高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（1）

一、单项选择题（本大题共17小题，共85.（）分）

1.己知球。表面上的四点A,B,C,P满足AC=BC=奁，AB=2,若四面体PA8C体积的最大

值为|,则球。的表面积为（）

A25h25万25c

A.-7TB.waC.五兀D.87r

2.在我国古代数学专著仇章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称作出尸更刁G

“堑堵”.如图，三棱柱ABC—4B1G为“堑堵”，其中AB=BC,AC=/

点E,尸分别为棱Ba,4G的中点.过点A,E,尸作一截面，［匕

记该截面所在平面与平面BCGBi的交线为I,则直线/与直线A公所成的角

的余弦值为

A.双亘B.乜亘C.白D.2

13131313

3.如图，在平面四边形ABC。中，ADLCD,△ABC是边长为3的正三角形.将大

该四边形沿对角线AC折成一个大小为120。的二面角D-AC-B,则四面体/\

ABCD的外接球的表面积为（）1/\

4«

A.127r

B.13兀

C.147r

D.15兀

4.正方体的内切球和外接球的体积之比为（）

A.1：V3B,1：3C.1：9D,1：3V3

5.如图，正三棱柱4BC-力iBiQ各条棱的长度均相等，。为的中点，M,N分别是线段BBi和线

段eg的动点（含端点），且满足8M=CiN,当M,N运动时，下列结论中不无硬的是

A.在40MN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN_1_平面8CC1B]

C.三棱锥&-DMN的体积为定值

D.ZDMN可能为直角三角形

6.三棱锥P-ABC中，P4平面A8C且P4=2,回4BC是边长为次的等边三角形，则该三棱锥外

接球的表面积为（）

47r

A.—B.4兀C.87rD.207r

7.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①与ED平行②CN与BE异面

③CN与BM成60。（4）DM与BN垂直

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

8.如图，动点P在正方体4BCD-4B1C1D1的对角线BCi上,过点尸作垂直于平面BB1C1C的直线,

与正方体表面相交于M,N两点，设BP=x,MN=y,则函数y=f（x）的图象大致是（）.

AB

9.在棱长为1的正方体4BCC—aBiCiDi中，ACQBD=0,E是线段&C（含端点）上的一动点,

①OE1BD]:

②OE〃面AC。;

③三棱锥4-BDE的体积为定值;

④0E与4G所成的最大角为90。.

上述命题中正确的个数是（）

10.如图，两个同心球的球心均为点O,其中大球与小球的表面积之比为

3:1,A,C为小球球面上的两点，B,。为大球球面上的两点，线段

AB,均不穿过小球内部.当三棱锥4-BCD的体积达到最大值时,

异面直线AO与3c所成的角为仇则sing=（）

11.如图,ABCD-ABiGDi是棱长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥,

若点5,4，Bi，G，%在同一个球面上，则该球的体积为（）

12.如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-4B£Di中，点E,尸分别是棱G5，

B1G的中点，过A,E,尸三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）

A.18+3V2•步’

B.6g+3鱼

C.6V5+9V2

D.10+3V2+4V10

13.已知点4B,C,D在同一个球面上，4B=2V3MC=4,Z.BAC=30。,若四面体A8CD体积的最大值

为4,则这个球的表面积为（）

A.487rC.647r

已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（

16V2

C.亚n-------71

15.如图，正三棱柱，BC-ABiG（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各

条棱长均相等，。为441的中点.何、N分别是BBi、CCi上的动点（含

端点），且满足BM=GN.当M,N运动时，下列结论中不正确的是（）

A.平面DMN，平面BCGa

B.三棱锥&-OMN的体积为定值

C.AOMN可能为直角三角形

D.平面。MN与平面4BC所成的锐二面角范围为（0,引

16.在四棱锥P-力BCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△P4C是一个正三角形，若平面PAD1

