高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)_第1页
高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)_第2页
高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)_第3页
高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)_第4页
高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (一)(含答案解析)_第5页
已阅读5页,还剩32页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题(1)

一、单项选择题(本大题共17小题,共85.()分)

1.己知球。表面上的四点A,B,C,P满足AC=BC=奁,AB=2,若四面体PA8C体积的最大

值为|,则球。的表面积为()

A25h25万25c

A.-7TB.waC.五兀D.87r

2.在我国古代数学专著仇章算术》中,把底面是直角三角形的直棱柱称作出尸更刁G

“堑堵”.如图,三棱柱ABC—4B1G为“堑堵”,其中AB=BC,AC=/

点E,尸分别为棱Ba,4G的中点.过点A,E,尸作一截面,[匕

记该截面所在平面与平面BCGBi的交线为I,则直线/与直线A公所成的角

的余弦值为

A.双亘B.乜亘C.白D.2

13131313

3.如图,在平面四边形ABC。中,ADLCD,△ABC是边长为3的正三角形.将大

该四边形沿对角线AC折成一个大小为120。的二面角D-AC-B,则四面体/\

ABCD的外接球的表面积为()1/\

A.127r

B.13兀

C.147r

D.15兀

4.正方体的内切球和外接球的体积之比为()

A.1:V3B,1:3C.1:9D,1:3V3

5.如图,正三棱柱4BC-力iBiQ各条棱的长度均相等,。为的中点,M,N分别是线段BBi和线

段eg的动点(含端点),且满足8M=CiN,当M,N运动时,下列结论中不无硬的是

A.在40MN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN_1_平面8CC1B]

C.三棱锥&-DMN的体积为定值

D.ZDMN可能为直角三角形

6.三棱锥P-ABC中,P4平面A8C且P4=2,回4BC是边长为次的等边三角形,则该三棱锥外

接球的表面积为()

47r

A.—B.4兀C.87rD.207r

7.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中

①与ED平行②CN与BE异面

③CN与BM成60。(4)DM与BN垂直

以上四个命题中,正确命题的序号是()

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

8.如图,动点P在正方体4BCD-4B1C1D1的对角线BCi上,过点尸作垂直于平面BB1C1C的直线,

与正方体表面相交于M,N两点,设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是().

AB

9.在棱长为1的正方体4BCC—aBiCiDi中,ACQBD=0,E是线段&C(含端点)上的一动点,

①OE1BD]:

②OE〃面AC。;

③三棱锥4-BDE的体积为定值;

④0E与4G所成的最大角为90。.

上述命题中正确的个数是()

10.如图,两个同心球的球心均为点O,其中大球与小球的表面积之比为

3:1,A,C为小球球面上的两点,B,。为大球球面上的两点,线段

AB,均不穿过小球内部.当三棱锥4-BCD的体积达到最大值时,

异面直线AO与3c所成的角为仇则sing=()

11.如图,ABCD-ABiGDi是棱长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥,

若点5,4,Bi,G,%在同一个球面上,则该球的体积为()

12.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-4B£Di中,点E,尸分别是棱G5,

B1G的中点,过A,E,尸三点作该正方体的截面,则截面的周长为()

A.18+3V2•步’

B.6g+3鱼

C.6V5+9V2

D.10+3V2+4V10

13.已知点4B,C,D在同一个球面上,4B=2V3MC=4,Z.BAC=30。,若四面体A8CD体积的最大值

为4,则这个球的表面积为()

A.487rC.647r

已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为(

16V2

C.亚n-------71

15.如图,正三棱柱,BC-ABiG(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各

条棱长均相等,。为441的中点.何、N分别是BBi、CCi上的动点(含

端点),且满足BM=GN.当M,N运动时,下列结论中不正确的是()

A.平面DMN,平面BCGa

B.三棱锥&-OMN的体积为定值

C.AOMN可能为直角三角形

D.平面。MN与平面4BC所成的锐二面角范围为(0,引

16.在四棱锥P-力BCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△P4C是一个正三角形,若平面PAD1

平面A8CA则该四棱锥的外接球的表面积为

17.三棱锥4-BCD中,^ABC=4CBD=/.DBA=60°,BC=BD=2,4ACD的面积为VII,则

此三棱锥外接球的体积为()

A.167rB.47r

二、多项选择题(本大题共5小题,共20.0分)

