专题14新定义压轴题中考第28题(共55题)-5年(2016-2020)中考1年模拟数学试题分项详解(原卷版+解析)(北京专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题14新定义压轴题中考第28题（共55题）五年中考真题五年中考真题专题16新定义压轴题中考第28题一．解答题（共5小题）1．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d22．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC=22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．3．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．4．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0）中，⊙②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．5．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．一年模拟新题一年模拟新题一．解答题（共50小题）1．（2020•昌平区二模）平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点P，若图形G上存在一点M，满足PM＝2，且使点P绕点M顺时针旋转90°后得到的对应点P′在这个图形G上，则称点P为图形G的“2旋转点”．已知点A（﹣1，0），B（﹣1，2），C（2，﹣2），D（0，3），E（2，2），F（3，0）．（1）①判断：点B线段AF的“2旋转点”（填“是”或“不是”）；②点C，D，E中，是线段AF的“2旋转点”的有；（2）已知直线l：y＝x+b，若线段l上存在线段AF的“2旋转点”，求b的取值范围；（3）⊙T是以点T（t，0）为圆心，2为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”，直接写出t的取值范围．2．（2020•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距”，记作d1（M，N）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M，N的“远距”，记作d2（M，N）．已知点A（0，3），B（4，3）．（1）d1（点O，线段AB）＝，d2（点O，线段AB）＝；（2）一次函数y＝kx+5（k＞0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，若d1（线段CD，线段AB）=2①求k的值；②直接写出d2（线段CD，线段AB）＝；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d1（⊙T，线段AB）≤4，请直接写出d2（⊙T，线段AB）的取值范围．3．（2020•朝阳区三模）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．（1）当t＝0时，①在点P1（12，0），P2（12，32），P3（72，−3②直线y=33x+b上存在四个线段AB的直角点，直接写出（2）直线y=33x+1与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出4．（2020•北京二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若图形G上存在两个点A，B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是图形G的一个“和谐点”．已知直线l：y=3x+n（n≥0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，⊙O的半径为r（1）若n＝0，在点P1（2，0），P2（0，23），P3（4，1）中，直线l的和谐点是；（2）若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围；（3）若n＝33，线段MN上存在⊙O的和谐点，直接写出r的取值范围．5．（2020•朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y=33x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．6．（2020•海淀区二模）在平面内，对于给定的△ABC，如果存在一个半圆或优弧与△ABC的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的弧为△ABC的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），B（0，6）．（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是；（2）如图2，若弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；（3）如图3，动点M（m，3），连接OM，AM．①直接写出△OAM的完美内切弧的半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围．7．（2020•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，存在半径为2，圆心为（0，2）的⊙W，点P为⊙W上的任意一点，线段PO绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，如果点M在线段PO'上，那么称点M为⊙W的“限距点”．（1）在点A（4，0），B（1，2），C（0，4）中，⊙W的“限距点”为；（2）如果过点N（0，a）且平行于x轴的直线l上始终存在⊙W的“限距点”，画出示意图并直接写出a的取值范围；（3）⊙G的圆心为（b，2），半径为1，如果⊙G上始终存在⊙W的“限距点”，请直接写出b的取值范围．8．（2020•东城区二模）对于平面直角坐标系：xOy内任意一点P．过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A（2，0），B（4，4），C（﹣2，2）的垂点距离分别为，，．（2）点P在以Q（3，1）为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l：y=3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t9．（2020•平谷区二模）如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB＝60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，3），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．10．（2020•西城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．（1）如图，A（1，0），B（1，1），P（0，2），①点P关于点B的定向对称点的坐标是；②在点C（0，﹣2），D（1，−3），E（2，﹣1）中，是点P关于线段AB（2）直线l：y=33x+b分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点M（2，0）为圆心，r（①当r＝1时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求b的取值范围；②对于b＞0，当r＝3时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围．