平面A8CA则该四棱锥的外接球的表面积为

17.三棱锥4-BCD中，^ABC=4CBD=/.DBA=60°,BC=BD=2,4ACD的面积为VII，则

此三棱锥外接球的体积为（）

A.167rB.47r

二、多项选择题（本大题共5小题，共20.0分）

18.我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童ABC。-

EFGH有外接球，且AB=5,AD=小,EF=4,EH=2,平面A8CD与平面EFGH的距离为

1,则下列说法中正确的有（）

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B-4。一”的余弦值为m

5

19.折纸艺术起源于中国，是深受大众喜爱的手工艺.如图，有一张矩形

卡纸A8CD,M为BC的中点，将AABM沿直线AM翻折成AABiM,

连结/。，N为BiD的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是

（）

A.存在某个位置，使得CNJ.4B1

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若力B=BM,则力M1B[D

D.若AB=BM=1,当三棱锥a-AMD的体积最大时，三棱锥/一4"。的外接球的表面积是

47r

20.如图，在正方体力⑶⑺一人道停也中，点尸在线段BG上运动.下列

判断正确的是（）

A.平面PBiD，平面4CD]；

B.&P〃平面4CJ；

C.异面直线4P与AD1所成角的取值范围是（0,外；

D.三棱锥-4PC的体积不变.

21.对于四面体4—BCD,以F命题中正确的命题是（）

A.若4B=4C=4。，则AB,AC,AD与底面所成的角相等

B.四面体4-BCD的四个面中最多有三个直角三角形

C.若4B1C0,ACLBD,则点A在底面BCD内的射影是ABC。的垂心

D.若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为g

22.如图，矩形A8CZ）中，〃为3c的中点，将△ABM沿直线AM翻折成ZL4B1M,连结N为B、D

的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN14B

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若4B=BM,贝IJ2M1BAD

D.若4B=BM=1,当三棱锥&一AMD的体积最大时，三棱锥当一4M0的外接球的表面积是

47r

三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

23.已知尸,4,B,C,O是球。的球面上的五个点，四边形4BC。为梯形,4D〃BC,AB=DC=AD=2,

BC=PA=4,PA_1_面ABCD,则球O的体积为

24.在正四棱锥V-ABC。中，底面边长为2,侧棱VB=b，E为8c的中点，F为直线3上一点，

且尸与V,4不重合，若异面直线BF与VE所成角为60。，则三棱锥B-4FC的体积为.

25.已知正方体ABCD—4B1GD1的棱长为2百，M,N为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角

形2CB1内，且三角形PMN的面积品PMN=竿，则点2的轨迹长度为（）

26.如图，在棱长为1的正方体48。。一公8道1/中，P,。分别为BDi，BB］上的动点，贝必QPQ周

长的最小值为

Di

27.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线;

③CN与8M成60。；④DM与8N是异面直线;

以上四个命题中，正确命题的序号是.

28.在棱长为1的正方体ABC。-&B1C15中，点尸是正方体棱上一点(不包括棱的端点)，若满足

|P川+|PG|=m点P的个数为6,则机的取值范围是

29.如图，正方形ABCC的边长为3,点E,F分别在边4。，CD上，且4E=

DF=2.将此正方形沿BE,BF,EF切割得到四个三角形，现用这四个三

角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为

四、解答题(本大题共1小题，共12.0分)

30.如图，已知正四棱柱ABCD—AiBiJDi底面边长AB=2,侧棱AA1=3,M为侧棱CJ的中点.

(1)求证：BD1AM；

(2)求证：AiG〃平面BiDM；

(3)求三棱锥Ai-BiDM的体积.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题.

可知当平面ABP与平面ABC垂直时，四面体PABC体积最大，求出P到底面ABC的距离，设外接

球半径为R,再由勾股定理列式求得凡则答案可求.

解：当平面A2P与平面A8C垂直时，四面体P45c的体积最大，

由AC=BC=VLAB=2,得N4CB=90°.

设点P到平面ABC的距离为儿

则：x[X/X夜xh=|,解得h=2.

设四面体ABCP外接球的半径为R,则R2=（2-R）2+12,解得R=..

所以球O的表面积为47rx（|）2=m兀.

故选A.