18.我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童ABC。-

EFGH有外接球,且AB=5,AD=小,EF=4,EH=2,平面A8CD与平面EFGH的距离为

1,则下列说法中正确的有()

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B-4。一”的余弦值为m

5

19.折纸艺术起源于中国,是深受大众喜爱的手工艺.如图,有一张矩形

卡纸A8CD,M为BC的中点,将AABM沿直线AM翻折成AABiM,

连结/。,N为BiD的中点,则在翻折过程中,下列说法中正确的是

()

A.存在某个位置,使得CNJ.4B1

B.翻折过程中,CN的长是定值

C.若力B=BM,则力M1B[D

D.若AB=BM=1,当三棱锥a-AMD的体积最大时,三棱锥/一4"。的外接球的表面积是

47r

20.如图,在正方体力⑶⑺一人道停也中,点尸在线段BG上运动.下列

判断正确的是()

A.平面PBiD,平面4CD];

B.&P〃平面4CJ;

C.异面直线4P与AD1所成角的取值范围是(0,外;

D.三棱锥-4PC的体积不变.

21.对于四面体4—BCD,以F命题中正确的命题是()

A.若4B=4C=4。,则AB,AC,AD与底面所成的角相等

B.四面体4-BCD的四个面中最多有三个直角三角形

C.若4B1C0,ACLBD,则点A在底面BCD内的射影是ABC。的垂心

D.若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为g

22.如图,矩形A8CZ)中,〃为3c的中点,将△ABM沿直线AM翻折成ZL4B1M,连结N为B、D

的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是()

A.存在某个位置,使得CN14B

B.翻折过程中,CN的长是定值

C.若4B=BM,贝IJ2M1BAD

D.若4B=BM=1,当三棱锥&一AMD的体积最大时,三棱锥当一4M0的外接球的表面积是

47r

三、填空题(本大题共7小题,共35.0分)

23.已知尸,4,B,C,O是球。的球面上的五个点,四边形4BC。为梯形,4D〃BC,AB=DC=AD=2,

BC=PA=4,PA_1_面ABCD,则球O的体积为

24.在正四棱锥V-ABC。中,底面边长为2,侧棱VB=b,E为8c的中点,F为直线3上一点,

且尸与V,4不重合,若异面直线BF与VE所成角为60。,则三棱锥B-4FC的体积为.

25.已知正方体ABCD—4B1GD1的棱长为2百,M,N为体对角线BD1的三等分点,动点P在三角

形2CB1内,且三角形PMN的面积品PMN=竿,则点2的轨迹长度为()

26.如图,在棱长为1的正方体48。。一公8道1/中,P,。分别为BDi,BB]上的动点,贝必QPQ周

长的最小值为

Di

27.如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;

③CN与8M成60。;④DM与8N是异面直线;

以上四个命题中,正确命题的序号是.

28.在棱长为1的正方体ABC。-&B1C15中,点尸是正方体棱上一点(不包括棱的端点),若满足

|P川+|PG|=m点P的个数为6,则机的取值范围是

29.如图,正方形ABCC的边长为3,点E,F分别在边4。,CD上,且4E=

DF=2.将此正方形沿BE,BF,EF切割得到四个三角形,现用这四个三

角形作为一个三棱锥的四个面,则该三棱锥的内切球的体积为

四、解答题(本大题共1小题,共12.0分)

30.如图,已知正四棱柱ABCD—AiBiJDi底面边长AB=2,侧棱AA1=3,M为侧棱CJ的中点.

(1)求证:BD1AM;

(2)求证:AiG〃平面BiDM;

(3)求三棱锥Ai-BiDM的体积.

【答案与解析】

1.答案:A

解析:

本题考查多面体外接球表面积与体积的求法,是中档题.

可知当平面ABP与平面ABC垂直时,四面体PABC体积最大,求出P到底面ABC的距离,设外接

球半径为R,再由勾股定理列式求得凡则答案可求.

解:当平面A2P与平面A8C垂直时,四面体P45c的体积最大,

由AC=BC=VLAB=2,得N4CB=90°.

设点P到平面ABC的距离为儿

则:x[X/X夜xh=|,解得h=2.

设四面体ABCP外接球的半径为R,则R2=(2-R)2+12,解得R=..

所以球O的表面积为47rx(|)2=m兀.

故选A.

2.答案:A

解析:

【试题解析】

本题考查直三棱柱的结构特征,平面的基本性质及应用,异面直线所成角,考查逻辑推理和空间想

象能力与计算能力,属于较难题目.

