备战2024高考数学二轮复习讲义函数【数学思想】第2讲：转化与化归思想在函数中的应用

第1讲转化与化归思想在函数中的应用在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向已知转化的过程。同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是按照平时常用的方式就是解不出来。此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。通过改变思维的角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题：【例1】若实数，满足，则（

）A． B．C． D．本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式子进行变形：，接着构建一个新的函数，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。【思维升华】通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解答，使问题得到有效解决。【变式1.1】（2020•新课标Ⅱ）若，则A． B． C． D．【变式1.2】若实数满足，则（

）A． B． C． D．【应用二】利用转化与化归思想解决函数最值问题函数的最值问题是一类常考题型，其中比较经典的就是一次函数与二次函数的比值问题，对于这种题比较直接和容易想到的方法是求导，但求导法在计算量上还是有点大，所以对于此类问题我们可以将分母变形，把这种问题转化为均值不等式的问题，比如下面这道题：【例2】当x＞﹣1时，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值 B．不确定 C．有最大值 D．无最大值对于本题，可以看到当x＞﹣1时x+1＞0，关于代数式可以变形为：＝，然后根据基本不等式可解决此题．【思维升华】通过本题不难发现，对于求形如一次函数/二次函数的代数式最值问题，我们可以对代数式的分母进行适当的变形，将其转化为我们所熟悉的基本不等式求最值问题，所以解答有些数学问题时，我们可以通过变形，利用已经所学过的定义、定理和公式等，达到从未知到已知的转化，从而使问题得到解决。不仅对于一次函数/二次函数型代数式，我们可以用同样的方法研究二次函数/一次函数型代数式的最值。【变式2.1】设，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2.2】设，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．【应用三】利用转化与化归思想解决函数零点问题函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决，比如下面这道题：【例3】（2018·全国Ⅰ卷）已知函数，,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)把函数零点的问题,转化为方程根的问题,进而转化为函数的图象与直线的图象的交点问题，观察函数的解析式，可以看到是由我们熟悉的指数函数和对数函数构成的，所以能很容易画出函数图象，接着借助函数图象便能得到我们想要的答案。【思维升华】通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个函数图象的交点问题，所以对于函数零点，大部分问题的解决都离不开转化与化归和数形结合思想，这体现了数与形的相互转化。【变式3.1】函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3.2】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【应用四】利用转化与化归思想判断大小在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先找一个中间值，比如比较这些数和0或1的大小，接着根据小于0的数最小，其次是0-1之间的数，最大的是大于1的数，得到最终结果，但有的时候，题目中出现的数字可能都小于0，或都在0-1之间，或都大于1，例如：，，，这三个数都在0-1之间，此时我们无法用之前的方式进行比大小，所以需要对这个问题进行转化，变为我们熟悉的问题然后求解，例如下面这道小题：【例4】（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则A． B． C． D．本题是一道较难的比大小问题，因为题中所给的三个数，，，都在0-1之间，不好进行比大小，所以我们可以把这三个数两两转化为同底的数，比如：由，根据，即可得到，即，接着利用同样的方法，即可确定，，的大小关系．【思维升华】通过本题不难发现，对于一个确定的对数比大小问题，如果无法法借助通常找中间值的方法求解时，可以将对数转化为同底的对数，然后比较大小。但是通过本题可以发现，如何转化是一个难点，比如这里：为什么要乘，这么做的依据是什么？这就要求我们平时在做题的过程中多积累，多试错，化生为熟、化难为易。实际上在本题中乘，也是因为根据已有知识可以知道54>83,利用这一关系反推出乘，这也反应了转化思想中的正难则反，如果正向走不通，可以进行倒推。【变式4.1】已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A．a<b<c B． C． D．【变式4.2】已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．【应用五】利用转化与化归思想判解决恒成立问题新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题便是考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式等知识为载体，渗透转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数知识密不可分。遇到恒成立问题，我们的第一想法大多是利用分离参数或数形结合进行求解，但有的时候恒成立问题中给出的函数形式虽然并不复杂，但是变量却不止一个，此时利用分离参数无法解决，利用数形结合不易讨论，所以我们可以将形的问题转化为数（值域）的问题，利用代数方法进行求解，比如下面这道题：【例5】已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．在解决本题时，我们可以把恒成立问题转化为值域问题，也就是将：对任意的，总存在，使得成立，转化为在上值域是在上值域的子集，在这里和都是我们所熟悉的函数，所以接下来只要讨论在不同取值时函数和的取值即可。【思维升华】通常研究恒成立问题，如果我们发现数形结合不好解决时，我们就可以把它转化为值域问题，通过研究函数的值域，使问题得到解决，所以和函数零点问题类似，恒成立问题的解决都离不开转化与化归和数形结合思想。同时恒成立问题形式多样，要会根据不同需要进行转化。【变式5.1】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5.2】若对于常数m和任意实数x，等式恒成立，则的周期为.巩固练习1.(2022·安徽省模拟)设函数，．若在，有零点，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，2.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）函数的最大值为（

