预测的源程序：城镇人口:B=[-69938,1;-119076,1;170370,1;-223699.5,1;-278947,1;-335906,1;-394448.5,1;];Y=[48064;50212;52376;54283;56212;57706;59379];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*-0.00005.1264乡村人口:B=[-120618.5,1;-199520.5,1;-277066.5,1;-353344.5,1;-428469,1;-502612,1;-575858,1];Y=[79563;78241;76851;75705;74544;73742;72750];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*0.00008.1167总人口:B=[-190556.5,1;-318596.5,1;-447436.5,1;-577044,1;-707416,1;-838518,1;-970306.5,1];Y=[127627;128453;129227;129988;130756;131448;132129];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+005*-0.00001.2660Ⅱ.图1（城镇+乡村总人数随时间的变化关系图）源程序：t=2001:1:2017;y=[12770510001284479000129195100012994660001307025000131462800013222750001329966000133779200013454840001353310000136118200013691000001377064000138507400013931310001401234000];x=2001:1:2007;z=[127627000012845300