11．（2020•丰台区二模）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．在平面直角坐标系xOy中，点P（0，2）．（1）已知点A（0，1），B（1，1），C（2，2），分别以A，B为圆心，1为半径作⊙A，⊙B，以C为圆心，2为半径作⊙C，其中是点P和x轴的点线圆的是；（2）记点P和x轴的点线圆为⊙D，如果⊙D与直线y=3x+3没有公共点，求⊙D的半径r（3）直接写出点P和直线y＝kx（k≠0）的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围．12．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使△APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（5，0），在点P1（4，3）、P2（3，﹣2）和P3（2，3）中，是点A、点B的“直角点”的是；②点B在x轴的正半轴上，且AB＝22，当直线y＝﹣x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；（2）⊙O的半径为r，点D（1，4）为点E（0，2）、点F（m，n）的“直角点”，若使得△DEF与⊙O有交点，直接写出半径r的取值范围．13．（2020•顺义区二模）已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的点P'，满足OP•OP'＝r2，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．（1）已知点A（4，0），求点A关于⊙O的反演点A'的坐标；（2）若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线y=3x与直线x＝4的交点，求点B（3）若点C为直线y=3x上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m（4）若点D为直线x＝4上一动点，直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．14．（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（−12，0），B为①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=34①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．15．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0）．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为，；（2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；（3）已知点B（−2，t），C（2，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t16．（2020•通州区一模）如果MN的两个端点M，N分别在∠AOB的两边上（不与点O重合），并且MN除端点外的所有点都在∠AOB的内部，则称MN是∠AOB的“连角弧”．（1）图1中，∠AOB是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M（1，3），点N（t，0）在x轴正半轴上，若MN是半圆，也是∠AOB的“连角弧”求t的取值范围．（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，ON＝4，MN是∠AOB的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出∠AOB的取值范围．17．（2020•婺城区模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a≤3时，①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为；②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；（2）已知函数Z=1x+x18．（2020•海淀区一模）A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．19．（2020•东城区一模）在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果CD上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称CD为△ABC的中线弧．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧CD，直接写出△ABC的中线弧CD所在圆的半径r的最小值；②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧CD的弧长l．（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．20．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值范围；（3）已知点M（m，﹣1），若直线y=12x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出21．（2019•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．22．（2020•大兴区一模）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．23．（2020•常州二模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，23）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．24．（2020•平谷区一模）在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．（2）若点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．25．（2020•顺义区一模）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．①与直线y＝3x﹣5相离的点是；②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线y=3x+3、直线y=−3x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的26．（2020•石景山区一模）在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称DE为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中DE是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．