先由平面的基本性质作出过点A,E,尸的截面四边形AEPF,如图,得出直线/即为直线ME,由此

可得与直线/所成的角为4B1EP,进而根据题意计算可得.

解:如图所示在直三棱柱4BC-&B[Ci中,延长AF和CCi交于点M,连接EV,交当^于点尸,连

接FP,

则过点4,E,尸的截面为四边形AEP尸,故直线/即为直线ME,

又AA["BBi,所以44]与直线/所成的角为NB]EP,

设4B=1,贝=1,由4MFCiMAC,可得MG=CQ=1,由^MPC^b.EPB「得自=票,

所以常解得PBi=g,则在Rt^BiEP中,PE=啊声百声=J(》2+@)2=平,

所以cosZ_B]EP—普=|x言=

故选A..

解析:解:设四面体ABCD的外接球的球心为。点.

取4c的中点E,连接BE,8E上点M为正△ABC的中心,贝UOM1平面ABC.

vADA.DC,则点E为AACO的外心.二0E1平面ACD

•••二面角。-AC-B的大小为120。,

•••4OEB=30°.

4BC是边长为3的正三角形,则BE=逋ME=旦

22

在A0ME中,OE=^~;=1.

cos300

在RMAE0中,OA=J(|)2+/=誓.

••・四面体ABCD的外接球的表面积S=4兀x(―)2=13TT.

故选:B.

设四面体ABCQ的外接球的球心为。点.取AC的中点E,连接BE,BE上点M为正△ABC的中心,

则。ML平面4BC.由4。1DC,则点E为44CD的外心.可得OE,平面4CD.根据二面角。一AC-B的

大小为120。,可得4OEB=30。.利用直角三角形的比较关系即可得出.

本题考查了二面角、直角三角形与等边三角形的边角关系、球的性质,考查了推理能力与计算能力,

属于中档题.

4.答案:D

解析:

本题考查球与正方体的组合体,球的体积.

正方体的内切球的直径为正方体的棱长,外接球的直径为正方体的对角线长,设出正方体的棱长,

即可求出两个半径,求出半径之比,然后求出体积比.

解:正方体的内切球的直径为正方体的棱长,外接球的直径为正方体的对角线长,

设正方体的棱长为2m所以内切球的半径为“,外接球的直径为28小半径为Ka,

所以,正方体的内切球与外接球的半径之比为遮:3.

所以体积比为1:3痘.

故选D

5.答案:D

解析:

本题考查了命题的真假与应用,考查了棱柱的结构特征,考查了空间想象能力和思维能力,属于中

档题.

本题不好判断的是选项。到底正确还是不正确,解析中主要利用了反证法的原理.先假设它是正确的,

再找到4MDN为直角的直角三角形时的情形,找到矛盾,对于这种不好判断的命题,我们有时可以反

证法.

解:对选项A,取MN的中点E,连接。E,过点E作2c的垂线,垂足为F,连接AF,

可以证明DE||AF,所以CE||平面ABC,故选项A正确;

对于选项B,可以证明DE1平面BCGBi,所以平面DMNJL平面BCC/i,故选项8正确;

对于选项C,VA1-DMN=VM-A1DN^底面441DN的底边4。和它的高都是一个定值,所以底面积是一

个定值,

但是点M到底面的高是一个定值,所以三棱锥&-DMN的体积为定值,故选项C正确;

对于选项。,若Z1MDN为直角三角形,则必是以NMDN为直角的直角三角形,但是的最大值为BG,

而此时QM,£W的长大于BBi,所以4MDN不可能为直角三角形,

故选。.

6.答案:C

解析:

本题考查构造直三棱柱求外接球的表面积,考查球的表面积公式,属于中档题,构造三棱柱4BC-

PQR,

求出外接球的半径,从而得到表面积.

解:构造直构造三棱柱4BC-PQR,取面ABC的中心取面PQR的中心K,连接HK,取“K的

中点。,

所以。为三棱锥外接球的球心,由P4=2,回ABC是边长为旧的等边三角形,

得到4H=yX(百>x|=V5,OH=1,

2

所以三棱锥外接球的半径为,0"2+4/=J12+(V3)=2.

所以三棱锥外接球的表面积为47r.2?,8万,

故选C.

7.答案:C

解析:

本题考查正方体的结构特征,异面直线,直线与直线所成的角,直线

与直线的垂直,是基础题.