2.答案：A

解析：

【试题解析】

本题考查直三棱柱的结构特征，平面的基本性质及应用，异面直线所成角，考查逻辑推理和空间想

象能力与计算能力，属于较难题目.

先由平面的基本性质作出过点A,E,尸的截面四边形AEPF,如图，得出直线/即为直线ME,由此

可得与直线/所成的角为4B1EP,进而根据题意计算可得.

解：如图所示在直三棱柱4BC-&B[Ci中，延长AF和CCi交于点M,连接EV,交当^于点尸，连

接FP,

则过点4,E,尸的截面为四边形AEP尸，故直线/即为直线ME,

又AA["BBi，所以44]与直线/所成的角为NB]EP,

设4B=1,贝=1,由4MFCiMAC,可得MG=CQ=1,由^MPC^b.EPB「得自=票，

所以常解得PBi=g,则在Rt^BiEP中，PE=啊声百声=J（》2+@）2=平,

所以cosZ_B]EP—普=|x言=

故选A..

解析：解：设四面体ABCD的外接球的球心为。点.

取4c的中点E,连接BE,8E上点M为正△ABC的中心，贝UOM1平面ABC.

vADA.DC,则点E为AACO的外心.二0E1平面ACD

•••二面角。-AC-B的大小为120。，

•••4OEB=30°.

4BC是边长为3的正三角形，则BE=逋ME=旦

22

在A0ME中，OE=^~；=1.

cos300

在RMAE0中，OA=J(|)2+/=誓.

••・四面体ABCD的外接球的表面积S=4兀x(―)2=13TT.

故选：B.

设四面体ABCQ的外接球的球心为。点.取AC的中点E,连接BE,BE上点M为正△ABC的中心，

则。ML平面4BC.由4。1DC,则点E为44CD的外心.可得OE，平面4CD.根据二面角。一AC-B的

大小为120。，可得4OEB=30。.利用直角三角形的比较关系即可得出.

本题考查了二面角、直角三角形与等边三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

4.答案：D

解析:

本题考查球与正方体的组合体，球的体积.

正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，

即可求出两个半径，求出半径之比，然后求出体积比.

解：正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，

设正方体的棱长为2m所以内切球的半径为“，外接球的直径为28小半径为Ka，

所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为遮:3.

所以体积比为1:3痘.

故选D

5.答案：D

解析：

本题考查了命题的真假与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，属于中

档题.

本题不好判断的是选项。到底正确还是不正确，解析中主要利用了反证法的原理.先假设它是正确的,

再找到4MDN为直角的直角三角形时的情形，找到矛盾,对于这种不好判断的命题，我们有时可以反

证法.

解：对选项A,取MN的中点E,连接。E,过点E作2c的垂线，垂足为F,连接AF,

可以证明DE||AF,所以CE||平面ABC,故选项A正确；

对于选项B,可以证明DE1平面BCGBi，所以平面DMNJL平面BCC/i，故选项8正确；

对于选项C,VA1-DMN=VM-A1DN^底面441DN的底边4。和它的高都是一个定值，所以底面积是一

个定值，

但是点M到底面的高是一个定值，所以三棱锥&-DMN的体积为定值，故选项C正确；

对于选项。，若Z1MDN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但是的最大值为BG，

而此时QM,£W的长大于BBi，所以4MDN不可能为直角三角形，

故选。.

6.答案：C

解析：

本题考查构造直三棱柱求外接球的表面积，考查球的表面积公式，属于中档题，构造三棱柱4BC-

PQR，

求出外接球的半径，从而得到表面积.

解：构造直构造三棱柱4BC-PQR,取面ABC的中心取面PQR的中心K,连接HK,取“K的

中点。，

所以。为三棱锥外接球的球心，由P4=2,回ABC是边长为旧的等边三角形，

得到4H=yX（百＞x|=V5，OH=1,

2

所以三棱锥外接球的半径为，0"2+4/=J12+（V3）=2.

所以三棱锥外接球的表面积为47r.2?，8万，

故选C.

7.答案：C

解析：

本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线

与直线的垂直，是基础题.

正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题.