（1）当t＝2时，①在点C1（﹣3，2），C2（0，23），C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是；②若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；（2）若△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．27．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有；（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围．28．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是29．（2020•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（4，0），B（0，5），C（1，3）中，⊙O的伴随点是；②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．30．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，3），点P在线段DE上运动（点P可以与点D，E重合），连接OP，CP．①线段OP的最小值为，最大值为，线段CP的取值范围是；②在点O，点C中，点与线段DE满足限距关系；（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y=3x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．31．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=3x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b32．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．33．（2020•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（𝑥1，𝑦1），P2（𝑥2，𝑦2），如果|𝑥1﹣𝑥2|+|y1﹣𝑦2|＝𝑑，则称P1与P2互为“d﹣距点”．例如：点P1（3，6），点P2（1，7），由d＝|3﹣1|+|6﹣7|＝3，可得点P1与P2互为“3﹣距点”．（1）在点D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1），F（0，4）中，原点O的“4﹣距点”是（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B作平行于x轴的直线l．①当b＝3时，直线l上点A的“2﹣距点”的坐标为；②若直线l上存在点A的“2﹣距点”，求b的取值范围；（3）已知点M（1，2），N（3，2），C（m，0），⊙C的半径为22，若在线段MN上存在点P，在⊙C上存在点Q，使得点P与点Q互为“5﹣距点”，直接写出m34．（2020•丰台区三模）过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．（1）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2．①在图中画出一条Rt△ABC的形内弧；②在Rt△ABC中，其形内弧的长度最长为．（2）在平面直角坐标系中，点D（﹣2，0），E（2，0），F（0，1）．点M为△DEF形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标yM的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点M（2，23），点G为x轴上一点，点P为△OMG最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标yP的取值范围．35．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．36．（2020•丰台区一模）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．37．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．38．（2020•海淀区校级模拟）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等），∴△MDI∽△ANI．∴IMIA=IDIN，∴IA⋅ID＝如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴IADE=IFBD，∴IA•BD＝由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF又∵DE•IF＝IM•IN∴2Rr＝（R+d）（R﹣d），∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．39．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足12r≤d≤32r，则称点P（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（−32，2），D（12，−12）中，（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．40．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．41．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；②在P1（32，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．42．（2020•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为22①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y＝x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y＝﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．43．（2020•怀柔区二模）在平面中，给定线段AB和C，P两点，点C与点P分布在线段AB的异侧，满足∠ACB+∠APB＝180°，则称点C与点P是关于线段AB的关联点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），C（1，3）．（1）在P1（1，1+2），P2（2，3），P3（2，2）三个点中，点O与点P是关于线段AB的关联点的是（2）若点C与点P是关于线段OA的关联点，求点P的纵坐标m的取值范围；（3）直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交与点E，F，若在线段AB上存在点P与点O是关于线段EF的关联点，直接写出b的取值范围．44．（2020•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．45．（2020•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（x＞0）的图象G与直线l：y＝kx﹣4k+1交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．46．