）A． B．2 C． D．13.（多选题）（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最大值为1 B．的值域为C．的最大值为2 D．在上单调递减4.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.5.（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域．第1讲转化与化归思想在函数中的应用在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向已知转化的过程。同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是按照平时常用的方式就是解不出来。此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。通过改变思维的角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题：【例1】若实数，满足，则（

）A． B．C． D．本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式子进行变形：，接着构建一个新的函数，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，构建函数，结合单调性分析可得，再结合对数函数单调性逐项分析判断.【详解】因为，所以构造函数，则在上单调递增，故，所以，对A、B：则，但无法确定与1的大小关系，故无法确定与0的大小关系，A、B错误；对C、D：，且在定义域上单调递增，所以，C错误，D正确.故选：D.【思维升华】通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解答，使问题得到有效解决。【变式1.1】（2020•新课标Ⅱ）若，则A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可判断．方法二：根据条件取，，即可排除错误选项．【详解】解：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，满足，此时，，可排除．故选：．【变式1.2】若实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指数和对数运算法则可将已知等式化为，根据对数函数单调性得到，设，由函数单调性可得结果.【详解】由题意知：，，，，，，，即，在上单调递增，，；设，则，与在上单调递增，在上单调递增，，即.故选：A.【应用二】利用转化与化归思想解决函数最值问题函数的最值问题是一类常考题型，其中比较经典的就是一次函数与二次函数的比值问题，对于这种题比较直接和容易想到的方法是求导，但求导法在计算量上还是有点大，所以对于此类问题我们可以将分母变形，把这种问题转化为均值不等式的问题，比如下面这道题：【例2】当x＞﹣1时，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值 B．不确定 C．有最大值 D．无最大值对于本题，可以看到当x＞﹣1时x+1＞0，关于代数式可以变形为：＝，然后根据基本不等式可解决此题．【答案】【解析】【分析】当时，关于代数式，然后根据基本不等式可解决此题．【详解】解：当时，关于代数式，当且仅当即时等号成立，此时关于代数式取得最大值．故选：．【思维升华】通过本题不难发现，对于求形如一次函数/二次函数的代数式最值问题，我们可以对代数式的分母进行适当的变形，将其转化为我们所熟悉的基本不等式求最值问题，所以解答有些数学问题时，我们可以通过变形，利用已经所学过的定义、定理和公式等，达到从未知到已知的转化，从而使问题得到解决。不仅对于一次函数/二次函数型代数式，我们可以用同样的方法研究二次函数/一次函数型代数式的最值。【变式2.1】设，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】对变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：D【变式2.2】设，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出函数得最大值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为.故选：C.【应用三】利用转化与化归思想解决函数零点问题函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决，比如下面这道题：【例3】（2018·全国Ⅰ卷）已知函数，,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)把函数零点的问题,转化为方程根的问题,进而转化为函数的图象与直线的图象的交点问题，观察函数的解析式，可以看到是由我们熟悉的指数函数和对数函数构成的，所以能很容易画出函数图象，接着借助函数图象便能得到我们想要的答案。【答案】【解析】【分析】先令得到，即等价于与有两个交点，然后画出函数图象，根据图象即可求解．