解：根据题意画出正方体如图：

显然①②不正确；③CN与5M成60。角，即/4NC=60。

正确；（4）DM_L平面BCN,所以④正确；

故选C.

8.答案：B

解析：

本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，属于较难题.

根据题意利用特殊点法及排除法即可得到结果.

解：设正方体的棱长为1,

显然，当P移动到对角线BO1的中点。时，函数y=MN=AC=应取得唯一最大值，

所以排除A、C；

当尸在20上时，分别过M、N、尸作底面的垂线，垂足分别为M]、吊、Pi，

则y=MN=MM=2BP\=2-xcos^BD=2•拳是一次函数，所以排除D.

故选B.

9.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查正方体的结构特征，考查异面直线成角、线面平行、垂直的判定与性质的应用，及棱锥的

体积求法，考查分析与计算能力，综合性较强，属于较难题.

利用正方体的结构特征，线面位置关系的判定和性质，异面直线成角及棱锥体积的计算对4个命题

逐个判断，即可得出结论.

解：①由正方体可得：

AC1BD,DD1_L平面ABCD,

•;ACC平面4BCD,

•••AC1DDi，

"BDnDD]=D,I3D.DD\C平面打。。|

AC1平面U平面BOR,

AC±BDr,

同理：BQBDi，

ACnBiC=C,AC.BiCC平面，

•••BD11平面ABC

•/。£0平面,131。，

：.OEA.BD],正确；

②AC/fA^,ACC平面ABC，.ACQ平面ABC,

・•../Ci〃平面ABQ,

同理得：./£>//平面ABC,

••,ArDn41cl=Ax,

••・平面481c〃面4GD,

•1•OEU平面ABQ,

OE〃面4G。，正确；

③易知B]C〃/l^D,BCC平面ABD,4|D(Z平面月出。，

0C〃平面AB。，

E到平面A/D的距离为定值，

•••三棱锥4—BDE的体积等于三棱锥E-&BD的体积，底面44/。的面积为定值,后到平面4避。的

距离为定值，

三棱锥&-8DE的体积为定值，正确；

④当E在当处时，OE与41cl所成的角最大，

此时，由勾股定理易得：

。。2=｝。&2=|,8道2=2,

0C2+0B]2=B。,即NB1OC=90°,

•••AC〃力[C1，

OE与&G所成的最大角为90。，正确.

故选。.

10.答案：A

解析：

本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题.

首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为1：V3,内切球和外接球的表面积之比为1：3,符合

题意中的小球和大球的比例.判断当四面体ABC。体积最大时，AB,CD的位置关系，作出异面直

线AO,BC所成的角心解直角三角形求得sin（

解：设正方体的边长为2,则其内切球半径为1,外接球的半径为“2+22+N=遮,

2

•••内切球和外接球的表面积之比为1：3,符合题意中的小球和大球的比例，

依题意C£>,A8最长为J（遮）2_#=2,AC最长为小球的直径2.

•••三角形的面积S=?ab-sinC,若a,6为定值，则C=］时面积取得最大值.

画出图象如下图所示，其中A,C分别是所在正方形的中心，

O是正方体内切球与外接球的球心，CD//AD1,CD=AD1,CBJ/AB,CBX=AB.

•VA-BCD=IVABD.-CB.D=I'S^ABD1-AC,故此时四面体A-BCD的体积最大•

vCE//AB,CE=48,.•.四边形A8CE为平行四边形，

•­.BC//AE,二NDAE是异面直线BC和AO所成角，二々ME=9,

­•AD=AE,设G是OE的中点，贝IJ4G10E,

.eGE]__L_四

手皿E,・•・sm-=一

2AEV22+l2+l2-布_6

故选：A.

11.答案：D

解析：

本题考查球的体积，考查学生的空间想象能力，求出球的半径是关键.

根据已知条件确定球的半径是解题关键.

解：设球的半径为R,

♦.•底面正方形的外接圆的半径为更，

2

2

・,.由勾股定理可得R2=(曰)+(2-/?)2,

・•.R

8

球的体积为“R3=售兀.

D1ZO

故选£>.

12.答案：B

解析：

由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案.