正方体的平面展开图复原为正方体,不难解答本题.

解:根据题意画出正方体如图:

显然①②不正确;③CN与5M成60。角,即/4NC=60。

正确;(4)DM_L平面BCN,所以④正确;

故选C.

8.答案:B

解析:

本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力,属于较难题.

根据题意利用特殊点法及排除法即可得到结果.

解:设正方体的棱长为1,

显然,当P移动到对角线BO1的中点。时,函数y=MN=AC=应取得唯一最大值,

所以排除A、C;

当尸在20上时,分别过M、N、尸作底面的垂线,垂足分别为M]、吊、Pi,

则y=MN=MM=2BP\=2-xcos^BD=2•拳是一次函数,所以排除D.

故选B.

9.答案:D

解析:

【试题解析】

本题考查正方体的结构特征,考查异面直线成角、线面平行、垂直的判定与性质的应用,及棱锥的

体积求法,考查分析与计算能力,综合性较强,属于较难题.

利用正方体的结构特征,线面位置关系的判定和性质,异面直线成角及棱锥体积的计算对4个命题

逐个判断,即可得出结论.

解:①由正方体可得:

AC1BD,DD1_L平面ABCD,

•;ACC平面4BCD,

•••AC1DDi,

"BDnDD]=D,I3D.DD\C平面打。。|

AC1平面U平面BOR,

AC±BDr,

同理:BQBDi,

ACnBiC=C,AC.BiCC平面,

•••BD11平面ABC

•/。£0平面,131。,

:.OEA.BD],正确;

②AC/fA^,ACC平面ABC,.ACQ平面ABC,

・•../Ci〃平面ABQ,

同理得:./£>//平面ABC,

••,ArDn41cl=Ax,

••・平面481c〃面4GD,

•1•OEU平面ABQ,

OE〃面4G。,正确;

③易知B]C〃/l^D,BCC平面ABD,4|D(Z平面月出。,

0C〃平面AB。,

E到平面A/D的距离为定值,

•••三棱锥4—BDE的体积等于三棱锥E-&BD的体积,底面44/。的面积为定值,后到平面4避。的

距离为定值,

三棱锥&-8DE的体积为定值,正确;

④当E在当处时,OE与41cl所成的角最大,

此时,由勾股定理易得:

。。2=}。&2=|,8道2=2,

0C2+0B]2=B。,即NB1OC=90°,

•••AC〃力[C1,

OE与&G所成的最大角为90。,正确.

故选。.

10.答案:A

解析:

本题考查了几何体与球的外切和内接的问题,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属中档题.

首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为1:V3,内切球和外接球的表面积之比为1:3,符合

题意中的小球和大球的比例.判断当四面体ABC。体积最大时,AB,CD的位置关系,作出异面直

线AO,BC所成的角心解直角三角形求得sin(

解:设正方体的边长为2,则其内切球半径为1,外接球的半径为“2+22+N=遮,

2

•••内切球和外接球的表面积之比为1:3,符合题意中的小球和大球的比例,

依题意C£>,A8最长为J(遮)2_#=2,AC最长为小球的直径2.

•••三角形的面积S=?ab-sinC,若a,6为定值,则C=]时面积取得最大值.

画出图象如下图所示,其中A,C分别是所在正方形的中心,

O是正方体内切球与外接球的球心,CD//AD1,CD=AD1,CBJ/AB,CBX=AB.

•VA-BCD=IVABD.-CB.D=I'S^ABD1-AC,故此时四面体A-BCD的体积最大•

vCE//AB,CE=48,.•.四边形A8CE为平行四边形,

•­.BC//AE,二NDAE是异面直线BC和AO所成角,二々ME=9,

­•AD=AE,设G是OE的中点,贝IJ4G10E,

.eGE]__L_四

手皿E,・•・sm-=一

2AEV22+l2+l2-布_6

故选:A.

11.答案:D

解析:

本题考查球的体积,考查学生的空间想象能力,求出球的半径是关键.

根据已知条件确定球的半径是解题关键.

解:设球的半径为R,

♦.•底面正方形的外接圆的半径为更,

2

2

・,.由勾股定理可得R2=(曰)+(2-/?)2,

・•.R

8

球的体积为“R3=售兀.

D1ZO

故选£>.

12.答案:B

解析:

由题意画出截面五边形,再由已知利用勾股定理求得边长得答案.