（2020•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2的顶点为A，直线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．47．（2020•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=−12kx+2与x轴交于点（1）求点B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．①当k＝2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．48．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．49．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx+b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．50．（2020•顺义区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，函数y=nx（n≠0，x＞0）的图象过点A（3，2），与直线l：y＝kx+b交于点C，直线l与y轴交于点（1）求n、b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y=nx（n≠0，x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内的整点不少于5个，结合函数图象，求k的取值范围．5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题14新定义压轴题中考第28题（共55题）五年中考真题五年中考真题一．解答题（共5小题）1．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝23，∴tan∠NMO=3∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°=3观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．由题意A′H=32，AH∴AA′的最大值=(∴32≤d22．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC=22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t=12时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC=22，D，E分别是AB，AC∴BC=ACsinB=22sin45°∴弧DE=12×2（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t=12时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（设P（12，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF=根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤12或②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=3∴P（t，32∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE=A∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE=1由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴12AE≤32，AE≤3，即4t∵t＞0∴0＜t≤2如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE=OPC＝3t，CE=12由三角形中内弧定义知，∠PEC≤90°，∴PE2+CE2≥PC2即(t2+1)2+(4∴0＜t≤2综上所述，t的取值范围为：0＜t≤23．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y＝kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解析】（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）＝2；（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1知此时t＝﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T3M＝2，∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D=T3M∴t＝4﹣22，故此时0≤t≤4﹣22；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T4N＝2，∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D=T4N∴t＝4+22；综上，t＝﹣4或0≤t≤4﹣22或t＝4+22．4．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0）中，⊙O的关联点是P2，②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【分析】（1）①根据点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0），求得OP1=12，OP2＝1，OP3=52，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1−2，0），于是得到结论；如图3，当圆过点O，则AC＝1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（22【解析】（1）①∵点P1（12，0），P2（12，32），P3∴OP1=12，OP2＝1，OP3∴P1与⊙O的最小距离为32，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为1∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP＝1时，由距离公式得，OP=(x−0∴x=±2当OP＝3时，OP=(x−0解得：x＝±32∴点P的横坐标的取值范围为：−322≤x≤−2（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA＝3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD＝1，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角＝45°，∴AC=2∴C（1−2∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1−2如图3，当圆过点O，则AC＝1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3，∴OC=32−1∴C（22，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤22；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1−2或2≤xC≤225．