【详解】解：令，即有两个根，即与有两个交点，分别画出与的图象，如下所示：由图可知：当纵截距时，即时，与有两个交点，故，．故选：．【思维升华】通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个函数图象的交点问题，所以对于函数零点，大部分问题的解决都离不开转化与化归和数形结合思想，这体现了数与形的相互转化。【变式3.1】函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【解析】【详解】本题转化为函数和函数的交点个数,做出两个函数的图像,如图,根据图像可得两个函数交点的个数为个,所以函数的零点个数为个.故选:C.【变式3.2】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】结合题意可知，关于的方程的不同实根个数即为，的根的个数，可求．【详解】解：有极值点，，且，有两根，，且，即，，比较方程可得，，，则关于的方程的不同实根个数即为，的根的个数，，则函数在单调递增，在，上单调递减，，上单调递增，，有2个实根，分别在处和，内，有1个实根，在，内综上可得，方程一共有3个根．故选：．【应用四】利用转化与化归思想判断大小在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先找一个中间值，比如比较这些数和0或1的大小，接着根据小于0的数最小，其次是0-1之间的数，最大的是大于1的数，得到最终结果，但有的时候，题目中出现的数字可能都小于0，或都在0-1之间，或都大于1，例如：，，，这三个数都在0-1之间，此时我们无法用之前的方式进行比大小，所以需要对这个问题进行转化，变为我们熟悉的问题然后求解，例如下面这道小题：【例4】（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则A． B． C． D．本题是一道较难的比大小问题，因为题中所给的三个数，，，都在0-1之间，不好进行比大小，所以我们可以把这三个数两两转化为同底的数，比如：由，根据，即可得到，即，接着利用同样的方法，即可确定，，的大小关系．【答案】A【解析】【分析】法一：利用中间值比较即可，，根据由和，得到，即可确定，，的大小关系．法二：利用作差法得到，利用指对互化得到，，由此能求出结果．【解答】解法一：由，，而，即；，，，；，，，，综上，．解法二：，，，，，，，，，，，．故选：．【思维升华】通过本题不难发现，对于一个确定的对数比大小问题，如果无法法借助通常找中间值的方法求解时，可以将对数转化为同底的对数，然后比较大小。但是通过本题可以发现，如何转化是一个难点，比如这里：为什么要乘，这么做的依据是什么？这就要求我们平时在做题的过程中多积累，多试错，化生为熟、化难为易。实际上在本题中乘，也是因为根据已有知识可以知道54>83,利用这一关系反推出乘，这也反应了转化思想中的正难则反，如果正向走不通，可以进行倒推。【变式4.1】已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A．a<b<c B． C． D．【答案】B【详解】，，所以，所以又因，，所以，所以所以，故选B【变式4.2】（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小.【详解】因为，所以；由且，所以，所以，令，，令，则，则，等价于，；又，所以当时，，故，所以．故选：C．【应用五】利用转化与化归思想判解决恒成立问题新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题便是考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式等知识为载体，渗透转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数知识密不可分。遇到恒成立问题，我们的第一想法大多是利用分离参数或数形结合进行求解，但有的时候恒成立问题中给出的函数形式虽然并不复杂，但是变量却不止一个，此时利用分离参数无法解决，利用数形结合不易讨论，所以我们可以将形的问题转化为数（值域）的问题，利用代数方法进行求解，比如下面这道题：【例5】（2022秋·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．在解决本题时，我们可以把恒成立问题转化为值域问题，也就是将：对任意的，总存在，使得成立，转化为在上值域是在上值域的子集，在这里和都是我们所熟悉的函数，所以接下来只要讨论在不同取值时函数和的取值即可。【答案】D【解析】【详解】要使对任意的，总存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，开口向上且对称轴为，则上值域为；对于：当时在上值域为，此时，，可得；当时在上值域为，不满足要求；当时在上值域为；此时，，可得；综上，的取值范围.故选：D【思维升华】通常研究恒成立问题，如果我们发现数形结合不好解决时，我们就可以把它转化为值域问题，通过研究函数的值域，使问题得到解决，所以和函数零点问题类似，恒成立问题的解决都离不开转化与化归和数形结合思想。同时恒成立问题形式多样，要会