本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.

解:如图,

延长EF、相交于连接AM交BBi于4,

延长FE、44相交于N,连接AN交D%于G,

可得截面五边形AHFEG.

•••4BCD-4B1GD1是边长为6的正方体,且E,尸分别是棱加劣,8传1的中点,

•••EF=372,AG=AH=V62+42=2\413«EG=FH=V32+22=V13.

二截面的周长为6m+3V2.

故选&

13.答案:B

解析:

本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,属于中

等题.

由余弦定理求出BC,可得△ABC是直角三角形,于是得出AZBC外接圆的圆心为斜边AC的中点E,

求出AABC的面积,利用点。、球心、E三点共线且。、E位于球心的异侧时,四面体ABC。的体积

取最大值,利用锥体体积公式可算出此时。E的值,然后可计算出三棱锥。-4BC的侧棱长,射影定

理求出外接球的半径,代入球的体积公式求解.

解:由48=2百

,AC=4,ABAC=30°,

得BC=y/AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC=2.

■■AB2+BC2=AC2,:­/.ABC=90°,

则^ABC的外接圆的直径为2r=AC=4,外接圆圆心为线段AC的中点E,

如下图所示,

当点。、球心0、E三点共线且当。、E位于球心的异侧时,

四面体ABC。的体积取最大值,此时,DE,平面ABC,

SA48c="B-BC=|x2V3x2=2v5,,

四面体ABCD的体积为IZpiBC=[SfBC-OE=4,

解得DE=2A/3.

22

由勾股定理得=DB=DC=y/DE+EA=4,

••・四面体ABCD的外接球的直径为2R=初=华=随,

DE2V33

则四面体ABCD的外接球的半径为速.

3

因此,四面体ABCD的外接球的表面积为4TTR2=47rx(延)2=丝".

k373

故选&

14.答案:4

解析:

本题考查几何体内切球的应用,考查学生空间想象力与计算能力,属于较难题目;

把四面体补成正方体,四面体的棱长为正方体的面对角线,求出该正方体内切球的体积即可。

解:将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体面上的对角线,

因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为2VL

因为球0与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,

即球。的直径为正方体的棱长2VL

则球。的体积U=2兀/?3=随7r

33

故选:A

15.答案:C

解析:

本题考查了棱柱的结构特征,考查了面面位置关系及二面角,考查了锥体体积,考查了空间想象能

力和思维能力,是中档题.

由=GN,得线段必过正方形BCCiBi的中心。,由0。_L平面8。6名,可得平面DMN_L平面

BCC/i;

由△&DM的面积不变,N到平面4DM的距离不变,得到三棱锥儿-DMN的体积为定值;

利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形;

平面OMN与平面ABC平行时所成角为0,当M与8重合,N与G重合时,平面。MN与平面ABC

所成的锐二面角最大.

解:如图,

当〃、N分别在BB1、CG上运动时,若满足BM=GN,

则线段MN必过正方形BCQBi的中心O,DO1MN,

而。,。分别为A4,Bq中点,贝UOZV/GB,

而1平面GBC(即ABC),GBu平面GBC(即ABC),故BB11GB,故J.D0,

因为BBinMN=M,且BBi,MNuBCC^B^

故DO,平面BCC[Bi,而。。u平面DMN,:.平面DMNJL平面鸟0加公,A正确;

当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△力i£W的面积不变,N到平面4DM的距离不变,二棱锥N-aDM

的体积不变,即三棱锥&-DMN的体积为定值,B正确:

若ADMN为直角三角形,则必是以/MDN为直角的直角三角形,易证。M=DN,所以△DMN为等

腰直角三角形,

所以00=0M=0N,即MN=200.设正三棱柱的棱长为2,则DO=次,MN=2遍.

因为的最大值为Bq,BC[=2&,所以MN不可能为2百,所以△DMN不可能为直角三角形;

当用、N分别为SB1,CG中点时,平面。MN与平面43c所成的角为0,当M与B重合,N与G重

合时,平面。与平面A8C所成的锐二面角最大,为NGBC,等于%

・•・平面DWN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,守,。正确.

故选:C.

16.答案:D

解析:

本题考查了空间儿何体与球的外接几何体的表面积;求出球的半径,再利用表面积计算公式进行计

算即可;

解:分别过△P4D,正方形A8C。的中心作这两个面的垂线,它们的交点为外接球的球心,所以外

接球的半径R=何+律)2=后,

119TF

所以外接球的表面积s4-7?2;",

故选。.

