集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

1.4.2充要条件

【课程标准】

1.理解充要条件概念.

2.结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充要条件.

【知识要点归纳】

1.充要条件

一般地，如果既有poq,又有qop就记作.

此时，我们说，P是q的，简称.显然，如果P是q的

充要条件，那么q也是P的充要条件.

概括地说，如果poq,那么p与q.

2.四种条件

集合关系

推出关系充分性、必要性

（A={x|x满足条件p}）

8={x|x满足条件g}

p=>祖p=>q（可记作poq）充要条件A=B

p=>q且p»q充分不必要条件At）B

pRq且p=>q必要不充分条件BUA

既不必要也不充

p¥>q且p与q

分条件

3.总结判断充分必要的条件的方法

(1)定义法

(2)集合法

【经典例题】

例1.下列各题中，P是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充

要条件”“既不充分也不必要条件”)

(l)p:x<2,q\x<\\

(2)p:x<O,q:，行有意义

(3)p:x>0,q:|x|=x;

(4)p:A=8,4:AU8=伏

(5)p:a是素数,q:a不是偶数.

(6)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.

例2"xur是'f—Zx+lnCT^l)

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

例3已知求证：a+b=1是a'+^+ab—/—尻=0的充要条件.

注意：从充分性、必要性两方面证明.

例3求关于x的方程数2+2》+1=0至少有一个负实根的充要条件.

[跟踪训练]已知方程f+（2左一1改+标=0,求使方程有两个大于1的实数根的充

要条件.

例4设命题p:xe,命题q:xe[a,a+l],若p是q的充分不必要条件，求实数”的取值范围

【当堂检测】

一.选择题（共4小题）

1.设xwR,贝I"0<x<5"是'T<2x+1<3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）

X

A.0cxv-B.x>\C.x>2D.x<0

2

3.“x<2”是u\x\<2n的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.不等式/+3*+2>0成立的一个必要不充分条件是()

A.(—1,+co)B.[―1，+8)

C.(-oo,—1,4-oo)D.(―1,4-oo)(―oo9-2)

二.填空题(共2小题)

5.已知-1<xvm+1,(y:2<x<6,若q是p的必要不充分条件，则实数机的取值范

围为.

6.下列说法中〃是g的必要条件的是—.

①p："x=l"，q："%2一2%+1=0”；

②设。，。是实数，〃：“a+0>0"，q："ab>0”.

三.解答题(共1小题)

7.A={x\x2-2x-3<0},B={x\x2一(2。+1)X+Q(〃+1)>0}.

(1)若a=l,求；

(2)若xwA是的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

当堂检测答案

选择题（共4小题）

1.设xeR,贝I"0<x<5”是“l<2x+lv3”的（）

A.充分不必耍条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由l<2x+l<3解得x范围，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论.

【解答】解：.-.0<x<l,

•.•0<xv5推不出0vxv1,

0<x<l^>0<x<5，

.•.0<xv5是0<x<l的必要不充分条件，

即0cx<5是1<2犬+1<3的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题.

2.使不等式0<，<1成立的一个充分不必要条件是（）

X

A.0<x<—B.x>1C.x>2D.x<0

2

【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件.

【解答】解：不等式

x

x>0

<1，解得X>1，

—<1

故不等式的解集为：（1,y0）,

则其一个充分不必要条件可以是x>2,

故选：C.

【点评】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题.

3.ux<2n是"|x|<2"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据必要条件和充分条件的定义即可判断.

【解答】解:由“x<2”不能推出u\x\<2n,由u\x\<2n能推出“x<2”，

故“x<2”是“|x|<2"的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题.

4.不等式Y+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是()

A.(-l,+oo)B.[―1,+8)

C.(―oo9—2]^J[—1f+oo)D.(—19-Foo)(—oo9—2)

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：由不等式/+3%+2>0,解得xv-2或不>-1,即不等式的解集为(-8,

-2)k_J(-1,4-oo),

则不等式x2+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是(-8,-2][J[-1,+oo),

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

二.填空题（共2小题）

5.已知p:〃?-1cx<%+1,q:2<x<6,若q是p的必要不充分条件，则实数机的取值范

围为—[3—5]_.

【分析】根据q是0的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得加的取值范围.

[〃z+L,6

【解答】解：p.m-\<x<m-\r\夕：2vx<6；

•「g是〃的必要不充分条件；

即由〃能得到9,而q得不到〃；

2,解得3效血5；

[m+1„6

的取值范围是[3,5].

故答案为：[3,5].

【点评】考查解一元二次不等式，以及必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念，属于

基础题.

6.下列说法中.是q的必要条件的是

①0："x=l"，q：G-2x+l=0”；

②设a,人是实数，p：“a+b>0",q："ab>0".

【分析】①q：ax2-2x+l=0",即X=1,由4np,即可判断出结论；

②由已知可得：〃与q相互推不出，即可判断出结论.

【解答】解：①q："d—2x+l=0",即x=l,由qnp,因此p是g的必要条件；

>>，>

②设a,〃是实数，p：a+b>0,<7：“必>0”.可得：p与q相互推不出，因此。不

是q的必要条件.

故答案为：①.

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

三.解答题(共1小题)

7.已知A={x\x2-2x-3<0},B={x\x2-(2a+\)x+a(a+1)>0}.

(1)若。=1,求App；

(2)若xwA是xwZ?的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【分析】(1)分别解出不等式f-Zx-vO,幺一31+2>0,利用交集运算性质可得：

(2)根据xeA是％£8的充分不必要条件，可得