本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题.

解：如图,

延长EF、相交于连接AM交BBi于4，

延长FE、44相交于N,连接AN交D%于G,

可得截面五边形AHFEG.

•••4BCD-4B1GD1是边长为6的正方体，且E,尸分别是棱加劣，8传1的中点，

•••EF=372，AG=AH=V62+42=2\413«EG=FH=V32+22=V13.

二截面的周长为6m+3V2.

故选&

13.答案：B

解析：

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中

等题.

由余弦定理求出BC,可得△ABC是直角三角形，于是得出AZBC外接圆的圆心为斜边AC的中点E,

求出AABC的面积，利用点。、球心、E三点共线且。、E位于球心的异侧时，四面体ABC。的体积

取最大值，利用锥体体积公式可算出此时。E的值，然后可计算出三棱锥。-4BC的侧棱长，射影定

理求出外接球的半径，代入球的体积公式求解.

解：由48=2百

,AC=4,ABAC=30°,

得BC=y/AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC=2.

■■AB2+BC2=AC2,：­/.ABC=90°,

则^ABC的外接圆的直径为2r=AC=4,外接圆圆心为线段AC的中点E,

如下图所示，

当点。、球心0、E三点共线且当。、E位于球心的异侧时,

四面体ABC。的体积取最大值，此时，DE，平面ABC,

SA48c="B-BC=|x2V3x2=2v5,,

四面体ABCD的体积为IZpiBC=[SfBC-OE=4,

解得DE=2A/3.

22

由勾股定理得=DB=DC=y/DE+EA=4，

••・四面体ABCD的外接球的直径为2R=初=华=随，

DE2V33

则四面体ABCD的外接球的半径为速.

3

因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4TTR2=47rx（延）2=丝".

k373

故选&

14.答案：4

解析：

本题考查几何体内切球的应用，考查学生空间想象力与计算能力，属于较难题目；

把四面体补成正方体，四面体的棱长为正方体的面对角线，求出该正方体内切球的体积即可。

解：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，

因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为2VL

因为球0与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，

即球。的直径为正方体的棱长2VL

则球。的体积U=2兀/?3=随7r

33

故选：A

15.答案：C

解析：

本题考查了棱柱的结构特征，考查了面面位置关系及二面角，考查了锥体体积，考查了空间想象能

力和思维能力，是中档题.

由=GN,得线段必过正方形BCCiBi的中心。，由0。_L平面8。6名，可得平面DMN_L平面

BCC/i；

由△&DM的面积不变，N到平面4DM的距离不变，得到三棱锥儿-DMN的体积为定值；

利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；

平面OMN与平面ABC平行时所成角为0,当M与8重合，N与G重合时，平面。MN与平面ABC

所成的锐二面角最大.

解：如图，

当〃、N分别在BB1、CG上运动时，若满足BM=GN,

则线段MN必过正方形BCQBi的中心O,DO1MN,

而。，。分别为A4,Bq中点，贝UOZV/GB,

而1平面GBC（即ABC）,GBu平面GBC（即ABC）,故BB11GB,故J.D0,

因为BBinMN=M，且BBi，MNuBCC^B^

故DO，平面BCC[Bi，而。。u平面DMN,：.平面DMNJL平面鸟0加公，A正确；

当M、N分别在BBi、CCi上运动时，△力i£W的面积不变,N到平面4DM的距离不变,二棱锥N-aDM

的体积不变，即三棱锥&-DMN的体积为定值，B正确：

若ADMN为直角三角形，则必是以/MDN为直角的直角三角形，易证。M=DN,所以△DMN为等

腰直角三角形，

所以00=0M=0N,即MN=200.设正三棱柱的棱长为2,则DO=次,MN=2遍.

因为的最大值为Bq,BC[=2&，所以MN不可能为2百，所以△DMN不可能为直角三角形;

当用、N分别为SB1，CG中点时，平面。MN与平面43c所成的角为0,当M与B重合，N与G重

合时，平面。与平面A8C所成的锐二面角最大，为NGBC,等于%

・•・平面DWN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0,守，。正确.