17.答案:D

解析:

本题考查三棱锥外接球的体积,属于较难题.

取CO中点E,连接可求得AD,在zL4BD中,由余弦定理可得AB,BE,乙AE3,过A

作AMJLBE交其延长线于即可求得EM、AM,在8E上取一点G使BG=|BE,过G作GH1底

面BCQ,计算可得外接球的半径R,从而可求得三棱锥外接球的体积.

解:取8中点E,连接4E,8E,

•・,乙ABC=乙ABD

4在底面BCD上的垂直射影落在NCBD的平分线上,

(AB=AB

由|/.ABC=Z.ABD=^ABC三AABD,•••AC=AD

(BC=BD

•••AE1CD,

SUACD=V11'CD=2,二2V11,AE=Vil"

AD=2V3

设A8=x,在ZL4BD中,由余弦定理/+4-2"2-|=12=x=4,

即48-4,BE=V5,COS/.AEB=—卷,

过A作4M1BE交其延长线于M,

•••EM=g•右=苧,AM=Ju^l=华

在BE上取一点G使BG=|SE,

AG为/BCD的外心,

过G作GHJ•底面BCD,

•••。在直线G",设。G=t

山。八。八(第二(竿—)、(竽)==t/

R2=(竽)2+(竽j=4,R=2,u=我X23=y7T,

18.答案:AD

解析:

本题考查简单多面体的结构特征,球的体积公式,二面角的计算,属于较难题.

对于4,假设。为刍童外接球的球心,连接HF,EG交于点。「连接AC,OB交于点。2,由球的几

何性质可知0,。1,。2在同一条直线上,。。1ABCD,0011平面EFG”,0]02=1,设。。2=「,

利用勾股定理和球的半径相等的条件列式,求出,•的值,进而求出外接球的半径,即可求出体积;

对于3,由棱台的性质可得结论;对于C,利用反证法,由等角定理与实际结论矛盾可判定;对于。,

直接构建二面角的平面角4QP02计算可得结论.

解:假设。为刍童外接球的球心,连接“凡EG交于点。「连接AC,08交于点。2,

由球的儿何性质可知。,。1,6在同一条直线上,

由题意可知,。。1_1■平面ABCQ,00rEFGH,OXO2=1,

设0。2=r,

22

在RtZ\OGQ中,OG=00^+0rG,

在矩形EFGH中,EG=ylEF2+FG2=V16T4=2遥,0道=詈=遮,

OG2=0。/+。通2=(r++5,

222

在RtZiOBO?中,OB=OO2+O2B,

在矩形ABC。中,DB=y/AD2+AB2=VS7T7=472,=芋=2迎,

2222

•••OB=OO2+O2B=r+8,

设外接球的半径OG=OB=R,(r++5=产+8,解得r=1,

则R=OB=Vl2+8=3,则该刍童外接球的体积U=g兀R3=36n■,故A正确;

对于B,因为黑=指,喘所以由累于案可得,该刍童不是棱台,故8错误;

ADV7AB5ADAB

对于C,由题意,面ABCD“面EFGH,旦面ABCDn面ABFE=AB,面EFGHn面ABFE=EF,所

以AB〃EF,若4C,EG在同一个平面内,同理可得AC〃EG,

由同角定理可得/CAB=4GEF或NC'AB+乙GEF万,

又因为RtACTM中,tan"4B=^=C,RtAGFE中,tan/GEF=啜=;,这与两角相等或互补

AB5EF2

矛盾,所以AC,EG不在同一个平面内,故C错误;

对于。,过a作OiQ_LEH且相交于点Q,过。2作02P工AD且相交于点P,连接尸。,易得/QP。?即

为二面角的平面角,在直角梯形QP023中,Q0[=?=2,2。2=?=|,。必=1,

cncPO2-QO11-21Vs

所以COSNQPO2=pQ=J#*2)z=石=G,故。正确;

故选AD.

19.答案:BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题,考查空间中直线与直线的位置关系,球的表面积计算,考查空间想象

能力,属于难题,对选项逐一判断其正确性即可.