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y＝kx+b，由此可知k＝±1，再（1，0）代入y＝kx+b，即可求出b的值；（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．【解析】（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n把（1，0）分别y＝x+m，∴m＝﹣1，∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，把（1，0）代入y＝﹣x+n，∴n＝1，∴y＝﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；（2）设直线MN的解析式为y＝kx+b，∵点M，N的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，∴k＝±1，∵点N在⊙O上，∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，当k＝1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，把M（m，3）代入y＝x+b，∴b＝3﹣m，∴直线MN的解析式为：y＝x+3﹣m∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°，∴OD=2OA∴D（0，2）同理可得：B（0，﹣2），∴令x＝0代入y＝x+3﹣m，∴y＝3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，当k＝﹣1时，把M（m，3）代入y＝﹣x+b，∴b＝3+m，∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1一年模拟新题一年模拟新题一．解答题（共50小题）1．（2020•昌平区二模）平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点P，若图形G上存在一点M，满足PM＝2，且使点P绕点M顺时针旋转90°后得到的对应点P′在这个图形G上，则称点P为图形G的“2旋转点”．已知点A（﹣1，0），B（﹣1，2），C（2，﹣2），D（0，3），E（2，2），F（3，0）．（1）①判断：点B是线段AF的“2旋转点”（填“是”或“不是”）；②点C，D，E中，是线段AF的“2旋转点”的有C，D；（2）已知直线l：y＝x+b，若线段l上存在线段AF的“2旋转点”，求b的取值范围；（3）⊙T是以点T（t，0）为圆心，2为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①根据“2旋转点”的定义进行判断即可；②同理，根据“2旋转点”的定义进行判断即可；（2）分两种情况：①当b＞0时如图3，分别计算两个分界点时两直线中的b值，一条直线经过点B，另一条直线经过点L，可得结论；②当b＜0时，同理可得结论；（3）有两种情况：①如图4和图5，T在A的左侧时，分别计算两个分界点时T的横坐标，由题意知P为线段AD上一点，以P为圆心，以2为半径画圆P，则M在⊙P上，如图4，将线段PM绕点M顺时针旋转得到P'M，P与A重合时，AM＝P'M＝2，过T作TN⊥P'M于N，则MN＝P'N＝1，如图5，可知M在以AA'为直径的圆上，且AA'＝22，根据半径2和A的坐标可得t的值；②T在点A的右侧时，如图6和7，当⊙T与AD相切时，设切点为T'，证明△AOD∽△AT'T，可得AT的值，同理可得结论．【解析】（1）①如图1，连接AB，∵A（﹣1，0），B（﹣1，2），∴AB⊥x轴，∴∠BAF＝90°，满足点B绕点A顺时针旋转90°后得到对应点B′，且B'在线段AF上，则称点B为线段AF的“2旋转点”；故答案为：是；②如图2，连接EC交x轴于点M，∵C（2，﹣2），E（2，2），∴CE⊥x轴，由题意得：点D（0，3）绕点O顺时针旋转90°后得到对应点F，且F在线段AF上，则称点D为线段AF的“2旋转点”，同理得：点C（2，﹣2）绕点M顺时针旋转90°后得到对应点O，且O在线段AF上，则称点C为线段AF的“2旋转点”，点E（2，2）绕点M顺时针旋转90°后得到对应点E′，但E'不在线段AF上，所以点E不是线段AF的“2旋转点”；故答案为：C，D；（2）分两种情况：①当b＞0时，如图3，过B作直线l：y＝x+b，把B（﹣1，2）代入得：2＝﹣1+b，b＝3，在x轴上，F的左边取一点H，使FH＝2，过H作HK⊥x轴，使KH＝2，过K作KL∥l，交y轴于L，∴K（1，2），设直线KL的解析式为：y＝x+b1，把K（1，2）代入得：2＝1+b1，b1＝1，∴若线段l上存在线段AF的“2旋转点”，则b的取值范围是：1≤b≤3；②当b＜0时，同理可得b的取值范围是：﹣3≤b≤﹣5；综上，b的取值范围是：1≤b≤3或﹣3≤b≤﹣5；（3）P为线段AD上一点，以P为圆心，以2为半径画圆P，则M在⊙P上，如图4，将线段PM绕点M顺时针旋转得到P'M，P与A重合时，AM＝P'M＝2，过T作TN⊥P'M于N，则MN＝P'N＝1，此时∠DAM＝∠AMP'＝90°，∴∠ADO＝∠MAT，∴tan∠MAT＝tan∠ADO=AO即13=KM2∴KN＝1−2由勾股定理得：AK=A∵TN∥AM，∴△AMK∽△TNK，∴AKTK∴TK=12AK∴OT＝OA+AK+TK＝1+2103∴T（﹣1−10如图5，∴M在以AA'为直径的圆上，且AA'＝22，∵A（﹣1，0），∴T（﹣1−2此时A是⊙T的“2旋转点”，∴t的取值范围是﹣1−10≤t＜﹣1如图6，同理可得T（10−如图7，当⊙T与AD相切时，设切点为T'，∵∠AT'T＝∠AOD＝90°，∠OAD＝∠OAD，∴△AOD∽△AT'T，∴ADAT=OD∴AT=2∴OT=2∴T（25∴t的取值范围是253−1＜综上，t的取值范围是围是﹣1−10≤t＜﹣1−2或252．（2020•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距”，记作d1（M，N）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M，N的“远距”，记作d2（M，N）．已知点A（0，3），B（4，3）．（1）d1（点O，线段AB）＝3，d2（点O，线段AB）＝5；（2）一次函数y＝kx+5（k＞0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，若d1（线段CD，线段AB）=2①求k的值；②直接写出d2（线段CD，线段AB）＝310；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d1（⊙T，线段AB）≤4，请直接写出d2（⊙T，线段AB）的取值范围．【分析】（1）根据图形M，N的“近距”与“远距”的定义解决问题即可．（2）①如图2中，过点A作AE⊥CD于点E，解直角三角形证明∠EAD＝∠ADE＝45°，即可解决问题．②利用勾股定理求出BC的长即可．（3）求出两种特殊位置d2（⊙T，线段AB）的值即可判断．【解析】（1）如图1中，由题意，d1（点O，线段AB）＝OA＝3，d2（点O，线段AB）＝OB=3故答案为：3，5．（2）①如图2中，过点A作AE⊥CD于点E，则d1（线段CD，线段AB）＝AE=2∵直线y＝kx+5与y轴交点为D（0，5），与x轴交点c在x轴负半轴，∴AD＝OD﹣OA＝2，∴cos∠EAD=AE∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴OC＝OD＝5，∴点C的坐标为（﹣5，0）∴k＝1．②如图2中，过点B作BG⊥CD于G，观察图象可知G（1，6），∴d2（线段CD，线段AB）＝BC=3故答案为310．