故选：C.

16.答案：D

解析:

本题考查了空间儿何体与球的外接几何体的表面积；求出球的半径，再利用表面积计算公式进行计

算即可；

解：分别过△P4D,正方形A8C。的中心作这两个面的垂线，它们的交点为外接球的球心，所以外

接球的半径R=何+律)2=后，

119TF

所以外接球的表面积s4-7?2；",

故选。.

17.答案：D

解析：

本题考查三棱锥外接球的体积，属于较难题.

取CO中点E,连接可求得AD,在zL4BD中，由余弦定理可得AB,BE,乙AE3,过A

作AMJLBE交其延长线于即可求得EM、AM,在8E上取一点G使BG=|BE,过G作GH1底

面BCQ,计算可得外接球的半径R,从而可求得三棱锥外接球的体积.

解：取8中点E,连接4E,8E,

•・,乙ABC=乙ABD

4在底面BCD上的垂直射影落在NCBD的平分线上，

(AB=AB

由|/.ABC=Z.ABD=^ABC三AABD,•••AC=AD

(BC=BD

•••AE1CD,

SUACD=V11'CD=2,二2V11,AE=Vil"

AD=2V3

设A8=x,在ZL4BD中，由余弦定理/+4-2"2-|=12=x=4,

即48-4,BE=V5，COS/.AEB=—卷,

过A作4M1BE交其延长线于M,

•••EM=g•右=苧，AM=Ju^l=华

在BE上取一点G使BG=|SE,

AG为/BCD的外心，

过G作GHJ•底面BCD,

•••。在直线G",设。G=t

山。八。八（第二（竿—）、（竽）==t/

R2=（竽）2+（竽j=4,R=2，u=我X23=y7T,

18.答案：AD

解析：

本题考查简单多面体的结构特征，球的体积公式，二面角的计算，属于较难题.

对于4,假设。为刍童外接球的球心，连接HF,EG交于点。「连接AC,OB交于点。2，由球的几

何性质可知0,。1，。2在同一条直线上，。。1ABCD,0011平面EFG”,0]02=1，设。。2=「，

利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出，•的值，进而求出外接球的半径，即可求出体积；

对于3,由棱台的性质可得结论；对于C,利用反证法，由等角定理与实际结论矛盾可判定；对于。，

直接构建二面角的平面角4QP02计算可得结论.

解：假设。为刍童外接球的球心，连接“凡EG交于点。「连接AC,08交于点。2，

由球的儿何性质可知。，。1，6在同一条直线上，

由题意可知，。。1_1■平面ABCQ,00rEFGH,OXO2=1,

设0。2=r,

22

在RtZ\OGQ中,OG=00^+0rG,

在矩形EFGH中，EG=ylEF2+FG2=V16T4=2遥，0道=詈=遮，

OG2=0。/+。通2=（r++5,

222

在RtZiOBO?中，OB=OO2+O2B,

在矩形ABC。中，DB=y/AD2+AB2=VS7T7=472，=芋=2迎，

2222

•••OB=OO2+O2B=r+8,

设外接球的半径OG=OB=R,（r++5=产+8,解得r=1,

则R=OB=Vl2+8=3,则该刍童外接球的体积U=g兀R3=36n■，故A正确；

对于B,因为黑=指，喘所以由累于案可得，该刍童不是棱台，故8错误；

ADV7AB5ADAB

对于C,由题意，面ABCD“面EFGH,旦面ABCDn面ABFE=AB,面EFGHn面ABFE=EF,所

以AB〃EF,若4C,EG在同一个平面内，同理可得AC〃EG,

由同角定理可得/CAB=4GEF或NC'AB+乙GEF万，

又因为RtACTM中，tan"4B=^=C，RtAGFE中，tan/GEF=啜=；,这与两角相等或互补

AB5EF2

矛盾，所以AC,EG不在同一个平面内，故C错误；

对于。，过a作OiQ_LEH且相交于点Q,过。2作02P工AD且相交于点P，连接尸。，易得/QP。?即

为二面角的平面角，在直角梯形QP023中，Q0[=?=2,2。2=?=|,。必=1,

cncPO2-QO11-21Vs

所以COSNQPO2=pQ=J#*2）z=石=G，故。正确；

故选AD.