解:对于A,取AO的中点为E,连接CE交于点凡如图1,

图1

则NE〃/IB】,NF“MB\

如果CN14B1,则ENJ.CN,

由于4&1MB1,则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的,故A不正确;

对于B,如图1,由NNEC=NM4BI,

且NE=^AB^AM=EC,

二在△CEN中,由余弦定理得:

NCZ=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值,故B正确;

对于C,如图2

图2

取AM中点为。,•••4B=BM,即=则AM_LB1。

若AM±ByD,由于B]。C\ByD=By,

且当0,Bl。u平面0DB1,

AM,平面ODB「ODu平面Og,

••.0014M,则AD=MO,

由于4。HMD,故4MlBi。不成立,故C不正确;

对于。,根据题意知,只有当平面Bp4M,平面AM。时,

三棱锥&-4MD的体积最大,取4。的中点为E,

连接OE,BiE,ME,如图2

,:AB=BM=1,则AB】=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

BjO1AM,BiOu平面B/M

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

ByO1OE,

,

则AM=&,BXO=^AM=Y

OE=-2D2M=-A2M=—,

从而吟廊面=1,

易知EA=EC=EM=1,

・•.AD的中点E就是三棱锥a-AMD的外接球的球心,球的半径为1,表面积是4兀,故。正确;

故答案为BD.

20.答案:ABD

解析:

本题主要考查三棱锥体积、线面平行的判定、面面垂直的判定以及异面直线所成角,要注意使用转

化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结OB,容易证明I)为1平面4。外,从而可以证明面面垂直:连接&Ci容易证明平面B&C"/

平面ACD1,从而由面面平行的性质可得;分析出aP与力劣所成角的范围,从而可以判断真假

"DL4PC=%-4%C,P到平面4。传的距离不变,且三角形力。住的面积不变,从而可以判断真假.

解:对于A,连结£>8,

因为正方体中,BBXABCD,ACcTffiABCD,所以8%14配

又因为DB14C,DB,BBi为平面DBBi内两条相交直线,所以AC_L平面。B位,

因为。&u平面DBBi,所以OB114C,

同理可得OB1145,

因为4名、AC为平面AC以内两条相交直线,

可得DBi_L平面

D8iu平面P&D,从而平面PaD1平面4CD「A正确;

对于8,连接4遇,46,

ArCJ/AC,46仁平面ACOi,ACu平面AC0],所以41cl〃平面4。么,

同理BG〃平面4C£>i,

乂久G、BG为平面BaG内两条相交直线,

所以平面B&Ci〃平面

因为&Pu平面B&G,所以&P〃平面AC/,故2正确;

对于C,因为4D//BG,所以4P与AC1所成角即为&P与BCi的所成角,

4B=BG=&CI,△B&C1为等边三角形,

当户与线段BG的两端点重合时,&P与AO1所成角取最小值会

当P与线段BG的中点重合时,&P与4。1所成角取最大值看

故A】P与ADi所成角的范围是格,外,故C不正确;

对于。,由选项8得BG〃平面4D]C,故BC]上任意一点到平面4D]C的距离均相等,

所以以P为顶点,平面力AC为底面,则三棱锥P-ZDiC的体积不变,

又%l-APC=,P-4£>iC,所以二棱锥D]—APC的体积不变,故。正确.

故选ABD.

21.答案:AC

解析:

本题考查了空间几何体的结构特征,球的表面积,空间中线线,线面的位置关系,属于中档题.

对于4,根据线面角的定义即可判断;对于B在正方体中,找出满足题意的四面体,即可得到直角

三角形的个数;对于C,根据线面垂直的判定和性质可知,。是△BCD的垂心;对于。作出正四面

体的图形,找到球的球心位置,说明0E是内切球的半径,利用直角三角形,逐步求出内切球的表

面积.

对于A选项,因为4B=AC=4D,设点A在平面BC。内的射影是0,

因为sin乙480=—,sin乙4co=—,sin乙4D0=—,

ABACAD

所以sinzJlBO=sinz/lCO=smz.ADO,

则AB,AC,A。与底面所成的角相等,故A正确;

如图:直角三角形的直角顶点已经标出,直角三角形的个数是4.故B不正确;

对于C选项,设点A在平面8c。内的射影是。,

则401平面BCD,CDu平面BCD,

故A。J.CD,又ABICD,

AOdAB=A,AO,4Bu平面A80,

故CZXL平面ABO,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是ABCO的垂心,故C正确;

如图,。为正四面体ABC。的内切球的球心,正四面体的棱长为1;

所以4E=11==纥

、33

因为8。2-0E2=BE2,所以(当-0E)2-0E2=(4产

所以。E=立,所以球的表面积为4兀-0E2=£故。不正确.