（3）如图3﹣1中，当⊙T在x轴的正半轴上，d1（⊙T，线段AB）＝4时，此时T（8，0），d2（⊙T，线段AB）＝AT+1=3如图3﹣2中，当TA＝TB时，d2（⊙T，线段AB）最小＝AT+1=32+观察图象可知，13+1≤d2（⊙T，线段AB）≤3．（2020•朝阳区三模）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．（1）当t＝0时，①在点P1（12，0），P2（12，32），P3（72，−32）中，线段AB的直角点是P②直线y=33x+b上存在四个线段AB的直角点，直接写出（2）直线y=33x+1与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出【分析】（1）由线段AB的直角点定义可求解；（2）由圆周角定理可得点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，求出直线y=33x+b过点C时，b的值和直线y=33x+b与以BC为直径或（3）由题意可得以BC为直径或AC为直径的圆与线段MN的交点只有两个，利用特殊位置可求解．【解析】（1）当t＝0时，则点A（0，0），点B（4，0），∵点C是AB中点，∴点C（2，0），∴AC＝BC＝2，∵AP12+CP12=14+∴点P1不是线段AB的直角点；∵AP22+CP22=14+3∴∠AP2B＝90°，∴点P2是线段AB的直角点，∵CP32+BP32=14+3∴∠CP3B＝90°，∴点P3是线段AB的直角点，故答案为：P2，P3；（2）∵∠APC或者∠BPC为直角，∴点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，如图，当直线y=33x+b与以AC为直径的圆相切时，直线y=33x+b与以AC为直径的圆和以设切点为F，以AC为直径的圆的圆心为E，直线y=33x+b与x轴交于点H，连接∵直线y=33x+b与以∴EF⊥FH，∵直线y=33x+b与∴EH＝2EF＝2，∴点H（3，0），∴0=33×∴b=−3同理可得，当直线y=33x+b与以BC为直径的圆相切时，b当直线y=33x+b过点C时，直线y=33x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即直线y=33∴0=23∴b=−2∴当−3＜b＜−233或−233＜b＜−33时，直线y=33x+b（3）∵直线y=33x+1与x，y轴交于点M，∴点N（0，1），点M（−3如图，当直线y=33x+1与以BC为直径的圆相切于点F，设BC为直径的圆的圆心为E，连接EF，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段∵A（t，0），B（t+4，0），点C是线段AB的中点，∴AB＝4，AC＝BC＝2，∵直线y=33x+1与以BC为直径的圆相切于点∴EF⊥MN，∵∠NMB＝30°，∴ME＝2EF＝2，∴点E（−3∴点A（−3∴t=−3当直线y=33x+1与以AC为直径的圆相切时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有3个交点，即线段MN上存在3个线段同理可求：t＝1−3当点A与点M重合时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，∴当−3＜t＜1−3或t=−3−4．（2020•北京二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若图形G上存在两个点A，B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是图形G的一个“和谐点”．已知直线l：y=3x+n（n≥0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，⊙O的半径为r（1）若n＝0，在点P1（2，0），P2（0，23），P3（4，1）中，直线l的和谐点是P1和P2；（2）若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围；（3）若n＝33，线段MN上存在⊙O的和谐点，直接写出r的取值范围．【分析】（1）把n＝0代入直线l的解析式为y=3x，在直线l上取一点C，设C（m，3m），根据P1C＝2及两点的距离公式计算m的值，如果有两个值，说明符合条件，是直线l（2）如图1，先确定边界直线l1，l2，l1上存在：⊙O上恰好存在1个直线l的和谐点，l2上存在：⊙O上恰好存在3个直线l的和谐点，之间位置上的直线l符合：⊙O上恰好存在2个直线l的和谐点；确定CD=3，并计算两直线l1，l2与y轴的交点N1和N2（3）如图2，设A，B在⊙O上，P是MN上的点，根据“和谐点”的定义可知：△ABP是边长为2的等边三角形，作辅助线，构建直角三角形，根据勾股定理计算r＝OB=BD2+OD2，又OD＝OP+PD（图2），或OD＝OP﹣PD（图3），而BD＝1，PD【解析】（1）∵n＝0，则直线l的解析式为y=3x在直线l上取一点C，设C（m，3m），当P1（2，0）时，∴P1C＝2，∴(m−2)∴m＝0或m＝1，即点A（0，0），B（1，3），∴AB＝2，∴P1A＝PB＝AB，∴△P1AB是等边三角形，即点P1是直线l的和谐点，当P2（0，23），∴P2C＝2，∴P2C=m∴m＝1或m＝2，即点A（1，3），B（2，23），∴AB＝2，∴P2A＝PB＝AB，∴△P2AB是等边三角形，即点P2是直线l的和谐点，当P3（4，1），∴P3C＝2，∴P3C=(m−4化简得，4m2﹣2（4+3）m+13＝0，而△＝[﹣2（4+3）]2﹣4×4×13＜0，此方程无实数根，即点P1不是直线即直线l的和谐点是：P1和P2；故答案为：P1和P2；（2）如图1，设A，B在直线l上，点C在⊙O上，△ABC是边长为2的等边三角形，∵n≥0，∴当直线l位于l1时，⊙O上只有1个点C是直线l的和谐点，当直线l位于l2时，⊙O上有3个点C，C2，C3都是直线l的和谐点（l3到l2的距离是3），∴满足条件的直线l应位于直线l1和l2之间；设过点C且与⊙O相切的直线为l'，直线l1，l2，l'分别与x轴，y轴交于点M1，N1，M2，N2，M'，N'，连接OC，则OC⊥l'，OC＝2，过点C作x轴的平行线交l1于点B，连接OC交延长交l1于D，在l1上到点A，使AD＝BD，连接AC，则CD=3，且O，C，D∴OD＝2+3∵直线l：y=3x+n与x轴交于点M，与y轴交于点∴M（−33n，0），N（0，∴tan∠MNO=OM∴∠MNO＝30°．∴在Rt△OCN'和Rt△ODN1中，ON'＝2OC＝4，ON1＝2OD＝4+23，∴N'N1＝ON1﹣ON'＝23，由对称性得N'N2＝23，即N2（0，4﹣23），∴n的取值范围是4−23（3）∵y=3∴N（0，33），ON=33，∠如图2，设A，B在⊙O上，P是MN上的点，△ABP是边长为2的等边三角形，连接OB，设AB的中点为D，则O，P，D三点共线，∴r＝OB=B又OD＝OP+PD（图2），或OD＝OP﹣PD（图3），而BD＝1，PD=3∴只需考虑OP的取值范围即可．如图4，当OP⊥MN时，OP最小，此时⊙O的半径最小．∵ON=33，∠ONP∴OP=12ON又∵PD=3∴OD＝OP﹣PD=3∴在Rt△OBD中，BD＝1，OD=3∴r＝OB=1如图5，当⊙O的和谐点恰好是N点（即P点与N点重合）时，OP最大，此时⊙O的半径最大，∵ON=33，ND=∴OD=43又BD＝1，∴r＝OB=1综上，r的取值范围是725．（2020•朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y=33x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围