19.答案:BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于难题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取AO的中点为E,连接CE交于点凡如图1,

图1

则NE〃/IB】，NF“MB\

如果CN14B1，则ENJ.CN,

由于4&1MB1，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故A不正确；

对于B,如图1,由NNEC=NM4BI，

且NE=^AB^AM=EC,

二在△CEN中，由余弦定理得：

NCZ=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故B正确；

对于C,如图2

图2

取AM中点为。，•••4B=BM,即=则AM_LB1。

若AM±ByD,由于B］。C\ByD=By,

且当0,Bl。u平面0DB1，

AM，平面ODB「ODu平面Og,

••.0014M,则AD=MO,

由于4。HMD,故4MlBi。不成立，故C不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面Bp4M，平面AM。时，

三棱锥&-4MD的体积最大，取4。的中点为E,

连接OE,BiE,ME,如图2

,:AB=BM=1,则AB】=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

BjO1AM,BiOu平面B/M

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

ByO1OE,

,

则AM=&,BXO=^AM=Y

OE=-2D2M=-A2M=—，

从而吟廊面=1,

易知EA=EC=EM=1,

・•.AD的中点E就是三棱锥a-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确;

故答案为BD.

20.答案：ABD

解析：

本题主要考查三棱锥体积、线面平行的判定、面面垂直的判定以及异面直线所成角，要注意使用转

化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结OB,容易证明I）为1平面4。外,从而可以证明面面垂直：连接&Ci容易证明平面B&C"/

平面ACD1，从而由面面平行的性质可得；分析出aP与力劣所成角的范围，从而可以判断真假

"DL4PC=%-4%C，P到平面4。传的距离不变，且三角形力。住的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于A,连结£>8,

因为正方体中，BBXABCD,ACcTffiABCD,所以8%14配

又因为DB14C,DB,BBi为平面DBBi内两条相交直线，所以AC_L平面。B位,

因为。&u平面DBBi，所以OB114C,

同理可得OB1145，

因为4名、AC为平面AC以内两条相交直线，

可得DBi_L平面

D8iu平面P&D,从而平面PaD1平面4CD「A正确；

对于8,连接4遇，46，

ArCJ/AC,46仁平面ACOi，ACu平面AC0],所以41cl〃平面4。么，

同理BG〃平面4C£>i，

乂久G、BG为平面BaG内两条相交直线，

所以平面B&Ci〃平面

因为&Pu平面B&G，所以&P〃平面AC/,故2正确；

对于C,因为4D//BG，所以4P与AC1所成角即为&P与BCi的所成角，

4B=BG=&CI，△B&C1为等边三角形，

当户与线段BG的两端点重合时，&P与AO1所成角取最小值会

当P与线段BG的中点重合时，&P与4。1所成角取最大值看

故A】P与ADi所成角的范围是格,外，故C不正确；

对于。，由选项8得BG〃平面4D]C,故BC]上任意一点到平面4D]C的距离均相等,

所以以P为顶点，平面力AC为底面，则三棱锥P-ZDiC的体积不变,

又％l-APC=，P-4£>iC，所以二棱锥D]—APC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

21.答案：AC

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于4,根据线面角的定义即可判断；对于B在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角

三角形的个数；对于C,根据线面垂直的判定和性质可知，。是△BCD的垂心；对于。作出正四面

体的图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表

面积.

对于A选项，因为4B=AC=4D,设点A在平面BC。内的射影是0,

因为sin乙480=—,sin乙4co=—,sin乙4D0=—,

ABACAD

所以sinzJlBO=sinz/lCO=smz.ADO,

则AB,AC,A。与底面所成的角相等，故A正确；

如图：直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故B不正确；

对于C选项，设点A在平面8c。内的射影是。，

则401平面BCD,CDu平面BCD,

故A。J.CD,又ABICD,

AOdAB=A,AO,4Bu平面A80,

故CZXL平面ABO,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是ABCO的垂心，故C正确；

如图，。为正四面体ABC。的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

所以4E=11==纥

、33

因为8。2-0E2=BE2,所以（当-0E）2-0E2=（4产

所以。E=立，所以球的表面积为4兀-0E2=£故。不正确.