126

故选:AC.

22.答案:BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题,考查空间中直线与直线的位置关系,球的表面积计算,考查空间想象

能力,属于中档题,对选项逐一判断其正确性即可.

解:对于A,取4。的中点为E,连接CE交于点尸,如图1,

图1

^\NE//AB1,NF//MB]

如果CNlABi,则ENJ.CN,

由于则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的,故不正确;

对于B,如图1,由/NEC=NMABi,

且NE=^ABltAM=EC,

.♦.在ACEN中,由余弦定理得:

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值,故正确;

图2

取AM中点为0,•••4B=BM,即=则4M1B1。

若4MlBi。,由于当0n=Bi,

且&0,当。u平面ODBi,

AAM1平面。ODu平面0C81,

0D1AM,则/W=M0,

由于4。力MD,故4Ml不成立,故不正确;

对于。,根据题意知,只有当平面&AM,平面AM。时,

三棱锥S-4MD的体积最大,取AD的中点为£,

连接。E,B]E,ME,如图2

AB=BM=1,贝IjABi=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

Br0LAM,By0u平面B/M

Bi。_L平面AMD,0Eu平面AMD

:.B]01OE,

则AM=V2,Br0=\AM=y,

OE=-DM=-AM=—,

222

从而%二俯"直=1,

易知£;4=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥a-AM。的外接球的球心,球的半径为1,表面积是4兀,故。正确;

故答案为:BD.

64^2

23.答案:-----n

3

解析:

本题考查简单组合体及其结构特征,球的表面积和体积,属于中档题.

先求出梯形A8CO的外接圆半径,再求球的半径,最后根据球的体积公式计算,即可得到的答案.

解:因为四边形ABC。为梯形,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4,易求梯形的高为旧,

从而得乙DCB=60",Z.DBC=30°,^BDC=Z-BAC=90。,

所以BC的中点M为梯形ABC。的外接圆圆心,外接圆的半径为2,

又•••PA1平面ABCD,BC=PA=4,所以RtdPAD的外接圆半径为小,

球心到面PAD的距离为梯形的高为,,

所以球的半径R=V5T3=2近,

故球的面积为4兀/?2=丝皿.

3

故答案为空色兀

3

24.答案:8A/3

解析:

本题考查向量法求异面直线所成的角,和棱锥的体积,考查运算能力和空间想象力,中档题.

。为U的射影,取AB的中点G,以O为坐标原点,分别以OG,OE,。丫为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系,设AB=2,设方=4沅?利用夹角公式求出;I,代入即可求出.

解:因为底面边长为2,侧棱VB=而,所以棱锥的高为h=VVB?-2=w

。为V的射影,取A8的中点G,以。为坐标原点,分别以OG,OE,。丫为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系,

设AB=2,则U(0,0,V3).E(O,1,0),0),4(1,-1,0),

VA=(1,-1,-V3).VB=(1,1,-y[3),VE=(0,1,一®

设而=;lE?3力1),则加=而一方=(A-1,-A-1,-V3A+V3)>

由|cos<BF,VE>|=_|24-4|_1

2V4(A-1)2+(A+1)22’

整理得;I?+10A-11=0,解得;I=-11(2=1舍弃),

所以师=-UVA=-11(1,-1,-V3)=(-11,11,1173)

所以尸的坐标为(一11,11,12遮)

所以Vg-AFC=^F-ABC=3X,X2X2X12v5-8>/3

故答案为875.

解析:

本题考查与圆有关的轨迹问题,考查弧长的计算,属于中档题.

由条件得到PN=^,且PN是4PMN的边"N上的高.所以点P的轨迹是以点N为圆心,壁为半

33

径的圆落在ZM&C内部的三段圆弧,且每段弧所对的圆心角都是:根据圆的周长公式和弧长公式即

O

可求解.

解:由条件知,平面4B1C,且DiBCI平面4BiC=N,而PNu平面A&C,所以PNJ.D】B.

由正方体棱长为26得。/=6,所以MN=2.

由S“MN=竽得:PN=¥,点N是等边三角形4&C的中心.

所以点P的轨迹是以点N为圆心,呼为半径的圆落在2MBic内部的三段圆弧,且每段弧所对的圆心

角都是:.

«5

A

Bi

247r2v4i

所以点P的轨迹长度是:2------X-=-------7T・

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论