126

故选：AC.

22.答案：BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取4。的中点为E,连接CE交于点尸，如图1,

图1

^\NE//AB1,NF//MB]

如果CNlABi，则ENJ.CN,

由于则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由/NEC=NMABi,

且NE=^ABltAM=EC,

.♦.在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为0,•••4B=BM,即=则4M1B1。

若4MlBi。，由于当0n=Bi，

且&0,当。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面0C81，

0D1AM,则/W=M0,

由于4。力MD,故4Ml不成立，故不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面&AM，平面AM。时，

三棱锥S-4MD的体积最大，取AD的中点为£,

连接。E,B]E,ME,如图2

AB=BM=1,贝IjABi=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

Br0LAM,By0u平面B/M

Bi。_L平面AMD,0Eu平面AMD

:.B]01OE,

则AM=V2,Br0=\AM=y，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而%二俯"直=1,

易知£;4=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥a-AM。的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确;

故答案为：BD.

64^2

23.答案:-----n

3

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，属于中档题.

先求出梯形A8CO的外接圆半径，再求球的半径，最后根据球的体积公式计算，即可得到的答案.

解：因为四边形ABC。为梯形，AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4,易求梯形的高为旧，

从而得乙DCB=60",Z.DBC=30°,^BDC=Z-BAC=90。，

所以BC的中点M为梯形ABC。的外接圆圆心，外接圆的半径为2,

又•••PA1平面ABCD,BC=PA=4,所以RtdPAD的外接圆半径为小，

球心到面PAD的距离为梯形的高为,，

所以球的半径R=V5T3=2近，

故球的面积为4兀/?2=丝皿.

3

故答案为空色兀

3

24.答案：8A/3

解析：

本题考查向量法求异面直线所成的角，和棱锥的体积，考查运算能力和空间想象力，中档题.

。为U的射影，取AB的中点G,以O为坐标原点，分别以OG,OE,。丫为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，设AB=2,设方=4沅？利用夹角公式求出；I,代入即可求出.

解：因为底面边长为2,侧棱VB=而，所以棱锥的高为h=VVB?-2=w

。为V的射影，取A8的中点G,以。为坐标原点，分别以OG,OE,。丫为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，

设AB=2,则U(0,0,V3).E(O,1,0),0),4(1,-1,0),

VA=(1,-1,-V3).VB=(1,1,-y[3),VE=(0,1,一®

设而=；lE?3力1)，则加=而一方=(A-1,-A-1,-V3A+V3)>

由|cos<BF,VE>|=_|24-4|_1

2V4(A-1)2+(A+1)22’

整理得;I?+10A-11=0,解得;I=-11(2=1舍弃)，

所以师=-UVA=-11(1,-1,-V3)=(-11,11,1173)

所以尸的坐标为(一11,11,12遮)

所以Vg-AFC=^F-ABC=3X,X2X2X12v5-8>/3

故答案为875.

解析:

本题考查与圆有关的轨迹问题，考查弧长的计算，属于中档题.

由条件得到PN=^，且PN是4PMN的边"N上的高.所以点P的轨迹是以点N为圆心，壁为半

33

径的圆落在ZM&C内部的三段圆弧，且每段弧所对的圆心角都是:根据圆的周长公式和弧长公式即

O

可求解.

解：由条件知，平面4B1C,且DiBCI平面4BiC=N,而PNu平面A&C,所以PNJ.D】B.

由正方体棱长为26得。/=6,所以MN=2.

由S“MN=竽得：PN=¥，点N是等边三角形4&C的中心.

所以点P的轨迹是以点N为圆心，呼为半径的圆落在2MBic内部的三段圆弧，且每段弧所对的圆心

角都是：.

«5

A

Bi

247r2v4i

所以点P的轨迹长度是：2------X-=-------7T・